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高三一轮:函数的单调性(一)


第二节 函数的单调性(一)
一.新课标要求: 1、理解函数的单调 性,掌握判断一些简单函数的单调性的方法。 2、学会运用函数图象研究函数的性质,感受应用函数的单调性解决问题的优越性,提供观 察、分析、推理创新的能力。 二.重点难点聚焦: 1、讨论函数的单调性必须在定义域内进行,因此先求函数的定义域。单调区间是定义域的 子集。 2、函数的单调性是对区间而言的,如果函数 f

(x)在区间(a,b)与(c,d)上都是单调递增(或 递减) ,但不能说函数 f(x)在区间(a,b) ∪(c,d)上一定是单调递增(或递减) 。

三.自测题组:
1.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的增函数, 则下列对 f(x)=0 的根说法不正确的是 有且只有一个 ②有 2 个 至多有一个 ④没有根 2 2 2. 若函数 f(x)=x +(a -4a+1)x+2 在区间 (-∞, 1] 上是减函数, 则 a 的取值范围是 3. 函数 y= x ? 2 x ? 3
2

(填序号) . .

(x>0)的单调增区间是 ( B. (-1,+∞) C.(-∞,-1)
2

) D(-∞,-3] ) D .(0,2)

A. (0,+∞)
3

4.函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1 是减函数的区间是 ( A.(2,+∞) B (-∞,2) ) C. C.(- ∞,0)

5、 (04 年天津卷.文 6 理 5)若函数 f ( x) ? loga x(0 ? a ? 1) 在区间 [a, 2a] 上的最大值是 最小值的 3 倍,则 a=( A.

2 4

B.

2 2

1 4

D.

1 2

2

6、设函数 f ( x) 是减函数,且 f ( x) ? 0 ,下列函数中为增函数的是( A y??

1 f ( x)

B y?2

f ( x)

C y ? log 1 f ( x)
2

D y ? [ f ( x)]

7. (2009·徐州六县一区联考)若函数 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切 x >0,y>0 满足 f(xy)=f(x)+f(y),则不等式 f(x+6)+f(x)<2f(4)的解集为 . 8.已知 f(x)是 R 上的增函数,若令 F(x)=f(1-x)-f(1+x) ,则 F(x)是 R 上的 函 数(用“增” 、 “减”填空).

四.典例剖析
类型一:函数单调性的判断 例 1. 已知函数 f(x)=a +
x

x?2 x ?1

(a>1). 证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数.

类型二:复合函数单调区间的判定 例 2.函数

y=2 x ?2 x?3
2

2

的单调减区间为__________;

2 函数y=log( ) 的增区间为_______________. 1 ? x ? 2 x ?3

函数y=sin(

?
3

-2 x ) 的减区间为_______________.

函数 y= 5 ? 4x ? x 2 的单调增区间是_____________.

类型三:抽象函数的单调性 例3.函数 f(x)对任意的 a、b∈R,都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x>0 时,f(x)>1. (1)求证:f(x)是 R 2 (2)若 f(4)=5,解不等式 f(3m -m-2)<3.

类型四:函数单调性的应用 例4. 、已知函数 f ( x) ? 2ax ?

1 , x ? (0,1], x2

(1)若 f ( x)在x(0,1] 是增函数,求 a 的取值范围; (2)求 f ( x)在区间 (0,1] 上的最大值.

变式练习: 函数 f(x)对任意的实数 m、n 有 f(m+n)=f(m)+f(n),且当 x>0 时有 f(x)>0. (1)求证:f(x)在(-∞,+∞)上为增函数; 2 (2)若 f(1)=1,解不等式 f[log2(x -x-2)]<2.

五.课后作业
1、下列函数中,在区间 (??, 0) 上是增函数的是( A y ? x 2 ? 4x ? 8 B y ? log1 (? x) C y ? ?
2



2 x ?1

D )

y ? 1? x

2、函数 y=(2k+1)x+b 在(-∞,+∞)上是减函数,则(

1 1 A.k>2, C.k>D.k<2 2 x 3、 (04 年湖北卷.理 7)函数 f ( x) ? a ? loga ( x ? 1)在[0,1] 上的最大值与最小值之和为 a,
则 a 的值为( ) B

1 B k< 2

1 A 4
2

1 2

C 2 ( C.( )

D 4

4.函数 y ? log 1 (2 x2 ? 3x ? 1) 的递减区间为 A.(1,+ ? ) B.(- ? ,

1 1 ,+ ? ) D.(- ? , ] 2 2 1 5、若函数 f ( x) ? loga ( x 3 ? ax) (a ? 0, a ? 1) 在区间 ( ? ,0) 内单调递增,则 a 的取值范 2
围是( ) B. [ ,1)
3 2

3 ] 4

1 A. [ ,1) 4

3 4

C. ( ,?? )

9 4

D. (1, )

9 4

6、已知 f ( x) ? 2 x ? 6 x ? a ( a 是常数) ,在 ? ?2, 2? 上有最大值 3,那么在 ? ?2, 2? 上的 最小值是 ( A. ?5
2

) B. ?11 C. ?29 D. ?37 )

7、 已知函数 y ? x ? 2 x ? 3 在区间[0, m]上有最大值 3, 最小值 2, 则 m 的取值范围是 ( A、[ 1,+∞) B、[0,2] C、 (-∞,2] D、[1,2] .

8、若函数 f (x) = 4x3-ax+3 的单调递减区间是 ( ?

1 1 , ) ,则实数 a 的值为 2 2

9、若 x 2 ? y 2 ? 1 ,则

y?2 x y 的最小值是________ ? 的最大值是_____________ x ?1 3 4

10、已知函数 y ? lg(ax2 ? 2 x ? 1) 的值域为 R,则实数 a 的取值范围是_____________ 11 . 已知 y=f(x) 是定义在( -2 , 2 )上的增函数,若 f(m-1) < f(1-2m) ,则 m 的取值范围 是 . 12.已知下列四个命题:①若 f(x)为减函数,则 -f(x)为增函数;②若 f(x)为增函数,则函数 g(x)=

1 在其定义域内为减函数; ③若 f(x)与 g(x)均为(a,b)上的增函数, 则 f(x)· g(x) f ( x)

也是区间(a,b)上的增函数;④若 f(x)与 g(x)在(a,b)上分别是递增与递减函数,且 g(x) ≠0,则

f ( x) 在(a,b)上是递增函数.其中命题正确的是 g ( x)
2

(填序号)

13、设函数 f ( x) ? ln(2 x ? 3) ? x (Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性;

(Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 的最大值和最小值. 4 4

? 3 1? ? ?


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