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知识讲解


从位移的合成到向量的加法 编稿:丁会敏 审稿:王静伟 【学习目标】 1.能熟练运用三角形法则和平行四边形法则,作出几个向量的和、差向量. 2.能结合图形进行向量的计算. 3.能准确表达向量加法的交换律和结合律,并能熟练地进行向量计算. 【要点梳理】 要点一:向量加法的三角形法则与平行四边形法则 1.向量加法的概念及三角形法则 已知向量 a, b ,在平面内任取一点 A, 作A B

?a B ,C b ? ,再作向量 AC ,则向量 AC 叫做 a 与 b 的和, 记作 a ? b ,即 a ? b ? AB ? BC ? AC .如图

本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则. 2.向量加法的平行四边形法则 已知两个不共线向量 a, b ,作 AB ? a, AD ? b ,则 A, B, D 三点不共线,以 AB, AD 为邻边作平行 四边形 ABCD ,则对角线 AC ? a ? b .这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则.

求两个向量和的运算,叫做向量的加法. 对于零向量与任一向量 a ,我们规定 a ? 0 ? 0 ? a ? a . 要点诠释: 两个向量的和与差仍是一个向量, 可用平行四边形或三角形法则进行运算, 但要注意向量的起点与终点. 要点二:向量求和的多边形法则及加法运算律 1.向量求和的多边形法则的概念 已知 n 个向量,依次把这 n 个向量首尾相连,以第一个向量的起点为起点,第 n 个向量的终点为终点的 向量叫做这 n 个向量的和向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则.

A1 An ? A1 A2 ? A2 A3 ????? An?1 An
特别地,当 A 1 与 An 重合,即一个图形为封闭图形时,有 A 1A 2 ?A 2A 3 ???? ? A n?1 A n ?A nA 1 ?0 2.向量加法的运算律 (1)交换律: a ? b ? b ? a ; (2)结合律: (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

要点三:向量的三角形不等式 由向量的三角形法则,可以得到 (1)当 a, b 不共线时, | a ? b |?| a |? | b | ; (2)当 a, b 同向且共线时, a ? b, a, b 同向,则 | a ? b |?| a |? | b | ; (3) 当 a, b 反向且共线时,若 | a | ?| b | ,则 a ? b与a 同向,| a ? b |?| a |? | b | ;若 | a| ? b | b | ,则 a ?b与 同向, | a ? b |?| b |? | a | . 要点四:向量的减法 1.向量的减法 (1) 如果 b ? x ? a , 则向量 x 叫做 a 与 b 的差, 记作 a ? b , 求两个向量差的运算, 叫做向量的减法. 此 定义是向量加法的逆运算给出的. 相反向量:与向量 a 方向相反且等长的向量叫做 a 的相反向量. (2)向量 a 加上 b 的相反向量,叫做 a 与 b 的差,即 a ? b ? a ? (?b) .求两个向量差的运算,叫做向 量的减法,此定义是利用相反向量给出的,其实质就是把向量减法化为向量加法. 要点诠释: (1)两种方法给出的定义其实质是一样的. (2)对于相反向量有 a ? (?a) ? 0 ;若 a , b 互为相反向量,则 a ? ?b, a ? b ? 0 . (3)两个向量的差仍是一个向量. 2.向量减法的作图方法 (1)已知向量 a , b (如图) ,作 OA ? a, OB ? b ,则 BA ? a ? b = OA ? OB ,即向量 BA 等于终点向 量( OA )减去起点向量( OB ) .利用此方法作图时,把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是 以减向量的终点为始点的,被减向量的终点为终点的向量.

(2)利用相反向量作图,通过向量加法的平行四边形法则作出 a ? b .作 OA ? a, OB ? b, AC ? ?b , 则 OC ? a ? (?b) ,如图.由图可知,一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量.

