当前位置:首页 >> 数学 >>

数学试卷分类汇编(中)


七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

第七章 不等式
7.1 不等关系及不等式的性质 【必考内容要求】 1.不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景. 【高考试题汇编】 一、选择题(共 0 题) 二、填空题(共 0 题) 三、解答题(共 0 题) 7.2 解不等式 【必考内容要求】 2.一元二次不等式

(1) 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. (2) 通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. (3) 会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图. 【高考试题汇编】 一、选择题(共 0 题) 二、填空题(共 0 题) 三、解答题(共 0 题) 7.3 简单的线性规划问题 【必考内容要求】 3.二元一次不等式组与简单线性规划问题 (1) 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. (2) 了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组. (3) 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决. 【高考试题汇编】 一、选择题(共 9 题)

? 2 x ? y ? 4, ? 1.【2009 年理海南宁夏理 6 文 6】设 x, y 满足 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? y ? x ? 2 y ? 2, ?
(A)有最小值 2,最大值 3 (C)有最大值 3,无最小值 (B)有最小值 2,无最大值 (D)既无最小值,也无最大值

【答案】B【解析】画出不等式表示的平面区域,如右图,由 z=x +y,得 y=-x+z,令 z =0,画出 y=-x 的图象,当它的平行线 经过 A(2,0)时,z 取得最小值,最小值为:z=2,无最大值,故 选.B 2. 【2010 年新课标卷文 11】 已知 ? ABCD 的三个顶点为 A (-1, 2) , B(3,4) ,C(4,-2) ,点(x,y)在 ? ABCD 的内部,则 z=2x-5y 的取值范围是 (A) (-14,16) (B) (-14,20) (C) (-12,18) (D) (-12,20) 【答案】B

95

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

2 z x ? ,所以当直线经 5 5 z z 过点 B(3,4)时, ? 最大,即 z 取最小为 ?14 ;当直线经过点 D(0, ?4 )时, ? 最 5 5
解析:由已知条件得 AB ? DC ? D(0, ?4) ,由 z ? 2 x ? 5 y 得 y ? 小,即 z 取最大为 20,又由于点 ( x, y ) 在四边形的内部,故 z ? (?14, 20) . 3【2012 年新课标卷文 5】已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1),B(1,3),顶点 C 在第一象限, 若点(x,y)在△ ABC 内部,则 z ? ? x ? y 的取值范围是 (A)(1- 3,2) (B)(0,2) (C)( 3-1,2) 【命题意图】本题主要考查简单线性规划解法,是简单题. (D)(0,1+ 3)

??? ?

????

【解析】有题设知 C(1+ 3 ,2),作出直线 l0 : ? x ? y ? 0 ,平移 直线 l0 ,有图像知,直线 l : z ? ? x ? y 过 B 点时, zmax =2,过 C 时,

zmin = 1 ? 3 ,∴ z ? ? x ? y 取值范围为(1- 3,2),故选 A.
? x ?1 ? 4.【2013 年新课标卷 2 理 9】已知 a>0,x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? y ? a ? x ? 3? ?
最小值为 1,则 a= (A)

,若 z=2x+y 的

1 4

(B)

1 2

(C)1

(D)2

? x ? y ? 1 ? 0, ? 5. 【2013 年新课标卷 2 文 3】设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最小 ? x ? 3, ?
值是( ) (A) ?7 【答案】B (B) ?6 (C) ?5 (D) ?3

96

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

2 z x ? 。作出可行域如图,平移直 3 3 2 z 2 z 线 y ? x ? ,由图象可知当直线 y ? x ? 经过点 B 时,直线 3 3 3 3
【解析】由 z=2x-3y 得 3y=2x-z,即 y ?

y?

?x ? y ?1 ? 0 ? x ? 3 2 z x ? 的截距最大, 此时 z 取得最小值, 由? 得? , 3 3 ?x ? 3 ?y ? 4

即 B(3, 4) ,代入直线 z=2x-3y 得 z ? 3 ? 2 ? 3 ? 4 ? ?6 ,选 B. 6.【2014 高考全国 1 卷文第 11 题】设 x , y 满足约束条件 ? 值为 7,则 a ? ( (A)-5 (C)-5 或 3 ) (B)3 (D)5 或-3

? x ? y ? a, 且 z ? x ? ay 的最小 ? x ? y ? ?1,

? x ? y ? 1 ? 0, ? 7. 【2014 高考全国 2 卷文第 9 题】设 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z ? x ? 2 y 的 ? x ? 3 y ? 3 ? 0, ?
最大值为( (A) 8 ) (B) 7 (C) 2 (D)1

97

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

8.【2014 全国 1 高考理第 9 题】不等式组 ?

? x ? y ? 1, 的解集为 D,有下面四个命题: ? x ? 2 y ? 4,
, 2 D? ,x 2 ?y , 1 D? ,x 2 ?y ?

p1 : ?(x, y) ? D, x? 2 y ? ?2 , p3 : ?(x, y) ? D, x? 2 y ? 3
其中的真命题是( A. p2 , p3 )

p2 : ? ( x , y ? ) p4 : ? ( x , y ? )

B. p1 , p2

C. p1 , p3

D. p1 , p4

98

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

? x ? y ? 7≤0 ? 9. 【2014 全国 2 高考理第 9 题】设 x,y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 1≤0 ,则 z ? 2x ? y 的最大 ?3 x ? y ? 5≥0 ?
值为( A. 10 ) B. 8 C. 3 D. 2

二、填空题(共 7 题) 1. 【2011 年新课标卷理 13 文 14】 若变量 x, y 满足约束条件 ?

?3 ? 2 x ? y ? 9, 则 z ? x ? 2y ?6 ? x ? y ? 9,

的最小值为



解析:画出区域图知,

?2 x ? y ? 3 当直线 z ? x ? 2 y 过 ? 的交点(4,-5)时, zmin ? ?6 ?x ? y ? 9

99

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

? x, y ? 0 ? 2.【2012 年新课标卷理 14】设 x, y 满足约束条件: ? x ? y ? ?1 ;则 z ? x ? 2 y 的取值范围 ? x? y ?3 ?
为 【解析】 z ? x ? 2 y 的取值范围为

[?3,3]

约束条件对应四边形 OABC 边际及内的区域: O(0,0), A(0,1), B(1, 2), C (3,0) 则 z ? x ? 2 y ?[?3,3] 3.【2013 年新课标卷 1 文】设 x, y 满足约束条件 ? 为______。

?1 ? x ? 3, ,则 z ? 2 x ? y 的最大值 ??1 ? x ? y ? 0

? x? y?2?0 ? 4. 【2015 年新课标卷 1 文 15】若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 z=3x+y 的最大值 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
为 【答案】4 【解析】 试题分析:作出可行域如图中阴影部分所示,作出直线 l0 : 3x ? y ? 0 ,平移直线 l0 ,当直 线 l :z=3x+y 过点 A 时,z 取 最大值,由 ? 4. .

? x ? y ? 2=0 解得 A(1,1) ,∴z=3x+y 的最大值为 ? x ? 2 y ? 1=0

考点:简单线性规划解法

100

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

?x ?1 ? 0 y ? 5. 【2015 年新课标卷 1 理 15】若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 的最大值 x ?x ? y ? 4 ? 0 ?

为 【答案】3 【解析】

.

y 试题分析:作出可行域如图中阴影部分所示,由斜率的意义知, 是可行域内一 x y 点与原点连线的斜率,由图可知,点 A(1,3)与原点连线的斜率最大,故 的 x

最大值为 3.

