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武汉理工大学2014-2015学年第二学期高等数学A(下)期中试卷[1]


武汉理工大学考试试卷(A 卷)
2014 ~2015 学年 2 学期
… … … … 试 卷 装 订 线 … … … … … … 装 订 线 内 不 要 答 题 , 不 要 填 写 考 生 信 息 … … … … … … 试 卷 装 订 线 … … … …

高等数学 A(下) 课程

任课教师 ....
合计

100

80 学时, 5 学分,闭卷,总分 100 分,占总评成绩 70 %,2015 年 07 月 7 日 题号 名 满分 得分 得分 一 15 二 15 三 48 四 16 五 6 六



一、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分)

1、设 z ? f ? x, y ? 在点 (0,0) 处的偏导数存在,且 f x?(0,0) ? a , f y?(0,0) ? b ,则下面结论正 确的是( ) (A) lim
? x , y ???0,0 ?

f ? x, y ? 存在

(B) f ? x, y ? 在 (0,0) 处连续 (D) lim f ? x,0 ? 与 lim f ? 0, y ? 都存在且相等
x ?0

学 号

(C) dz ? 0,0 ? ? adx ? bdy 2、直线 L :

y ?0

x ?1 y z ?1 ? ? 与平面 ? : x ? y ? z ? 1 的关系为( ) 2 ?1 3 (A) L 在 ? 上 (B) L 平行于平面 ? 但不在平面 ? 上 (C) L ? ? (D) L 与 ? 斜交
3、曲线 x ? t , y ? t , z ? t 在点 (1,1,1) 处的法平面方程为 ( )
2
3

(A) x ? 2 y ? 3z ? 6 专业班级 4、设 I k ?

(B) x ? 2 y ? 3z ? 6

(C) x ? 2 y ? 3z ? 6
k

(D) x ? 2 y ? 3z ? 6
2

?? ? y ? x ) ?dxdy ? k ? 1,2,3,4? ,其中 D 是圆域 D ? ?? x, y ? x
Dk

? y 2 ? 1 位于第 k 象

?

限的部分,则有( C ) (A)

I1 ? 0

(B)

I2 ? 0

(C)

I3 ? 0

(D)

I4 ? 0
)

5、设 un ? 0 ? n ? 1,2,3,?? ,且 lim (A) 条件收敛 学院 (B) 绝对收敛

? n 1 ? n ?1 ? 1 ? 1 ,则级数 ? ? ?1? ? ? ? ( n ?? u n ?1 n ? un un?1 ?

(C) 发散 (D) 收敛性根据所给条件不能确定

1

得分

二、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分)

y y 1、微分方程 e dx ? xe ? 2 y dy ? 0 满足条件 y ?1? ? 0 的特解为

?

?

. .

2、曲面 z ? x 2 ? y 2 上与平面 2 x ? 4 y ? z ? 0 平行的切平面方程为 3、若函数 z ? z ? x, y ? 由方程 ex ?2 y ?3z ? xyz ? 1 确定,则 dz ? 0,0 ? ? 4、设有球面 ? : x 2 ? y 2 ? z 2 ? a 2 (a ? 0) ,则

.

?? ?
?

x 2 ? y 2 ? z 2 dS ?
?

.

5、已知级数

? ? ?1?
n ?1

?

n ?1

an ? 2 , ? a2 n ?1 ? 5 则 ? an ?
n ?1 n ?1

?

.

得分

三、计算题(本题共 6 小题,每小题 8 分)

1、 求通过直线 L : ?

? 2 x ? y ? 3z ? 2 ? 0 的两个相互垂直的平面 ?1 和 ? 2 ,使其中一个平面 ?5x ? 5 y ? 4 z ? 3 ? 0

通过点 ? 4, ?3,1? .

2、设函数 z ? f (sin xy , x ? y ) ,其中 f 有二阶连续偏导数,求
2 2

?2z . ?x ?y

2

3、计算二重积分 I ?

ln ?1 ? x ?? ? ?
D

?

2

? y2 ? ?

? xy dxdy ,其中 D 为 x 2 ? y 2 ? 1 , x ? 0 . 2 2? 1? x ? y ?

4、计算曲线积分: I ?

? ?y e
L

2 x

x2 y2 3 ? ? ? 1 上从 ? xy 3 ? 1? dx ? ? 2 ye x ? x 2 y 2 ? dy ,其中 L 为椭圆 ? 4 9 2 ? ?

点 A(2, 0) 到点 B(0,3) 的弧段.

3

5、计算曲面积分 I ?

?? ?3x
?

2

? yz ? dydz ? ? 3 y 2 ? xz ? dzdx ? ? 3z 2 ? 1?dxdy ,其中 ? 为 xoz 平面

上的曲线 z ? 2 ? x2 ? z ? 0? 绕 z 轴旋转一周而成,其上法向量与 z 轴的夹角为锐角。

6、求幂级数

xn 的收敛区间及其和函数 S ? x ? . ? n n ?0 ? n ? 1? 2

?

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4

得分

四、应用题(本题共 2 小题,每小题 8 分)

2 2 2 1. 求旋转椭球面 2 x ? y ? z ? 1 上距离平面 2 x ? y ? z ? 6 的最远的点和最近的点,

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并求出最远距离和最近距离.

2. 求由曲面 z ?

x 2 ? y 2 及平面 z ? 1 所围成的质量分布均匀的物体的质心坐标。

5

得分

五、证明题(本题满分 6 分)

设 f ? x ? 是在 ? ??, ??? 内的可微函数,且 f ? ? x ? ? mf ? x ? , 其中 0 ? m ? 1 ,任取实数 a0 ,定义

an ? ln f ? an?1 ? , n ? 1,2,3,?, 证明:级数 ? ? an ? an ?1 ? 绝对收敛.
n ?1

?

6


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