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三角函数汇总 培训机构辅导专用


必修四——三角函数
☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆ 一.角的推广 二.弧度制及相关公式 三.三角函数定义 四.三角函数线 五.同角三角函数关系 六.诱导公式 七.三角函数图像 八.定义域 九.值域 十.解析式 十一.周期性 十二.单调性 十三.奇偶性 十四.对称性 十五.图像变换 十六.综合应用

☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆ 一.角的推广 1. 若 ? 角 的 终 边 与 为 2 .α 的终边与

8? ? 角 的 终 边 相 同 , 则 在 ? 0, 2? ? 上 终 边 与 的角终边相同的角 5 4


? 的终边关于直线 y=x 对称,则 α =____。 6 ? 3. 若 α 是第二象限角,则 是第_______象限角 2 k? ? k?
4. 角的集合 M={x|x=

A. M ? N B. N ? M C.M=N D.不能确定 5 已知集合 A ? {第一象限的角}, B ? {锐角}, C ? {小于 90o 的角},下列四个命题: ①A? B?C ② A?C ③C ? A ④A?C ? B 其中正确命题的个数为 ( (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4 二.弧度制及相关公式 1.已知扇形 AOB 的周长是 6cm,该扇形的中心角是 1 弧度,求该扇形的面积。

4

,k∈Z},N={x|x=

±

2

4

,k∈Z},则 M 与 N 的关系是







? 2.一个扇形 AOB 的面积是 1cm2,它的周长是 4cm,则中心角为

弧度,弦长|AB|=

3. 一扇形的周长为 20cm,当扇形的圆心角 ? 等于多少弧度时,这个扇形的面积最大?最大面积是多少?

三.三角函数定义 1. 已知 cos x ?

2a ? 3 , x 是第二、三象限的角,则 a 的取值范围___________。 4?a

2.已知角 α 的终边经过点 P(5,-12),则 sin ? ? cos ? 的值为____。 3.若 α 为锐角,则 α , sin ? , tan ? 的大小关系为____.
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4.若 sin ? ? cos ? ? 0 ,且 cos ? ? 0 ,则角 ? 是 A.第一象限角 B. 第二象限角 C.第三象限角





D.第四象限角

5.(2011 江西文)已知角 ? 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 p ? 4, y ? 是角 ? 终边上一点,且

sin ? ? ?
6

2 5 ,则 y=_______. 5

已知角 ? 终边上一点 P ( ? 3 , y ) ,且 sin ? ?

2 y ,求 cos? 和 tan? 的值. 4

7. 已知 sin ? ?

1? a 3a ? 1 , cos ? ? ,若 ? 是第二象限角,求实数 a 的值。 1? a 1? a

四.三角函数线 1.若

?
4

?? ?

?
2

, 则(

) B. cos? ? tan? ? sin ?

A. sin ? ? cos? ? tan?

C. sin? ? tan? ? cos?

D. tan? ? sin? ? cos?

2.满足 sin x ?

3 的 x 的集合为_________________________________。 2


3.在 (0,2? ) 内,使 sin x ? cos x 成立的 x 取值范围为(
A. (

? ?

5? , ) ? (? , ) 4 2 4

B. (

?
4

,? )

C. (

? 5?
4 , 4

)

D. (

?
4

,? ) ? (

5? 3? , ) 4 2

4.函数 y ? 1 ? 2 cos x ? lg( 2 sin x ? 3 ) 的定义域是____

五.同角三角函数关系 1.已知 ? 是三角形的内角,若 sin ? ? cos ? ?

1 ,则 tan ? = 5



2.已知

tan? sin ? ? 3 cos ? =______; sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2 =______ ? 2 ,则 sin ? ? cos ? tan? ? 1

3.已知 f (cos x) ? cos 3x ,则 f (sin 30 ? ) 的值为_________

4 sin ? ? ? , tan ? ? 0 5 4.(2009 北京文)若 ,则 cos? ? _______ .
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5.(2007 全国 I) ? 是第四象限角,

tan ? ? ?