考点:线性规划解法

? x? y ?5? 0 ? 6. 【2015 年新课标卷 2 文 14】若 x,y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则 z=2x+y 的最大值 ?x ? 2 y ?1 ? 0 ?
为 【答案】8 .

考点:线性规划

? x ? y ? 1 ? 0, ? 7. 【2015 年新课标卷 2 理 14】14.若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0, ,则 z ? x ? y 的 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ?
101

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

最大值为____________. 【答案】

3 2

【解析】 试题分析:画出可行域,如图所示,将目标函数变形为 y ? ? x ? z ,当 z 取到最大时,直线

1 y ? ? x ? z 的纵截距最大,故将直线尽可能地向上平移到 D (1, ) ,则 z ? x ? y 的最大值为 2 3 . 2
考点:线性规划.
4 3 2 1 –4 –3 –2 –1

y

B D
1 2 3 4

O
–1 –2 –3 –4

x

C

三、解答题(共 0 题) 7.4 基本不等式及不等式的综合应用 【必考内容要求】 4.基本不等式:

a?b ? ab (a ? 0, b ? 0) 2

(1)了解基本不等式的证明过程, (2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 5.不等式的综合应用 【高考试题汇编】 一、选择题(共 2 题) 1.【2007 年海南宁夏理 7】已知 x ? 0 , y ? 0 , x,a,b,y 成等差数列, x,c,d,y 成

( a ? b) 2 等比数列,则 的最小值是( cd
A. 0 【答案】 :D B. 1

) C. 2 D. 4

102

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

【分析】 :? a ? b ? x ? y, cd ? xy, ?

(a ? b)2 ( x ? y)2 (2 xy )2 ? ? ? 4. cd xy xy

2.【2008 年海南宁夏理 6 文 7】已知 a1 ? a2 ? a3 ? 0 ,则使得 (1 ? ai x)2 ? 1(i ? 1 , 2, 3) 都成 立的 x 取值范围是( A. ? 0, ? )

? ?

1? a1 ?

B. ? 0, ?

? ?

2? a1 ?

C. ? 0, ?

? ?

1? a3 ?

D. ? 0, ?

? ?

2? a3 ?

解: (1 ? ai x) 2 ? 1 ? ai2 x 2 ? 2ai x ? 0 ? ai2 x( x ?

2 2 ) ? 0 ,所以解集为 (0, ) , ai ai



2 2 2 ? ? ,因此选 B。 a1 a2 a3

二、填空题(共 0 题) 三、解答题(共 0 题)

第八章 立体几何
8.1 空间几何体及其表面积和体积 【必考内容要求】 1.空间几何体 (1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生 活中简单物体的结构. (2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图, 能识别上述的三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图. (3)会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表 示形式. (4)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式). 【高考试题汇编】 一、选择题(共 21 题) 1.【2007 年海南宁夏理 8 文 8】已知某个几何体 的三视图如下,根据图中标出 的尺寸(单位: cm) ,可得这个几何体的体积是( ) 20

4000 3 cm 3 8000 3 cm B. 3
A. C. 2000cm D. 4000cm 【答案】 :B
3

20 正视图

20 侧视图
P

10
D C

3

10 20 俯视图
103
A B

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

【分析】 :如图, V ?

1 8000 ? 20 ? 20 ? 20 ? . 3 3

2.【2007 年海南宁夏理 12】一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱 锥的底面为正方形, 且底面边长与各侧棱长相等,这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、 三棱锥、三棱柱的高分别为 h1 , h2 , h ,则 h1 : h2 : h ? ( A. 3 :1:1 B. 3 : 2 : 2 C. 3 : 2 : 2 ) D. 3 : 2 : 3
P C h1 h(h 2 ) E B A D

【答案】 :B 【分析】 :如图,设正三棱锥 P ? ABE 的各棱长为 a , 则四棱锥 P ? ABCD 的各棱长也为 a , 于是 h1 ? a 2 ? (

2 2 2 a) ? a, 2 2

h2 ? a 2 ? (

3 2 6 a ? )2 ? a ? h, 2 3 2

?h1 : h2 : h ? 3 : 2: 2.
球心 O 在 AB 上, SO ? 底面 ABC , AC ? 则球的体积与三棱锥体积之比是( A. π B. 2 π 【答案】 :D C. 3π D. 4 π )

3.【2007 年海南宁夏文 11】已知三棱锥 S ? ABC 的各顶点都在一个半径为 r 的球面上,

2r ,

S

【分析】 :如图, ? AB ? 2r, ?ACB ? 90? , BC ? 2r,

1 1 1 1 ?V三棱锥 ? ? SO ? S?ABC ? ? r ? ? 2r ? 2r ? r 3 , 3 3 2 3 4 3 4 3 1 3 V球 ? ? r ,?V球 : V三棱锥 ? ? r : r ? 4? . 3 3 3

A

O

B

C

4.【2008 年海南宁夏理 12】某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的正视图中,这条棱 的投影是长为 6 的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段,则 a+b 的最大值为( A. 2 2 B. 2 3 ) C. 4 D. 2 5

解:结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图 设长方体的高宽高分别为 m, n, k ,由题意得

m ?n ?k ? 7 , m ?k ? 6 ? n ?1
2 2 2 2 2

k n m

104

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

1 ? k 2 ? a , 1 ? m2 ? b ,所以 (a2 ?1) ? (b2 ?1) ? 6
? a 2 ? b2 ? 8 ,∴(a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 ? 8 ? 2ab ? 8 ? a2 ? b2 ? 16

? a ? b ? 4 当且仅当 a ? b ? 2 时取等号。
5. 【2009 年理海南宁夏理 11 文 11】 一个棱锥的三视图如图, 则该棱锥的全面积(单位: cm2 )为 (A) 48 ? 12 2 (B) 48 ? 24 2

(C) 36 ? 12 2

(D) 36 ? 24 2

【答案】A 【解析】棱锥的直观图如右,则有 PO=4,OD=3,由勾股定理,得 PD=5,AB=6 2 ,全面积为: +12 2 ,故选.A。 6.【2010 年新课标卷理 10】设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为 a ,顶点都在一个 球面上,则该球的表面积为
2 (A) ? a

1 1 1 × 6× 6+2× × 6× 5+ × 6 2× 4=48 2 2 2

(B)

7 2 ?a 3

(C)

11 2 ? a (D) 5? a 2 3

【答案】B 解析:如图,P 为三棱柱底面中心,O 为球心,易知

2 3 3 1 AP ? ? a? a, OP ? a ,所以球的半径 R 满足: 3 2 3 2 R2 ? ( 3 2 1 2 7 2 a) ? ( a) ? a ,故 S 3 2 12
7 ? 4? R 2 ? ? a 2 . 3



7.【2010 年新课标卷文 7】设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个球面上, 则该球的表面积为 (A)3 ? a2 (B)6 ? a2 (C)12 ? a2 (D) 24 ? a2 【答案】B 解析:根据题意球的半径 R 满足 (2R) ? 6a ,所以 S球 =6? a .
2 2

2

8.【2011 年新课标卷理 6 文 8】在一个几何体的三视图中,正视图和

俯视图如右图所示,则相应的侧视图可以为

105

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

解析: 条件对应的几何体是由底面棱长为 r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分 与底面为半径为 r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。故选 D
9. 【2012 年新课标卷理 7 文 7】 如图, 网格纸上小正方形的边长为 1 , 粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )

( A) 6

(B) 9

(C ) ??

( D) ??

【解析】选 B 该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为 3

1 1 ? ? 6 ? 3? 3 ? 9 3 2 10【2012 年新课标卷理 11】已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在 球 O 的求面上, ?ABC 是边长为 1 的正三角形, SC 为球 O 的直径,且 SC ? 2 ;则此棱锥
此几何体的体积为 V ? 的体积为( )

( A)

2 6

(B)

3 6

(C )

2 3

( D)

2 2

【解析】选 A

?ABC 的外接圆的半径 r ?

