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人教版高中数学10.1 分类计数原理和分步计数原理


一、教材分析 1.本节教材的地位和作用 《分类计数原理和分步计数原理》,是高中数 学第十章排列、组合的第一节课。排列、组合是当 今发展很快的组合数学的最初步的知识,这种以计 数为特征的内容在中学数学中是较为独特的,它不 仅应用广泛,也是学习后面概率统计以及进一步学 习高等数学有关分支的准备知识,而且其思想方法 较为独特灵活,是发展学生抽象能力和逻辑思维能 力的好素材,是后面概率知识的必要基础。 分类计数原理和分步计数原理是 排列、组合的基础,它们是人们在大 量实践经验基础上归纳出来的基本规 律,不仅是推导排列数,组合数计算 公式的依据,而且其基本思想方法贯 穿在解决本章应用问题的始终,因此, 学生对这两个原理的理解,掌握和运 用,成为学好本章的一个关键。 2、教学内容: ①分类计数原理和分步计数原理 ②应用这两个原理。 3、重点 难点 (1) 重点 本节重点是分类计数原理和分步计数原理的理解 及应用。要严格区分两个原理的应用范围,不能乱用, 分类时要做到不重不漏;分步时做到不缺步。 (2)难点 分清完成一件事是分类还是分步是本节的难点,可 多举一些生活中学生熟悉的事例,引导学生抽象,概括 出两个原理。 三、授 课 问题1 从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘 汽车。一天中,火车有3班,汽车有2班。那么 一天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 多少种不同的走法? 3+2=5(种) 火车1 火车2 甲 火车3 汽车1 汽车2 乙 分类计数原理 完成一件事,有n类办法,在第1类办法中 有m1 种不同的方法,在第2类方法中有 m2 种 不同的方法,…,在第n类办法中有mn 种不同 的方法,那么完成这件事共有 N=m1 +m2 + ? +mn 种不同的方法. 分类计数原理又称“加法原理” 问题2 从甲地到乙地,要从甲地先乘火车到 丙地,再于次日从丙地乘汽车到乙地。一天 中,火车有3班,汽车有2班,那么两天中, 从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 3 ? 2 ? 6(种) 火车1 汽车1 甲 火车2 火车3 丙 汽车2 乙 分步计数原理 完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m 1 种不 同的方法,做第2步有m2 种不同的方法,…,做第n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1 ·m2 · … · mn 种不同的方法。 “分步计数原理”又称为“乘法原 理”. 分类计数原理(加法原理)和分步计数原理 (乘法原理)的异同点: 共同点:都是把一个事件分解成若干个分事件来 完成; 不同点:分类计数原理是“完成”某件事可分几 类,关键在“分类”,其中每一种方法都可完成这 件事,各种方法相互独立、分类完备; 分步计数原理是“分几步”完成 “一件事”关键 在“分步”,只有各个步骤都完成了,才算完成 了一件事,各步之间相互依存、相互关联、缺一 不可。 例题 例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有 3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书。 (1)从书架上任取一本书,有多少种取法? 解 : (1)从第1层任取一本,有4种取法,从第2层任取一本,有3 种取法,从第3层任取一本,有2种取法,共有 4+3+2=9 种取法。 答:从书架上任意取一本书,有9种不同的取法。 分类时要做到不重不漏 例题 例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有 3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书。 (2)从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同的 取法? (2) 从书架的1 、

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