5 12 ,则 sin ? ? ( ?



1 A. 5

1 B. 5 ?

5 C. 13

5 D. 13
2 2

6.(2009 辽宁文,8)已知 tan ? ? 2 ,则 sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? ? (



4 A. 3 ?

5 B. 4

3 C. 4 ? cot A ? ?

4 D. 5 12 5 ,则 cos A ? ( ?
D.

7.(2009 全国卷Ⅱ文)已知△ABC 中,



12 A. 13

5 B. 13

?
C.

5 13

12 13

3? ? ? (? , ), tan ? ? 2
8. 2011 全国Ⅱ文(14)已知

2

,则 cos ? ? _______

a? 9. 2011 山东理 3.若点(a,9)在函数 y ? 3 的图象上,则 tan= 6 的值为(
x



(A)0

(B)

3 3

(C) 1

(D)

3

10. 已知 sin α 、cos α 是方程 x2+px+p+1= 0 的两根,求实数 p 的值.

六.诱导公式

9? 7? ? tan(? ) ? sin 21? 的值为_________ 4 6 4 2. 己知 sin(540 ? ? ? ) ? ? ,则 cos(? ? 270? ) =____,若 α 为第二象限角,则 5
1. cos

[sin(180? ? ? ) ? cos(? ? 360? )]2 =______. tan(180? ?? )

3.(2009 全国 I 文,1) sin585 °的值为( A. ?
2 2



B.

2 2

C. ?

3 2

D.

3 2


4. 2010 年高考全国卷 I 理科 2)记 cos(?80?) ? k ,那么 tan100? ? ( (

A.

1? k2 k

B. -

1? k2 C. k
诚信

k 1? k
2

D. -

k 1? k2
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七.三角函数图像

1.画出函数 y ? 1 ? sin x, x ? ?0,2? ? 的图象。 2. 曲线 y ? A sin ? x ? a( A ? 0, ? ? 0) 在区间 [0, 则下列对 A, a 的描述正确的是( A. a ? ) C. a ? 1, A ? 1 D. a ? 1, A ? 1

2?

?

] 上截直线 y ? 2 及 y ? ?1 所得的弦长相等且不为 0 ,

1 3 ,A? 2 2

B. a ?

1 3 ,A? 2 2

3. (2010 年高考重庆市理科 6)已知函数 y ? sin(? x ? ? ), (? ? 0,| ? |? ( ) (A) ? ? 1, ? ?

?
2

) 的部分图象如题(6)图所示,则

?
6

(B) ? ? 1, ? ? ?

?
6

y 1

(C)

? ? 2, ? ?

?
6

(D)

? ? 2, ? ? ?

?
6

4.函数 y ? x ? sin x , x ? ? ?? , ? ? 的大致图象是(

O



? 7? ( ) 3 12
题 (6) 图

x

5.(2011 全国Ⅱ理 5)设函数 f ? x ? ? cos ? x ?? ? 0 ? ,将 y ? f ?x ? 的图像向右平移 得的图像与原图像重合,则 ? 的最小值等于( (A) ) (D)9

? 个单位长度后,所 3

1 3

(B)3

(C)6

6. 2011.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?),( A, ?, ? 是常数, A ? 0, ? ? 0) 的部分图象如图所示, f (0) ? ____ 则

7.(2009 全国 II 文,9)若将函数 y ? tan(?x ? 与函数 y ? tan(?x ? ( A.
1 6

?
4

)(? ? 0) 的图像向右平移

?
6 1 4

? 个单位长度后, 6

) 的图像重合,则 ? 的最小值为

) B. C.
1 3

D.

1 2
第9题图

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4

八.定义域 1. 求函数 y ?

log 2

1 ? 1 的定义域。 sin x
? ?