6 3 ,点 O 到面 ABC 的距离 d ? R 2 ? r 2 ? 3 3 2 6 3

SC 为球 O 的直径 ? 点 S 到面 ABC 的距离为 2d ?

此棱锥的体积为 V ?

1 1 3 2 6 2 S?ABC ? 2d ? ? ? ? 3 3 4 3 6

另: V ?

1 3 排除 B, C, D S?ABC ? 2 R ? 3 6

11【2012 年新课标卷文 8】平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面 α 的距 离为 2,则此球的体积为 (A) 6π (B)4 3π (C)4 6π (D)6 3π 【解析】选(B) .
2 2 易知球的半径 R ? r ? d ? 3 ,此球的体积为 V ?

4? 3 R ? 4 3? . 3

12.【2013 年新课标卷 1 理 6】如图,有一个水平放置的透明无盖的正方 体容器,容器高 8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当 球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如果不计容器的厚度,则球
106

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

的体积为 500π 3 A、 cm 3

(

) 866π 3 B、 cm 3 1372π 3 C、 cm 3 2048π 3 D、 cm 3

【命题意图】本题主要考查球的截面圆性质、球的体积公式,是容易题. 【解析】设球的半径为 R,则由题知球被正方体上面截得圆的半径为 4,球心到截面圆的距 离为 R-2,则 R2 ? ( R ? 2)2 ? 42 ,解得 R=5,∴球的体积为

4? ? 53 500π 3 = cm ,故选 A. 3 3

13.【2013 年新课标卷 1 理 8 文 11】某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为 A . 16 ? 8? B . 8 ? 8? C . 16 ? 16? D . 8 ? 16? 【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体 积公式,是中档题. 【解析】由三视图知,该几何体为放到的半个圆柱底面半径为 2 高为 4,上边放一个长为 4 宽为 2 高为 2 长方体,故其体积为

1 ? ? 22 ? 4 ? 4 ? 2 ? 2 = 16 ? 8? ,故选 A . 2
14. 【2013 年新课标卷 2 理 7 文 9】 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标分 别是 (1, 0,1) , (1,1, 0) , (0,1,1) , (0,0,0) ,画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面 为投影面,则得到正视图可以为( )

(A) (B) (C) 【答案】A 【解析】在空间直角坐标系中,先画出四面体 O ? ABC 的直观图,以 zOx 平面为投影面,则得到正视图(坐标系中红色部分),所以选 A.

(D)

15. 【2014 高考全国 1 卷文第 8 题】如图,网格纸的各小格都是正方形,粗 实线画出的事一个几何体的三视图,则这个几何体是( A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 )

107

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

【答案】B 【解析】 试题分析:根据三视图的法则:长对正,高平齐,宽相等.可得几何体如下图所示.

考点:三视图的考查 16. 【2014 高考全国 2 卷文第 6 题】如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm) , 图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛 坯切削得到,则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为( A. )

17 27

B.

5 9

C.

10 27

D.

1 3

【答案】C 【解析】 试题分析: 由三视图还原几何体为一个小圆柱和大圆柱组成的简单组合体. 其中小圆柱底面 半径为 2、 高为 4, 大圆柱底面半径为 3、 高为 2, 则其体积和为 ? ? 2 ? 4 ? ? ? 3 ? 2 ? 34? ,
2 2

108

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

而圆柱形毛坯体积为 ? ? 3 ? 6 ? 54? ,故切削部分体积为 20? ,从而切削的部分的体积与
2

原来毛坯体积的比值为 【考点定位】三视图.

20? 10 ? . 54? 27

17. 【2014 高考全国 2 卷文第 7 题】 正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面边长为 2 , 侧棱长为 3 ,

D 为 BC 中点,则三棱锥 A ? B1DC1 的体积为(
(A) 3 (B)



3 2

(C) 1

(D)

3 2

109

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

18.【2015 年新课标 1 卷文 6 理 6】 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中 有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问”积及为米几何?” 其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一) ,米 堆底部的弧长为 8 尺, 米堆的高为 5 尺, 米堆的体积和堆放的米各为多少?” 已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺, 圆周率约为 3, 估算出堆放的米有 ( ) (A) 14 斛 (B) 22 斛 (C) 36 斛 (D) 66 斛

【答案】B 【解析】 试题分析:设圆锥底面半径为 r,则
1 16 ? 2 ? 3r ? 8= r ? ,所以米堆的体积为 4 3 1 1 16 320 320 ? ? 3 ? ( )2 ? 5 = ,故堆放的米约为 ÷1.62≈22,故选 B. 4 3 3 9 9

考点:本题主要考查圆锥的性质与圆锥的体积公式 19. 【2015 年新课标 1 卷文 11 理 11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r )组 成一个几何体,该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为

16 ? 20? ,则 r ? ( )
(A) 1 (C) 4 (B) 2 (D) 8

【答案】B 【解析】 试题分析:由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与球
的 半 径 都 为 r , 圆 柱 的 高 为 2r , 其 表 面 积 为

1 ? 4? r 2 ? ? r ? 2r ? ? r 2 ? 2r ? 2r = 5? r 2 ? 4r 2 =16 + 20 ? ,解得 r=2,故选 B. 2
考点:简单几何体的三视图;球的表面积公式;圆柱的测面积公式 20. 【2015 年新课标 1 卷文 11 理 6】一个正方体被一个平面截去 一部分后,剩余部分的三视 图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )

110

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

A.

1 8

B.

1 7

C.

1 6

D.

1 5

【答案】D 【解析】 试题分析:由三视图得,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,截去四面体 A ? A 1B 1D 1 ,如图所 示, , 设 正 方 体 棱 长 为 a , 则 VA? A1B 1 D 1?

1 1 3 1 3 ? a ? a ,故剩余几何体体积为 3 2 6 1 5 1 a 3 ? a 3 ? a 3 ,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ,故选 D. 6 6 5

考点:三视图.

D1

C1

A1 D

B1 C

A

B

21. 【2015 年新课标 2 卷文 10 理 9】 10. 已知 A, B 是球 O 的球面上两点, ?AOB ? 90? , C 为该球面上的动点.若三棱锥 O ? ABC 体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为( A. 36? 【答案】C B. 64? C. 144 ? D. 256? )

111

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

考点:球与几何体的切接. 【解析】 试题分析:如图所示,当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时,三棱锥 O ? ABC 的体积 最大,设球 O 的半径为 R ,此时 VO ? ABC ? VC ? AOB ? 则球 O 的表面积为 S ? 4? R ? 144? ,故选 C.
2

1 1 2 1 ? R ? R ? R 3 ? 36 ,故 R ? 6 , 3 2 6

考点:外接球表面积和椎体的体积.

C

O A B

二、填空题(共 8 题) 1.【2008 年海南宁夏理 15】一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱 柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为 为 .

9 ,底面周长为 3 ,则这个球的体积 8

解:令球的半径为 R ,六棱柱的底面边长为 a ,高为 h ,显然有

h a 2 ? ( )2 ? R ,且 2

? 3 2 9 ?a ? 1 4 4 a ?h ? ?V ? 6 ? ? 2 ? R ? 1 ? V ? ? R3 ? ? ? 4 8?? 3 3 ?6a ? 3 ? ?h ? 3 ?
2.【2008 年海南宁夏文 14】一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面。已知该六棱

112

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的高为 3 ,底面周长为 3,那么这个球的体 积为 _________ 【标准答案】 :V ?

