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第5讲 二次函数的最值问题 学案


第五讲 二次函数的最值问题
二次函数 y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) 是初中函数的主要内容,也是高中学习的重要基 础.在初中阶段大家已经知道:二次函数在自变量 x 取任意实数时的最值情况(当 a > 0 时, 函数在 x = ?

b 4ac ? b 2 b 处取得最小值 ,无最大值;当 a < 0 时,函数在 x = ? 处取得 2a 4a 2a

4ac ? b 2 最大值 ,无最小值. 4a
本节我们将在这个基础上继续学习当自变量 x 在某个范围内取值时,函数的最值问 题.同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用.
2 【例 1】当 ?2 ≤ x ≤ 2 时,求函数 y = x ? 2 x ? 3 的最大值和最小值. 】

分析: 分析:作出函数在所给范围的及其对称轴的草图,观察图象的最高点和最低点,由此得 到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量 x 的值.

2 【例 2】当 1 ≤ x ≤ 2 时,求函数 y = ? x ? x + 1 的最大值和最小值. 】

【例 3】当 x ≥ 0 时,求函数 y = ? x (2 ? x ) 的取值范围. 】

【例 4】当 t ≤ x ≤ t + 1 时,求函数 y = 】

1 2 5 x ? x ? 的最小值(其中 t 为常数). 2 2

分析: 分析:由于 x 所给的范围随着 t 的变化而变化,所以需要比较对称轴与其范围的相对位 置.

在实际生活中,我们也会遇到一些与二次函数有关的问题: 【例 5】某商场以每件 30 元的价格购进一种商品,试销中发现这种商品每天的销售量 】

m (件)与每件的销售价 x (元)满足一次函数 m = 162 ? 3 x,30 ≤ x ≤ 54 .
(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件销售价 x 之间的函数关系式; (2) 若商场要想每天获得最大销售利润,每件商品的售价定为多少最合适?最大销售利 润为多少?

练 习
A
2



1. 抛物线 y = x ? ( m ? 4) x + 2m ? 3 , m = _____ 时, 当 图象的顶点在 y 轴上; m = _____ 当 时,图象的顶点在 x 轴上;当 m = _____ 时,图象过原点. 2.用一长度为 l 米的铁丝围成一个长方形或正方形,则其所围成的最大面积为 ________ . 3.求下列二次函数的最值: (1) y = 2 x ? 4 x + 5 ;
2

(2) y = (1 ? x )( x + 2) .

4.求二次函数 y = 2 x 2 ? 3 x + 5 在 ?2 ≤ x ≤ 2 上的最大值和最小值,并求对应的 x 的值.

5.对于函数 y = 2 x 2 + 4 x ? 3 ,当 x ≤ 0 时,求 y 的取值范围.

6.求函数 y = 3 ? 5 x ? 3 x ? 2 的最大值和最小值.
2

7.已知关于 x 的函数 y = x 2 + (2t + 1) x + t 2 ? 1 ,当 t 取何值时, y 的最小值为 0?

B



2 1.已知关于 x 的函数 y = x + 2ax + 2 在 ?5 ≤ x ≤ 5 上.

(1) 当 a = ?1 时,求函数的最大值和最小值; (2) 当 a 为实数时,求函数的最大值.

2.函数 y = x 2 + 2 x + 3 在 m ≤ x ≤ 0 上的最大值为 3,最小值为 2,求 m 的取值范围.

3. a > 0 , ?1 ≤ x ≤ 1 时, 设 当 函数 y = ? x ? ax + b + 1 的最小值是 ?4 , 最大值是 0, a, b 求
2

的值.

4.已知函数 y = x 2 + 2ax + 1 在 ?1 ≤ x ≤ 2 上的最大值为 4,求 a 的值.

5.求关于 x 的二次函数 y = x 2 ? 2tx + 1 在 ?1 ≤ x ≤ 1 上的最大值( t 为常数).


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