2 . 函 数 y ? f ( c o x) 的 定 义 域 为 ?2k? ? s __________________________.

?
6

,2k? ?

2? ? (k ? Z ) , 则 函 数 y ? f (x) 的 定 义 域 为 3 ? ?

3.函数 y ? lg sin(cosx) 的定义域为______________________________。 4.函数 y ?

2 ? log 1 x ? tan x 的定义域_______________________。
2
2 2

5.函数 f ( x) ? lg(sin x ? cos x) 的定义城是( A. ? x 2k? ?



? ?

3? ? ? ? x ? 2k? ? , k ? Z ? 4 4 ? ? x ? k? ?

B. ? x 2k? ?

? ?

?
4

? x ? 2k? ?

5? ? ,k ?Z? 4 ?

C. ? x k? ?

? ?

?
4

?

? ,k ?Z? 4 ?

D. ? x k? ?

? ?

?
4

? x ? k? ?

3? ? ,k ?Z? 4 ?

6. 不等式 2 ? 2 cos x ≤ 0 的解集是____________________________. 7. 函数 y ? 8. y ?

tan x ? 1 的定义域是______________________________.

1 ? 2 sin x ? 1 tan x
2

9.(2) y ? lg(2 cos x ? 1) ? 36 ? x

九.值域

2 ? cos x 的最大值为________. 2 ? cos x 2. 设 f ( x) ? sin(cos x),(0 ? x ? ? ) ,求 f ( x) 的最大值与最小值。 2 3. 若 y ? cos x ? 2 p sin x ? q 有最大值 9 和最小值 6 ,求实数 p, q 的值。
1.函数 y ? 4.若 f ( x) ? 2 sin?x(0 ? ? ? 1) 在区间 [0, 5. y ? sin x ? sin x 的值域是( )

?
3

] 上的最大值是 2 ,则? =________。

A. [?1,0]

B. [0,1]

C. [?1,1]

D. [?2,0] )

6.函数 y ? cos2 x ? 3 cos x ? 2 的最小值为(
A. 2 B. 0 C. 1 D. 6

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5

7.已知函数 y ? 2a ? b sin x 的最大值为 3 ,最小值为 1 ,则函数 y ? ?4a sin 为_____________,值域为_________________. 8.当 x ? ?

b x 的最小正周期 2

? ? 7? ? , ? 时,函数 y ? 3 ? sin x ? 2cos 2 x 的最小值是_______,最大值是________。 ?6 6 ?

9. 设 g ( x) ? cos(sin x),(0 ? x ? ? ) ,求 g ( x) 的最大值与最小值。 10.设关于 x 的函数 y ? 2cos x ? 2a cos x ? (2a ? 1) 的最小值为 f (a ) ,
2

试确定满足 f (a) ?

1 的 a 的值,并对此时的 a 值求 y 的最大值。 2
2

11.已知函数 y ? cos x ? a sin x ? a ? 2a ? 5 有最大值 2 ,试求实数 a 的值。
2

12.求函数 y ? sin x ? cos x ? sin x cos x, x ? ?0, ? ? 的最大值和最小值。 十.解析式 1.如果函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(0 ? ? ? 2? ) 的最小正周期是 T ,且当 x ? 2 时取得最大值,那么( A. T ? 2,? ? )

?
2

B. T ? 1,? ? ? D. T ? 1,? ?

C. T ? 2,? ? ?

?
2

2.已知定义在区间 [ ? ?

2 ? 2 ? , ? ] 上的函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? ? 对称,当 x ? [ ? , ? ] 时, 6 3 6 3
?
2 ?? ?

函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? 其图象如图所示. (1)求函数 y ? f (x) 在 [ ? ? , (2)求方程 f ( x) ?

?

2

),
y

2 ? ] 的表达式; 3
?

1
?

2 的解. 2



x??