4 ? 3 1 ,故其主对角线为1,从而球的直径 2
∴球的体积 V ?

【试题解析】∵正六边形周长为3,得边长为

2R ?

? 3?

2

? 12 ? 2 ∴ R ? 1

4 ? 3

【高考考点】正六棱柱及球的相关知识 【易错点】 :空间想象能力不强,不能画出直观图而出错。 【全品备考提示】 :空间想象能力是立体几何中的一个重要能力之一,平时要加强培养。 3.【2010 年新课标卷理 14】正视图为一个三角形的几何体可以是______(写出三种) 【解析】三棱锥、三棱柱、圆锥等. 4.【2010 年新课标卷文 14】一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列 几何体中的_______(填入所有可能的几何体前的编号) ①三棱锥 ②四棱锥 ③三棱柱 ④四棱柱 ⑤圆锥 ⑥圆柱 【答案】①②③⑤. 5.【2011 年新课标卷理 15】已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,

且 AB ? 6, BC ? 2 3 ,则棱锥 O ? ABCD 的体积为 解析:设 ABCD 所在的截面圆的圆心为 M,则 AM=



1 (2 3) 2 ? 62 ? 2 3 , 2

1 OM= 42 ? (2 3 ) 2 ? 2 , VO ? ABCD ? ? 6 ? 2 3 ? 2 ? 8 3 . 3
6.【2011 年新课标卷文 16】已知两个圆锥有公共底面,且两个圆锥的顶点和底面的圆 周都在同一个球面上,若圆锥底面面积是这个球面面积的 者的高与体积较大者的高的比值为 。

3 ,则这两个圆锥中,体积较小 16

解析:本题考查球内接圆锥问题,属于较难的题目。 由圆锥底面面积是这个球面面积的 3 得 ?r ? 3 2 16 4? R
2

16

所以 r ?
R

3, 则小圆锥 2

R 3R 1 , 大圆锥的高为 ,所以比值为 2 2 3 O H 7.【2013年新课标卷1文15】已知 是球 的直径 AB 上一点, AH : HB ? 1: 2 , AB ? 平 面 ? , H 为垂足, ? 截球 O 所得截面的面积为 ? ,则球 O 的表面积为_______。
的高为

113

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

8.【2013 年新课标卷 2 文 15】已知正四棱锥 O ? ABCD 的体积为 则以 O 为球心, OA 为半径的球的表面积为________。 【答案】 24? 【解析】设正四棱锥的高为 h ,则 ? ( 3) 2 h ?

3 2 ,底面边长为 3 , 2

1 3

3 2 3 2 ,解得高 h ? 。则底面正方形的 2 2

对角线长为

2 ? 3 ? 6 , 所 以 OA ? (

3 2 2 6 ) ? ( )2 ? 6 , 所 以 球 的 表 面 积 为 2 2

4? ( 6)2 ? 24? .
三、解答题(共 0 题) 8.2 空间线面关系 【必考内容要求】 2.点、直线、平面之间的位置关系 (1)理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定 理. ◆公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点在此平面内. ◆公理 2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. ◆公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共 直线. ◆公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. ◆定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互 补. (2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂 直的有关性质与判定. 理解以下判定定理. ◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行. ◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行. ◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直. ◆如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直. 理解以下性质定理,并能够证明. ◆如果一条直线与一个平面平行, 那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直 线平行. ◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行. ◆垂直于同一个平面的两条直线平行.
114

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

◆如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直. (3)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 【高考试题汇编】 一、选择题(共 3 题) 1.【2008 年海南宁夏文 12】已知平面 α⊥平面 β,α∩β= l,点 A∈α,A ? l,直线 AB∥l,直 线 AC⊥l,直线 m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,不一定 成立的是( ... A. AB∥m B. AC⊥m C. AB∥β D. AC⊥β 【标准答案】 :D 【试题解析】 :容易判断A、B、C三个答案都是正确的,对于D,虽然 AC ? l , 但AC不一定在平面 ? 内,故它可以与平面 ? 相交、平行,故不一定垂直; 【高考考点】线面平行、线面垂直的有关知识及应用 【易错点】 :对有关定理理解不到位而出错。 【全品备考提示】 :线面平行、线面垂直的判断及应用仍然是立体几何的一个重点,要重点 掌握。 2.【2009 年理海南宁夏文 9】如图,正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱 线长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 E,F,且 EF ? 下列结论中错误的是 (A) AC ? BE (C)三棱锥 A ? BEF 的体积为定值 (B) EF / /平面ABCD (D)异面直线 AE, BF 所成的角为定值 )

2 ,则 2

解 析 : A 正 确 , 易 证 AC ? 平面D1DBB1,从而AC ? BE; B 显 然 正 确 ,

? EF / / BD,? EF / /平面ABCD易证 ;C 正确,可用等积法求得;D 错误。选 D.
3. 【2013 年新课标卷 2 理 4】 已知 m, n 为异面直线, m⊥平面 α, n⊥平面 β。 直线 l 满足 l⊥m, l⊥n, l ? ? , l ? ? ,则( ) (A)α∥β 且 l∥α (C)α 与 β 相交,且交线垂直于 l (B)α⊥β 且 l⊥β (D)α 与 β 相交,且交线平行于 l

115

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

二、填空题(共 0 题) 三、解答题(共 12 题)

,B,C,D 为空间 1.【2007 年海南宁夏文 18】如图, A
四点.在 △ ABC 中, AB ? 2,AC ? BC ? 2 .等边三 角形 ADB 以 AB 为轴运动. (Ⅰ)当平面 ADB ? 平面 ABC 时,求 CD ; (Ⅱ)当 △ ADB 转动时,是否总有 AB ? CD ? 证明你的结论. 解: (Ⅰ)取 AB 的中点 E ,连结 DE,CE , 因为 ADB 是等边三角形,所以 DE ? AB . 当平面 ADB ? 平面 ABC 时, 因为平面 ADB ? 平面 ABC ? AB , 所以 DE ? 平面 ABC ,可知 DE ? CE 由 已 知 可 得 DE ? 3 ,EC ? 1 , 在 Rt△DEC 中 ,

D

A
B

C
D

CD ? DE2 ? EC2 ? 2 .
(Ⅱ)当 △ ADB 以 AB 为轴转动时,总有 AB ? CD . B 证 明 :( ⅰ ) 当 D 在 平 面 ABC 内 时 , 因 为 AC= BC,AD ? BD , 所以 C,D 都在线段 AB 的垂直平分线上,即 AB ? CD .

E

A

C

(ⅱ)当 D 不在平面 ABC 内时,由(Ⅰ)知 AB ?DE .又因 AC ? BC ,所以 AB ? CE . B ? C D 又 DE,CE 为相交直线, 所以 AB ? 平面 CDE , 由 CD ? 平面 CDE , 得A . 综上所述,总有 AB ? CD . 2.【2008 年海南宁夏文 18】如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体 的直观图,它的正视图和侧视图在下面画出(单位:cm) 。 (1)在正视图下面,按照画 三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积; (3) 在所给直观图中连结 BC ' ,证明: BC ' ∥面 EFG。 【试题解析】(1)如图
D' G F B' C'

E D A B C

116

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

(2)所求多面体的体积 V ? V长方体 ? V正三棱锥 ? 4 ? 4 ? 6 ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ? (3)证明:如图,在长方体 ABCD ? A' B'C ' D' 中,连接 AD ,
'

1 ?1 3 ?2

? ?