【典型例题】

类型一:向量加法的几何运算 例 1.如图所示,已知三个向量 a 、 b 、 c ,试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量 a + b + c . 【解析】 利用三角形法则作 a + b + c , 如图 1 所示, 作 OA ? a , 以 A 为起点, 作 AB ? b , 再以 B 为起点,作 BC ? c ,则 OC ? OB ? BC ? OA ? AB ? BC ? a ? b ? c . 利用平行四边形法则作 a + b + c , 如图 2 所示, 作 OA ? a ,OB ? b ,OC ? c , 以 OA 、

OB 为邻边作平行四边形 OADB ,则 OD ? a ? b ,再以 OD 、 OC 为邻边作平行四边形 ODEC ,则
. OE ? OD? OC ? a? b? c

【总结升华】题中,要求作三个向量的和,首先求作两个向量的和,因为这两个向量的和仍为一个向 量,然后求这个向量与另一个向量的和,方法是多次使用三角形法则或平行四边形法则. 例 2.化简下列各式: (1) AB ? DF ? CD ? BC ? FA ; (2) ( AB ? MB) ? BO ? OM . 【思路点拨】可根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连,再利用向量加法的结合律求和. 【答案】 (1) 0 (2) AB 【解析】 (1): AB ? DF ? CD ? BC ? FA ? AB ? BC ? CD ? DF ? FA

? AC ? CD ? DF ? FA ? AF ? FA ? 0 .
(2)解法一: ( AB ? MB) ? BO ? OM ? ( AB ? BO) ? (OM ? MB) ? AO ? OB ? AB . 解法二: ( AB ? MB) ? BO ? OM ? AB ? (MB ? BO) ? OM ? AB ? MO ? OM ? AB ? 0 ? AB . 解法三: ( AB ? MB) ? BO ? OM ? ( AB ? BO ? OM ) ? MB ? AM ? MB ? AB . 【总结升华】(1)求向量的和的关键是利用三角形法则,将“首尾相接”的两个向量分在一组.(2)第(2) 题有三种解法,都利用了向量加法的交换律和结合律进行化简. 举一反三: 【变式 1】化简下列各式

(1) PB ? OP ? OB ; (2) AC ? MC ? CO ? OM . 【思路点拨】求向量的和要考虑用向量的加法法则和运算律. 【答案】 (1)2 OB (2) AC 【解析】 (1) PB ? OP ? OB = (OP ? PB) ? OB = OB + OB =2 OB . (2) AC ? MC ? CO ? OM = AC ? CO ? OM ? MC = AO ? OC ? AC . 【总结升华】求和的关键是利用三角形法则,将“首尾相接”的两个向量分在一组. 类型二:向量减法的几何运算 例 3.如图,解答下列各题: (1)用 a , d , e 表示 DB ; (2)用 b , c 表示 DB ; (3)用 a , b , e 表示 EC ; (4)用 d , c 表示 EC . 【答案】 (1) d ? e ? a (2) ?b ? c (3) a ? b ? e (4) ?c ? d 【解析】 ∵ AB ? a , BC ? b , CD ? c , DE ? d , EA ? e , ∴(1) DB ? DE ? EA ? AB ? d ? e ? a . (2) DB ? CB ? CD ? ?BC ? CD ? ?b ? c . (3) EC ? EA ? AB ? BC ? a ? b ? e . (4) EC ? ?CE ? ?(CD ? DE) ? ?c ? d . 【总结升华】在本题中,我们看到 DB , EC 这两个向量的表示并不唯一.在解决这类问题时,要注 意向量加法、减法和共线(相等)向量的应用.当运用三角形法则时,要注意两向量首尾相接,当两个向 量起点相同时,可以考虑用减法. 举一反三: 【高清课堂:向量的线性运算 395568 例 1】 【变式 1】 O 为正六边形 ABCDEF 的中心,设 OA ? a , OB ? b ,则 DE 等于( (A) a ? b (B) a ? b (C) b ? a (D) ?a ? b ) .

?

?

?

?

?

? ?

?

【答案】B 【变式 2】如图所示,O 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 的交点,设

AB ? a , DA ? b , OC ? c .求证: b ? c ? a ? OA .