?
6

o

? 6

2? 3

?

x

? 2 3.(2009 辽宁理,8)已知函数 f ( x) =Acos( ? x ? ? )的图象如图所示, f ( ) ? ? ,则 f (0) = 2 3 2 2 1 1 A. ? B. C.D. 3 3 2 2

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6

4. (2010 年高考广东卷理科 16) 已知函数 f ( x) ? A sin(3x ? ? )( A ? 0, x ? (??, ??),0 ? ? ? ? 在 x ? (1) 求 f ( x) 的最小正周期; (2) 求 f ( x) 的解析式; 2011广东理已知函数f ( x) ? 2sin( x ?

?
12

时取得最大值 4.

5.

1 3

?
6

), x ? R (1)求f (

5? f ?0? 的值; )的值; 4
2? ,且它的图象过点 3

6. 若函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0,? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 的最小值为 ?2 ,周期为

(0, ? 2) ,求此函数的表达式。
十一.周期性 1.函数 y ? 3 cos( x ? A.

2? 5

2 ? ) 的最小正周期是( 5 6 5? B. C. 2? D. 5? 2



2.若函数 f ( x) ? 2 tan(kx ?

?

3

) 的最小正周期 T 满足 1 ? T ? 2 ,则自然数 k 的值为______. 2? 2? ) 、 y ? cos(2 x ? ) 中,最小正周期为 ? 的函数的 3 3

3.在函数 y ? sin x 、 y ? sin x 、 y ? sin(2 x ? 个数为( )

A. 1个

B. 2 个

C. 3 个

D. 4 个

? ? 3? ?cos x, (? ? x ? 0) , 4.设 f ( x) 是定义域为 R ,最小正周期为 的函数,若 f ( x) ? ? 2 2 ? sin x, (0 ? x ? ? ) ?
则 f (?

15? ) 等于( 4
?x
3

)A. 1

B.

2 2

C. 0

D. ?

2 2

5. 若 f ( x) ? sin

,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2003) =________

6. 设函数 f ( x) ? 2 sin ( 为__________

?
2

x?

?
5

) ,若对任意 x∈R 都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x 2 ) 成立,则 | x1 ? x 2 | 的最小值

7. (2010 年上海市春季高考 1)函数 y ? 十二.单调性 1. 函数 y ? sin(x ?

1 sin 2 x 的最小正周期 T ? 2



?
4

) 的单调区间的是________________

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7

2.函数 y ? ? cos( ?

x 2

?
3

) 的单调递增区间是___________________________.

3.设? ? 0 ,若函数 f ( x) ? 2sin ? x 在 [? 4.比较大小(1) 2
tan

? ?

, ] 上单调递增,则? 的取值范围是________。 3 4

?
3

(2) sin1, cos1 。 ,2 3 ; x ? 5. 求函数 y ? tan( ? ) 的单调增区间。 2 3 1 cos x 6.函数 f ( x) ? ( ) 在 ? ?? , ? ? 上的单调减区间为_________。 3

tan

2?

7.(2009 重庆卷文)下列关系式中正确的是( A. sin110 ? cos100 ? sin1680 C. sin110 ? sin1680 ? cos100



B. sin1680 ? sin110 ? cos100 D. sin1680 ? cos100 ? sin110
? ?? ?? ? ?

8.(2011。6).若函数 f ( x) ? sin ? x (ω>0)在区间 ?0, ? 上单调递增,在区间 ? , ? 上单调递减,则 ω= ? 3? ?3 2? (A)3 十三.奇偶性 1.函数 y ? sin(2 x ? ? )(0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数,则 ? 的值是( A. 0 B. ) (B)2 (C)

3 2

(D)

2 3

? 4

C.

? 2

D. ? ①对任意 ? , f ( x) 都是非奇非偶函数;

2.关于 x 的函数 f ( x) ? cos( x ? ? ) 有以下命题:

②不存在 ? ,使 f ( x) 既是奇函数,又是偶函数;③存在 ? ,使 f ( x) 是偶函数;④对任意 ? , f ( x) 都 不是奇函数.其中一个假命题的序号是 ,因为当 ? ? 时,该命题的结论不成立.