284 ? cm3 ? 3

则 AD ∥ BC ' , 因 为 E , G 分 别 为 AA' , A' D' 中 点 , 所 以

'

AD' ∥ EG , C ' ? 平面 E F G 从而 EG ∥ BC ' , 又B

, 所以 BC ' ∥

平面EFG; 【高考考点】长方体的有关知识、体积计算及三视图的相关知识 【易错点】 :对三视图的相关知识掌握不到位,求不出有关数据。 【全品备考提示】 :三视图是新教材中的新内容,故应该是新高考的热点之一, 要予以足够的重视。 3. 【 2009 年海南宁夏 文 18 】 如图,在三棱锥 P ? ABC 中,⊿ PAB 是等边三角形, ∠PAC=∠PBC=90 ? (Ⅰ)证明:AB⊥PC (Ⅱ)若 PC ? 4 ,且平面 PAC ⊥平面 PBC , 求三棱锥 P ? ABC 体积。 解: (Ⅰ) 因为 ?PAB 是等边三角形,?PAC ? ?PBC ? 90? , 所以 Rt ?PBC ? Rt ?PAC ,可得 AC ? BC 。 如图,取 AB 中点 D ,连结 PD , CD , 则 PD ? AB , CD ? AB , 所以 AB ? 平面 PDC , 所以 AB ? PC 。 . . . . . .6 分
w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

(Ⅱ)作 BE ? PC ,垂足为 E ,连结 AE . 因为

Rt ?PBC ? Rt ?PAC ,

所以 AE ? PC , AE ? BE . 由已知,平面 PAC ? 平面 PBC ,故 ?AEB ? 90? . . . . . . .8 分

因为 Rt ?AEB ? Rt ?PEB ,所以 ?AEB, ?PEB, ?CEB 都是等腰直角三角形。 由已知 PC ? 4 ,得 AE ? BE ? 2 , ?AEB 的面积 S ? 2 . 因为 PC ? 平面 AEB ,所以三角锥 P ? ABC 的体积

1 8 V ? ? S ? PC ? 3 3

. . . . . . .12 分

117

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

4.【2010 年新课标卷文 18】如图,已知四棱锥 P ? ABCD 的 底面为等腰梯形, AB ∥ CD , AC ? BD ,垂足为 H , PH 是 四棱锥的高。 (Ⅰ)证明:平面 PAC ? 平面 PBD ; ( Ⅱ ) 若 AB ? 6 , ?APB ? ?ADB ? 60° ,求四棱锥

P ? A B C 的体积。 D
解: (1)因为 PH 是四棱锥 P-ABCD 的高。 所以 AC ? PH,又 AC ? BD,PH,BD 都在平 PHD 内,且 PH ? BD=H. 所以 AC ? 平面 PBD. 故平面 PAC 平面 PBD. ……..6 分

(2)因为 ABCD 为等腰梯形,AB ? CD,AC ? BD,AB= 因为 ? APB= ? ADR=600 所以 PA=PB= 等腰梯形 ABCD 的面积为 S=

6 . 所以 HA=HB= 3 .

6 ,HD=HC=1. 可得 PH= 3 .
……..9 分

1 AC x BD = 2+ 3 . 2

所以四棱锥的体积为 V=

1 3? 2 3 x(2+ 3 )x 3 = 3 3

……..12 分

5. 【 2011 年新课标卷文 18 】 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形。

?DAB ? 60? , AB ? 2 AD, PD ? 底面 ABCD 。
(I)证明: PA ? BD (II)设 PD ? AD ? 1 ,求棱锥 D ? PBC 的高。 解: (Ⅰ )因为 ?DAB ? 60?, AB ? 2 AD , 由余弦定

理得 BD ? 3 AD 从而 BD2+AD2= AB2,故 BD ? AD 又 PD ? 底面 ABCD,可得 BD ? PD 所以 BD ? 平面 PAD. 故 PA ? BD

(Ⅱ)过 D 作 DE⊥PB 于 E,由(I)知 BC⊥BD,又 PD⊥底面 ABCD , 所以 BC⊥平面 PBD,而 DE ? 平面 PBD,故 DE⊥BC,所以 DE⊥平面 PBC 由题设知 PD=1,则 BD= 3 ,PB=2, 由 DE﹒PB=PD﹒BD 得 DE=
3 3 ,即棱锥 D ? PBC 的高为 2 2

118

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

6.【2012 年新课标卷文 19】如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱垂直底面,∠ACB=90° , 1 AC=BC= AA1,D 是棱 AA1 的中点。 2 (I) 证明:平面 BDC1 ⊥平面 BDC1 (Ⅱ)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比. 【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的 判定与性质及几何体的体积计算,考查空间想象能力、逻辑推 理能力,是简单题. 【解析】(Ⅰ)由题设知 BC⊥ CC1 ,BC⊥AC, CC1 ? AC ? C ,∴ BC ? 面 ACC1 A 1, 又∵ DC1 ? 面 ACC1 A 1 ,∴ DC1 ? BC ,
0 由题设知 ?A 1DC1 ? ?ADC ? 45 ,∴ ?CDC1 = 90 ,即 DC1 ? DC ,
0

又∵ DC ? BC ? C ,

∴ DC1 ⊥面 BDC ,

∵ DC1 ? 面 BDC1 ,

∴面 BDC ⊥面 BDC1 ; (Ⅱ)设棱锥 B ? DACC1 的体积为 V1 , AC =1,由题意得, V1 = ? 由三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积 V =1, ∴ (V ? V1 ) : V1 =1:1, ∴平面 BDC1 分此棱柱为两部分体积之比为 1:1. 7.【2013 年新课标卷 1 文 19】如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1
? 中, CA ? CB , AB ? AA 1 , ?BAA 1 ? 60 。

1 1? 2 1 ? 1? 1 = , 3 2 2

C

C1 B1 A1

(Ⅰ)证明: AB ? AC ; 1 (Ⅱ)若 AB ? CB ? 2 , AC 1B 1C1 1 ? 6 ,求三棱柱 ABC ? A 的体积。

B A

119

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

8.【2013 年新课标卷 2 文 18】如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, D , E 分别是 AB , BB1 的中点。 (Ⅰ)证明: BC1 / / 平面 ACD 1 1; (Ⅱ)设 AA1 ? AC ? CB ? 2 , AB ? 2 2 ,求三棱锥 C ? A 1DE 的体积。

A1 B1 A D B E

C1

C

9. 【2014高考全国1文第19题】如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形, B1C 的中点为 O ,且 AO ? 平面 BB1C1C .

(1)证明: B1C ? AB; (2)若 AC ? AB1 , ?CBB1 ? 60 , BC ? 1, 求三棱柱 ABC ? A1B1C1 的高.
?

120

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

(2)作 OD ? BC ,垂足为 D,连结 AD,作 OH ? AD ,垂足为 H.
121

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

由于, BC ? OD ,故 BC ? 平面 AOD,所以 OH ? BC , 又 OH ? AD ,所以 OH ? 平面 ABC. 因为 ?CBB1 ? 600 ,所以 ?CBB1 为等边三角形,又 BC ? 1 ,可得 OD ? 由于 AC ? AB1 ,所以 OA ?

3 . 4

1 1 B1C ? , 2 2

PA ? 10. 【2014 高考全国 2 文第 18 题】 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形,
平面 ABCD , E 是 PD 的中点. (Ⅰ)证明: PB //平面 AEC ; (Ⅱ)设 AP ? 1, AD ? 离.

3 ,三棱锥 P ? ABD 的体积 V ?

3 ,求 A 到平面 PBC 的距 4

122

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

123

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

11. 【2015 年新课标卷 1 文 18】18. (本小题满分 12 分)如图四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 交点, BE ? 平面ABCD ,

(I)证明:平面 AEC ? 平面 BED ; (II)若 ?ABC ? 120 , AE ? EC , 三棱锥 E ? ACD 的体积为
?