【解析】∵ b ? c ? DA ? OC ? OC ? CB ? OB , OA ? a ? OA ? AB ? OB ,∴ b ? c ? OA ? a ,即

b ? c ? a ? OA .
例 4.化简:(1) AB ? AD ? DC ;(2) ( AB ? CD) ? ( AC ? BD) . 【思路点拨】根据向量的减法法则,适当运用运算律将式子变形可得化简结果. (1)(方法一) AB ? AD ? DC ? DB ? DC ? CB . (方法二) AB ? AD ? DC ? AB ? ( AD ? DC) ? AB ? AC ? CB . (方法三) AB ? AD ? DC ? AB ? (DA ? CD) ? AB ? CA ? CB . (2)(方法一) ( AB ? CD) ? ( AC ? BD) ? AB ? CD ? AC ? BD ? AB ? DC ? CA ? BD

? AB ? DC ? CA ? BD ? ( AB ? BD) ? (DC ? CA) ? AD ? DA ? 0 .
( 方 法

二) ( AB ? CD) ? ( AC ? BD) ? AB ? CD ? AC ? BD ? ( AB ? AC) ? (DC ? DB) ? CB ? BC ? 0 . (方法三)设 O 为平面内任意一点,则

( AB ? CD) ? ( AC ? BD) ? AB ? CD ? AC ? BD ? (OB ? OA) ? (OD ? OC) ? (OC ? OA) ? (OD ? OB)
? OB ? OA ? OD ? OC ? OC ? OA ? OD ? OB ? 0 .
【总结升华】对于用有向线段表示的向量的加减运算的四点技巧: (1)加法:首尾连,起点到终点 ( AB ? BC ? CD ? AD) ; (2)减法:共起点,连终点,指被减 ( AB ? AC ? CB) ; (3)化减为加 ( AB ? AC ? AB ? CA) ; (4)凑零法(相反向量的和为 0 ). 类型三:与向量的模有关的问题 例 5.设 a 和 b 的长度均为 6,夹角为 A.36 B.12 C.6

2? ,则 | a ? b | 等于( 3

)

D. 6 3

【思路点拨】根据向量的三角形法则或平行四边形法则作出 a ? b ,然后根据图形中的几何关系求出

| a ?b |.
【答案】D 【解析】如图所示,作 OA ? a , OB ? b ,平行四边形 OADB ,则 | a ? b | ? | BA | .在△BCO 中,

?BOC ?

?
3

, ?BCO ?

?
2

, | BO | ? 6 ,



,∴ | a ? b | ? | B A |? 2 |B C ? | | BC |? 3 3

6. 3

例 6. 已知非零向量 a , b 满足 | a |? 7 ? 1 , | b |? 7 ?1 ,且| a - b |=4,求| a + b |的值. 【答案】4 【解析】 如图, OA ? a , OB ? b ,则 BA ?| a ? b | . 以 OA 与 OB 为邻边作平行四边形 OACB,则 | OC |?| a ? b | . 由于 ( 7 ? 1)2 ? ( 7 ?1)2 ? 42 . 故 | OA |2 ? | OB |2 ?| BA |2 , 所以△OAB 是∠AOB 为 90°的直角三角形,从而 OA⊥OB,所以 根据矩形的对角线相等有 | OC |?| BA |? 4 ,即| a + b |=4. 【总结升华】 (1)向量 a + b , a - b 的几何意义在证明、运算中具有重要的应用.对于平行四边形、 菱形、矩形、正方形对角线具有的性质要熟悉并会应用. (2)关于向量的加减法运算除掌握法则外,还应注意一些特殊情况,如零向量、共线向量等.要注意 到向量的加法和求模运算的次序不能交换,即两个向量和的模不一定等于这两个向量的模的和.因为向量 的加法实施的对象是向量,而模是数量,模的加法是数量的加法. 举一反三: 【变式 1】若 | AB |? 9 , | AC |? 4 ,则 | BC | 的取值范围是多少? 【答案】 5 ?| BC |? 13 【解析】 BC ? AC ? AB . 当 AB , AC 同向时, | BC |?| 9 ? 4 |? 5 ,当 AB , AC 反向时, | BC |?| 9 ? 4 |? 13 ; 当 AB , AC 不共线时, 5 ?| BC |? 13 . OACB 是矩形.


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