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1.4全称量词与存在量词(1)


全称量词与存在量词
第一课时

问题探究

下列各组语句是命题吗?两者有 什么关系? (1)x>3; (2)2x+1是整数; (3)对所有的x∈R,x>3. (4)对任意一个x∈Z,2x+1是整数.

概念生成

短语“所有的”“任意一个”“任 给”等,在逻辑中通常叫做全称量词, 并用符号“? ”表示。
你还能列举一些常见的全称量词吗?

“一切”,“每一个”,“全体”等

概念生成

含有全称量词的命题叫做全称命题. 如: “对所有的x∈R,x>3”, “对任意一个x∈Z,2x+1是整数”

你能列举一个全称命题的实例吗?

概念生成

将含有变量x的语句用p(x),q(x), r(x)等表示; 变量x的取值范围用M表示; 命题 “对M中任意一个x,有p(x)成立”

可以用符号简记为“ ?x∈M,p(x)”

典例讲解

下列命题是全称命题吗?其真假如 何? (1)所有的素数是奇数; 假 (2) x∈R,x2+1≥1; ? 真

(3)对每一个无理数x,x2也是无理数; 假 (4)所有的正方形都是矩形. 真

问题探究

如何判定一个全称命题的真假?

?x∈M,p(x)为真:对集合M中每一个元 素x,都有p(x)成立;
?x∈M,p(x)为假:在集合M中存在一个 元素x0,使得p(x0)不成立.

问题探究

下列各组语句是命题吗?二者有什 么关系? (1)2x+1=3; (2)x能被2和3整除 (3)存在一个x0∈R,使2x0+1=3. ; (4)至少有一个x0∈Z,x0能被2和3整 除.

概念生成

短语“存在一个”“至少有一 个”“有些”等,在逻辑中通常叫做 存在量词,并用符号“ ? ”表示.
?

你还能列举一些常见的存在量词吗?
“有一个”,“ 对某个”,“有的” 等

概念生成

?

含有存在量词的命题叫做特称 命题,如“存在一个x0∈R,使2x0+ 1=3”,“至少有一个x0∈Z,x0能 被2和3 整除”等,你能列举一个特 称命题的实例吗?

例题讲解

特称命题: 存在M中的元素x0,使p(x0)成立. 用符号语言“ ? x0∈M,p(x0)”表示.

例题讲解

下列命题是特称命题吗?其真假如何? 真 (1)有的平行四边形是菱形; 2 (2)有一个实数x0,使x0 ? 2 x0 ? 3 ? 0; 假 (3)有一个素数不是奇数; 真 (4)存在两个相交平面垂直于同一条直线; 假 (5)有些整数只有两个正因数; 真 (6)有些实数的平方小于0.



问题探究

如何判定一个特称命题的真假?
? x0∈M,p(x0)为真:能在集合M中找
? x0∈M,p(x0)为假:在集合M中,使

出一个元素x0,使p(x0)成立; p(x)成立的元素x不存在.

例题讲解

例1 下列命题是全称命题还是特 称命题,并判断其真假. (1)任意实数的平方都是正数; 全称命题(假) (2)0乘以任何数都等于0; 全称命题(真) (3)有的老师既能教中学数学, 也能教中学物理;
特称命题(真)

例题讲解

(4)某些三角形的三内角都小于60°; 特称命题(假) (5)任何一个实数都有相反数.
全称命题(真)

例题讲解

例2 判断下列命题的真假. (1) x∈R,x2>x; 真 ? (2) x∈R,sin2x=2sinxcosx; 真 ? (3) x∈Q,x2-8=0; ? 假 (4) x∈R,x2+x+1>0; ? 真 (5) x∈R,sinx-cosx>2; 假 ? (6) a,b∈R, + b 2 ab a ? 假

例题讲解

例 3 设 函 数 f ( x )的 定 义 域 为 D , 如 果 对 任 意 的 x 1 ? D , 存 在 唯 一 的 x 2 ? D, 使 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2 ? C (C 为 常 数 )

成 立 , 则 称 函 数 f ( x )在 D 上 的 均 值 为 C 下 面 有 五 个 函 数 : y ? 4 s in x (1) ( 2 ) y ? x ;3) y ? lg x ( 4 ) y ? 2 ;5 ) y ? 2 x ? 1 ( (
3 x

则 满 足 在 其 定 义 域 上 的 均 值 为 2的 所 有 函 数 的 序 号 是 ________________.

课堂小结

1.全称量词是表示“全体”的量词, 用符号“ ? ”表示;存在量词是表示 “部分”的量词,用符号“ ? ”表示, 具体用词没有统一规定.

课堂小结

2.若对任意x∈M,都有p(x)成立,则 全称命题“? x∈M,p(x)”为真,否则 为假; 若存在x0∈M,使得p(x0)成立,则特称 命题“ x0∈M,p(x0)”为真,否则为 ? 假.

作业:

P23练习:1,2. P26习题1.4A组:1,2.


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