6 ,求该三棱锥的侧面 3

积. 【答案】 (I)见解析(II) 3+2 5

124

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

试题解析: (I)因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC ^ BD, 因为 BE ^ 平面 ABCD,所以 AC ^ BE,故 AC ^ 平面 BED. 又 AC ? 平面 AEC,所以平面 AEC ^ 平面 BED (II)设 AB= x ,在菱形 ABCD 中,由 ? ABC=120°,可得 AG=GC=

x 3 x ,GB=GD= . 2 2

因为 AE ^ EC,所以在 RtDAEC 中,可得 EG=

3 x. 2 2 x. 2 6 3 6 .故 x =2 x = 24 3

由 BE ^ 平面 ABCD,知 D EBG 为直角三角形,可得 BE=

由已知得,三棱锥 E-ACD 的体积 VE - ACD = 醋 AC GD ? BE 从而可得 AE=EC=ED= 6 . 所以 D EAC 的面积为 3, D EAD 的面积与 D ECD 的面积均为 5 . 故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 3+2 5 .

1 1 3 2

考点:线面垂直的判定与性质;面面垂直的判定;三棱锥的体积与表面积的计算;逻辑推理 能力;运算求解能力 12. 【2015 年新课标卷 2 文 19】如图,长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中 AB=16,BC=10, AA 1 ?8, 点 E,F 分别在 A 1B 1, D 1C1 上, A 1E ? D 1F ? 4. 过点 E,F 的平面 ? 与此长方体的面相交,交线围 成一个正方形.

125

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

(I)在图中画出这个正方形(不必说明画法与理由) ; (II)求平 面 ? 把该长方体分成的两部分体积的比值. 【答案】 (I)见试题解析(II)

9 7 或 7 9

考点:1.几何体中的截面问题;2.几何体的体积

8.3 空间向量与立体几何 【必考内容要求】 3.空间直角坐标系 (1)了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置. (2)会简单应用空间两点间的距离公式. 2.空间向量与立体几何
126

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

(1)了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交 分解及其坐标表示. (2) 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. (3) 掌握空间向量的数量积及其坐标表示, 能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. (4) 解直线的方向向量与平面的法向量. (5) 能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系. (6)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理). (7) 能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了 解向量方法在研究几何问题中的应用. 【高考试题汇编】 一、选择题(共 0 题) S 二、填空题(共 0 题) 三、解答题(共 10 题) 1.【2007 年海南宁夏理 18】如图,在三棱锥 S ? ABC 中, 侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形, ?BAC ? 90° , O 为 BC 中点. (Ⅰ)证明: SO ? 平面 ABC ; (Ⅱ)求二面角 A ? SC ? B 的余弦值. 证明: (Ⅰ)由题设 AB= AC = SB= SC ? SA ,连结 OA ,

O
B A

C

△ ABC 为等腰直角三角形,

2 所以 OA ? OB ? OC ? SA ,且 AO ? BC , 2
又 △ SBC 为等腰三角形,故 SO ? BC , 且 SO ?

S

M

2 SA ,从而 OA2 ? SO2 ? SA2 . 2
B

O
A

C

所以 △ SOA 为直角三角形, SO ? AO . 又 AO ? BO ? O .

所以 SO ? 平面 ABC . (Ⅱ)解法一:取 SC 中点 M ,连结 AM,OM ,由(Ⅰ)知 SO ? OC,SA ? AC , 得 OM ? SC,AM ? SC .

∴ ?OMA 为二面角 A ? SC ? B 的平面角. 由 AO ? BC,AO ? SO,SO ? BC ? O 得 AO ? 平面 SBC .
所以 AO ? OM ,又 AM ?

AO 2 6 3 . SA ,故 sin ?AMO ? ? ? 2 AM 3 3
3 . 3

所以二面角 A ? SC ? B 的余弦值为

解法二:以 O 为坐标原点,射线 OB,OA 分别为 x 轴、 y 轴的正半轴, 建立如图的空间直角坐标系 O ? xyz .

127

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

设 B(1 , 0, 0) ,则 C (?1 , 0,, 0) A(0, 1 ,, 0) S (0, 0, 1) .

? ?1 ? 1 ? ???? ? 1 1 ? ??? ? 1 1 ? ???? SC 的中点 M ? ? , 0, ? , MO ? ? , 0, ? ?, MA ? ? , 1 , ? ?, SC ? (?1 , 0, ? 1) . 2? 2? ?2 ?2 ? 2 2?

???? ? ??? ? ???? ??? ? ∴MO · SC ? 0, MA · SC ? 0 .
故 MO ? SC,MA ? SC,< MO, MA ? 等于 二面角 A ? SC ? B 的平面角.

z

S

???? ? ??? ?

M

???? ? ???? ???? ? ???? MO · MA 3 , cos ? MO , MA ?? ???? ? ???? ? 3 MO· MA

O

C
A y

3 所以二面角 A ? SC ? B 的余弦值为 . 3

x

B

2. 【2008 年海南宁夏理 18】 如图, 已知点 P 在正方体 ABCD ? A?B?C ?D? 的对角线 BD? 上, ?PDA ? 60? . (Ⅰ)求 DP 与 CC ? 所成角的大小; D? C? (Ⅱ)求 DP 与平面 AA?D ?D 所成角的大小. ? A B? P 解:如图,以 D 为原点, DA 为单位长建立空间直角坐标系 D ? xyz . 则 DA ? (1 , 0, 0) , CC? ? (0, 01) , .连结 BD , B ?D ? . 在平面 BB ?D ?D 中,延长 DP 交 B ?D ? 于 H .

??? ?

???? ?

D A z B

C

???? ? ??? ? ???? ? DA ?? 60? , 设 DH ? (m,m, 1)(m ? 0) ,由已知 ? DH,
, DH ? 由 DA?DH ? DA DH cos ? DA ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ?

D? A?
D

H P

C?
B?
C B y

2 可得 2m ? 2m ?1 .解得 m ? , 2
2

A x

2 2 ?0? ? 0 ? 1? 1 ???? ? ???? ? ???? ? ? 2 2 ? 2 2 2 ? cos ? DH , CC ?? ? , , 1 所以 DH ? ? . (Ⅰ)因为 , ? ? 2 2 ? 2 1 ? 2 ? ?

CC? ?? 45 .即 DP 与 CC ? 所成的角为 45 . 所以 ? DH,
?
?

???? ? ???? ?

(Ⅱ)平面 AA?D ?D 的一个法向量是 DC ? (0, 1 , 0) .

????

2 2 ?0? ? 1 ? 1? 0 ???? ? ???? 1 2 2 DC ?? ? , 因 为 cos ? DH, 2 1? 2

所 以

128

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

???? ? ???? ? DH, DC ?? 60? .
可得 DP 与平面 AA?D ?D 所成的角为 30? . 3.【2009 年海南宁夏理 19】如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是地 面边长的 2 倍,P 为侧棱 SD 上的点。
w.w.w. k.s .5.u.c.o.m

(Ⅰ)

求证:AC⊥SD; (Ⅱ)若 SD⊥平面 PAC,求二面角 P-AC-D 的大小 (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,侧棱 SC 上是否存在一点 E, 使得 BE∥平面 PAC。若存在,求 SE:EC 的值;若不存在,试说明理由。
w.w.

解法一: (Ⅰ) 连 BD, 设 AC 交 BD 于 O, 由题意 SO ? AC 。 在正方形 ABCD 中,AC ? BD , 所以 AC ? 平面SBD ,得 AC ? SD . (Ⅱ)设正方形边长 a ,则 SD ? 又 OD ?

2a 。

2 a ,所以 ?SOD ? 600 , 2
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

连 OP ,由(Ⅰ)知 AC ? 平面SBD ,所以 AC ? OP ,

且 AC ? OD ,所以 ?POD 是二面角 P ? AC ? D 的平面角。 由 SD ? 平面PAC ,知 SD ? OP ,所以 ?POD ? 30 ,
0

即二面角 P ? AC ? D 的大小为 30 。
0

(Ⅲ)在棱 SC 上存在一点 E,使 BE // 平面PAC 由(Ⅱ)可得 PD ?

2 a ,故可在 SP 上取一点 N ,使 PN ? PD ,过 N 作 PC 的平行 4

线与 SC 的交点即为 E 。连 BN 。在 ? BDN 中知 BN // PO ,又由于 NE // PC , 故平面

1 ,故 SE:EC ? 2: 1. BEN // 平面PAC ,得 BE // 平面PAC ,由于 SN:NP ? 2:
解法二: (Ⅰ) ;连 BD ,设 AC 交于 BD 于 O ,由题意知 SO ? 平面ABCD .以 O 为坐

, OC, OS 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向,建立坐标系 O ? xyz 如图。 标原点, OB
设底面边长为 a ,则高 SO ?

6 a。 2

于是

S (0,0,

6 2 a), D(? a,0,0) 2 2

129

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

C (0,

2 a, 0) 2
w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

w.w. w. k.s. 5

O C? ( 0 ,

2 6 2 a, 0, ? a) a , 0 ) SD ? (? 2 2 2

OC ? SD ? 0 故

O C ? S D 从而

A C? S D
2 6 a, 0, a) ,平面 DAC 的 2 2

(Ⅱ)由题设知,平面 PAC 的一个法向量 DS ? (

一个法向量 OS ?)0, 0,

OS ? DS 3 6 ,所求二面角 ? a) ,设所求二面角为 ? ,则 cos ? ? 2 2 OS DS

的大小为 30 0 (Ⅲ)在棱 SC 上存在一点 E 使 BE // 平面PAC . 由(Ⅱ)知 DS 是平面 PAC 的一个法向量,



D S? (

2 6 a , 0, a) , C ? S 2 2
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

(? 0,

2 2

6 a , 2

a )



CE ? tCS ,



BE ? BC ? CE ? BC ? tCS ? (?
BE ? DC ? 0 ? t ? 1 3
w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

2 2 6 a, a(1 ? t ), at ) 2 2 2



即当 SE : EC ? 2 :1 时, BE ? DS

而 BE 不在平面 PAC 内,故 BE // 平面PAC 4. 【2010 年新课标卷理 18】 如图, 已知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形, AB ? CD,AC ? BD, 垂足为 H,PH 是四棱锥的高 ,E 为 AD 中点 (1) 证明:PE ? BC (2) 若 ? APB= ? ADB=60° ,求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值 解:以 H 为原点, HA, HB, HP 分别为 x, y, z 轴,线段 HA 的长为单位长, 建立空间 直角坐标系如图, 则 A(1,0,0), B(0,1,0) (Ⅰ)设 C (m,0,0), P(0,0, n)(m ? 0, n ? 0) 则

1 m D( 0 m , , 0E ), ( , 2 2

, 0).

130

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

1 m , ? ,n ) BC , ? m( ? , 1 , 0 ) . 2 2 m m 因为 PE ? BC ? ? ? 0 ? 0 所以 P E ? B C 2 2
可得

PE ? (





















m??

3 3 , n ? 1, 故 C( ? ,0,0) 3 3 D( 0 ? , 3 1 3 , 0E ), ? ( , 3 2 6 , P0 ) , ( 0 , 0 , 1)

设 n ? ( x, y, x) 为平面 PEH 的法向量



? ?n ? H E? ,o ? ? ?n ? H P? ,o

? 1 x ? 3 y ?0 ?2 6 即? ? ? z?0

因此可以取 n ? (1, 3,0) , 由 PA ? (1,0, ?1) ,可得

??? ?

? ? ?? 2 c o sP A n , ? 4 2 4

所以直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值为

5【2011 年新课标卷理 18】如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四 边形,∠DAB=60° ,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值。 解析 1: (Ⅰ)因为 ?DAB ? 60?, AB ? 2 AD , 由余弦定理得 BD ? 3 AD 从而 BD2+AD2= AB2,故 BD ? AD;又 PD ? 底面 ABCD,可得 BD ? PD 所以 BD ? 平面 PAD. 故 PA ? BD (Ⅱ)如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线 DA 为 D C z P

x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D- xyz ,则

A ?1,0,0 ? , B 0,3, 0 , C ?1, 3, 0 , P ? 0,0,1? 。

?

? ?

?

x

A

B

y

uu u v uuv uuu v AB ? (?1, 3,0), PB ? (0, 3, ?1), BC ? (?1,0,0)

131

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

??? ? ?n ? AB ? 0 ? 设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z) ,则 ? ??? , ? n ? PB ? 0 ? ?


?x ? 3y ? 0 3y ? z ? 0

因此可取 n= ( 3,1, 3)

??? ? ? ? m ? PB ? 0 设平面 PBC 的法向量为 m,则 ? ??? ? ? ? m ? BC ? 0
可取 m=(0,-1, ? 3 )

cos m, n ?

?4 2 7 ?? 7 2 7

故二面角 A-PB-C 的余弦值为

?

2 7 7
1 AA1 , 2

6【2012 年新课标卷理 19】如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? BC ?

D 是棱 AA 1 的中点, DC1 ? BD
(1)证明: DC1 ? BC (2)求二面角 A1 ? BD ? C1 的大小。 【解析】 (1)在 Rt ?DAC 中, AD ? AC 得: ?ADC ? 45
?

? ? 同理: ?A 1DC 1 ? 45 ? ?CDC 1 ? 90

得: DC1 ? DC , DC1 ? BD ? DC1 ? 面 BCD ? DC1 ? BC (2) DC1 ? BC, CC1 ? BC ? BC ? 面 ACC1 A 1 ? BC ? AC 取 A1B1 的中点 O ,过点 O 作 OH ? BD 于点 H ,连接 C1O, C1H

A1 C1 ? B1 C1? C1 O ? O H? B D ? 1C H ?

,面 A B 1 1 A 1 B1C1 ? 面 A 1BD ? C1O ? 面 A 1BD

H 与点 D 重合 B得:点 D

且 ?C1DO 是二面角 A1 ? BD ? C1 的平面角 设 AC ? a ,则 C1O ?

2a ? , C1D ? 2a ? 2C1O ? ?C1DO ? 30 2
?

既二面角 A1 ? BD ? C1 的大小为 30

132

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

7.【2013 年新课标卷 1 理 18】 如图, 三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60° . (Ⅰ)证明 AB⊥A1C; (Ⅱ)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直线 A1 C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值。 【命题意图】本题主要考查空间线面、线线垂直 的判定与性质及线面角的计算, 考查空间想象能力、 逻辑推论证能力,是容易题. 【解析】 (Ⅰ)取AB中点E,连结CE, A 1B , A 1E , ∵AB= AA1 , ?BAA1 = 60 0 ,∴ ?BAA1 是正三角形, ∴A 1E ⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB,

∵ CE ? A1E =E,∴AB⊥面 CEA1 , ∴AB⊥ AC 1 ; ……6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 EC⊥AB, EA1 ⊥AB, 又 ∵ 面 ABC⊥ 面 ABB1 A 1 , 面 ABC∩ 面

ABB1 A1 =AB,∴EC⊥面 ABB1 A1 ,∴EC⊥ EA1 ,
∴EA,EC, EA1 两两相互垂直,以 E 为坐标原点, EA 的方向为 x 轴正方向,| EA |为单 位长度,建立如图所示空间直角坐标系 O ? xyz , 有题设知 A(1,0,0), A1 (0, 3 ,0),C(0,0, 3 ),B(-1,0,0),则 BC =(1,0, 3 ), BB1 = AA 1 =(- 1,0, 3 ), AC 1 =(0,- 3 , 3 ),

??? ?

??? ?

??? ?

???? ????

????

……9 分

设 n = ( x, y, z ) 是平面 CBB1C1 的法向量,

??? ? ? ? ?n ? BC ? 0 ?x ? 则? ,即 ? ???? ? ? ?n ? BB1 ? 0 ?x ? ???? ???? n ? A1C ???? ∴ cos n, A1C = | n || A1C |

3z ? 0 3y ? 0

,可取 n =( 3 ,1,-1),

10 , 5 10 . 5
……12 分

∴直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为

133

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

8.【2013 年新课标卷 2 理 18】如图,直棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点,AA1=AC=CB= (Ⅰ)证明:BC1//平面 A1CD (Ⅱ)求二面角 D-A1C-E 的正弦值

2 AB。 2

9. 【2015 年新课标卷 1 理 18】 (18)如图, ,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,

F 是平面 ABCD 同一侧的两点,BE⊥平面 ABCD,DF⊥平面 ABCD,BE=2DF,AE⊥EC。
[来源:学&科&网]

(1)证明:平面 AEC⊥平面 AFC (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值

134

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

[来源:学科网]

【答案】 (Ⅰ)见解析(Ⅱ)

3 3

∴ EG 2 ? FG 2 ? EF 2 ,∴EG⊥FG, ∵AC∩FG=G,∴EG⊥平面 AFC, ∵EG ? 面 AEC,∴平面 AFC⊥平面 AEC. ……6 分 ??? ? ??? ? ??? ? (Ⅱ)如图,以 G 为坐标原点,分别以 GB, GC 的方向为 x 轴,y 轴正方向,| GB|
135

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

为单位长度, 建立空间直角坐标系 G-xyz, 由 (Ⅰ) 可得 A (0, - 3, 0) , E(1,0,

2 ),F(-1,0,

??? ? ??? ? 2 ) ,C(0, 3 ,0) ,∴ AE =(1, 3 , 2 ) , CF =(-1, 2

2 ).…10 分 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AE ? CF 3 ? ??? ? ?? 故 cos ? AE, CF ?? ??? . 3 | AE || CF |

- 3,

所以直线 AE 与 CF 所成的角的余弦值为

3 . 3

……12 分

考点:空间垂直判定与性质;异面直线所成角的计算;空间想象能力,推理论证能力

10. 【2015 年新课标卷 2 理 19】如图,长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AB =16 , BC =10 ,

AA1 ? 8 ,点 E , F 分别在 A1B1 , C1D1 上, A1E ? D1F ? 4 .过点 E , F 的平面 ? 与此
长方体的面相交,交线围成一个正方形. D1 F C1

A1

E D

B1 C

A

B

(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) ; (Ⅱ)求直线 AF 与平面 ? 所成角的正弦值. 【答案】 (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)由线面平行和面面平行的性质画平面 ? 与长方体的面的交线; (Ⅱ)由交 线围成的正方形 EHGF ,计算相关数据.以 D 为坐标原点, DA 的方向为 x 轴的正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz , 并求平面 ? 的法向量和直线 AF 的方向向量, 利
136

4 5 . 15

??? ?

七年(2007-2013)新课程标准数学试卷分类汇编

? ??? ? n ? AF ? ??? ? 用 sin ? cos ? n, AF ? ? ? ??? ? 求直线 AF 与平面 ? 所成角的正弦值. n ? AF
试题解析: (Ⅰ)交线围成的正方形 EHGF 如图: (Ⅱ)作 EM ? AB ,垂足为 M ,则 AM ? AE ? 4 , EM ? AA1 ? 8 ,因为 EHGF 为正 1 方形,所以 EH ? EF ? BC ? 10 .于是 MH ?

EH 2 ? EM 2 ? 6 ,所以 AH ? 10 .以 D

为坐标原点, DA 的方向为 x 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz ,则

??? ?

??? ? ??? ? A(10, 0, 0), H (10,10,0) , E (10, 4,8) , F (0, 4,8) , FE ? (10,0,0) , HE ? (0, ?6,8) .设
? ??? ? ? ? ?10 x ? 0, ?n ? FE ? 0, 即 ? 所以可取 n ? (x, y,z) 是 平 面 E H G F的 法 向 量 , 则 ? ? ???? ??6 y ? 8 z ? 0, ? ?n ? HE ? 0, ? ??? ? n ? AF ? ??? ? ? ??? ? 4 5 .又 .所以直线 AF 与 n ?(0, 4, 3 ) AF ? (?10,4,8) ,故 cos ? n, AF ? ? ? ??? ? ? 15 n ? AF
平面 ? 所成角的正弦值为

4 5 . 15

考点:1、直线和平面平行的性质;2、直线和平面所成的角.

D1 E D

F

C1

A1

B1 G C

A

M

H

B

137


相关文章:
2015年高考数学试题分类汇编
2015年高考数学试题分类汇编_高考_高中教育_教育专区。2015年高考数学试题分类汇编...8 6.(15 年广东理科)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是 A. y ...
2015年全国中考数学试题分类汇编
2015年全国中考数学试题分类汇编_中考_初中教育_教育专区。2015 年全国中考数学试题分类汇编———压轴题 1. 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线的解析式是 y = 1 ...
2015高考数学试题分类汇编(21个专题)
2015高考数学试题分类汇编(21个专题)_高考_高中教育_教育专区。2015 年高考数学...___. 8.(15 年新课标 1 理科) 在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75...
2015年高考文科数学试题分类汇编(20个类型)
2015年高考文科数学试题分类汇编(20个类型)_高考_高中教育_教育专区。2015 年...7. (15 年天津文科) △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,...
2015高考数学试题分类汇编解析几何部分
2015高考数学试题分类汇编解析几何部分_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2015高考...7 或 4 ? 7 . 【解析】 试题分析:(Ⅰ )题中涉及弦的中点坐标问题,故...
2014年高考数学真题分类汇编文科-概率与统计(文科)
2014年高考数学真题分类汇编文科-概率与统计(文科)_高考_高中教育_教育专区。专注...随机变量 X 表示 x1 , x2 , x3 中的最大数. 求 X 的概率分布和数学...
2016高考理科数学试题分类汇编数列部分
2016高考理科数学试题分类汇编数列部分_数学_高中教育_教育专区。2016高考理科数学...【答案】4 【解析】试题分析: 要满足数列中的条件,涉及最多的项的数列可以为...
2015年全国高考文科数学试题分类汇编1:集合
2015 年全国高考文科数学试题分类汇编 1:集合 [2015.江苏卷] 1.已知集合 A ? ? 则集合 A ? B 中元素的个数为___. 1,2,3?,B ? ?2,4,5?, 【答...
2015年中考数学真题分类汇编 一次函数
2015年中考数学真题分类汇编 一次函数_中考_初中教育_教育专区。一次函数一.选择题(共 18 小题) 1. (2015?上海)下列 y 关于 x 的函数中,是正比例函数的为(...
更多相关标签:
2016中考数学分类汇编 | 2016高考数学分类汇编 | 中考数学分类汇编 | 2015高考数学分类汇编 | 高考数学分类汇编 | 2015中考数学分类汇编 | 2014高考数学分类汇编 | 高考数学真题分类汇编 |