3.若函数 f ( x) ? a sin 2 x ? b tan x ? 1,且 f (?3) ? 5, 则 f (? ? 3) ? ___________。 4.判断函数的奇偶性。 (1) y ? x ? sin x 5. 函数 y ? a ? (2) y ? 为奇函数,则 a ?

lg cos x (3) f ( x) ?


1 ? sin x ? cos x 1 ? sin x ? cos x

1 2
sin x

?1

3 6. (2011 广东文)设函数 f ( x) ? x cos x ? 1. 若 f (a) ? 11 ,则 f (?a) ?



十四.对称性 1.已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 的图象关于直线 x ? A.

?
8

对称,则 ? 可能是(



? 2

B.

?

?
4

C.

? 4

D.

3? 4
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8

2.已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 对任意 x 都有 f ( A. 2 或 0 B. ?2 或 2

3.函数 y ? cos(2 x ? A. x ? ?

?

C. 0

? x) ? f ( ? x), 则 f ( ) 等于( 6 6 6 D. ?2 或 0


?

?

?



?

2

) 的图象的一条对称轴方程是
B. x ? ?



?

2 4 8 4. 若 f (? ? x) ? f (? x) ,且 f (? x) ? f ( x) ,则 f (x) 可以是 A. sin x B. cos x C. sin | x | D. | sin x |
5. 函数 f ( x) ? 3sin(? x ? ?) ,且对于任意的 x ? R 都有 f (

C. x ?

?

D. x ? ? ( )

? x) ? f ( ? x) ,则 f ( ) ? 4 4 4 3? 6. 已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数, 其图象关于点 M ( ,0) 对称,且在 4
区间 [0,

?

?

?

?

2

] 上是单调函数,求 ? 和 ? 的值.

十五.图像变换

? )的图象,可以将函数 y=sinx 的图象 ( ) 3 ? ? A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 3 3 ? ? C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 6 6 ? 2.将函数 y ? sin( x ? ) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再将所得的图象向 3 ? 左平移 个单位,得到的图象对应的僻析式是( ) 3 1 1 ? 1 ? ? A. y ? sin x B. y ? sin( x ? ) C. y ? sin( x ? ) D. y ? sin(2 x ? ) 2 2 2 2 6 6
1.为得到函数 y=cos(x3.已知函数 y ? f (x) 的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的 4 倍,横坐标扩大到原来的 2 倍,然后把 所得的图象沿 x 轴向左平移

? ,这样得到的曲线和 y ? 2 sin x 的图象相同,则已知函数 y ? f (x) 的解 2

析式为_______________________________. 4. (2010 年高考四川卷理科 6)将函数 y ? sin x 的图像上所有的点向右平行移动 得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,所得图像的函数解析式是 (A) y ? sin(2 x ?

? 个单位长度,再把所 10
( )

w_w w. k# s5_u.c o*m

?
10

) )

(B) y ? sin(2 x ?

?
5

)

w_w_w.k *s 5*u .c o*m

(C) y ? sin( x ?

1 2

?

10

(D) y ? sin( x ?

1 2

?
20

)

5.(2010 年高考全国 2 卷理数 7)为了得到函数 y ? sin(2 x ? 图像( ) (A)向左平移

? 个长度单位 4 ? (C)向左平移 个长度单位 2
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) 的图像,只需把函数 y ? sin(2 x ? ) 的 3 6 ? (B)向右平移 个长度单位 4 ? (D)向右平移 个长度单位 2
创新 特色 9

?

?

十六.综合应用 1.方程 sin ? x ? A. 5

1 x 的解的个数是( 4 B. 6 C. 7 D. 8



2.(2011 陕西理 6) .函数 f ( x) ? (A)没有零点 (C)有且仅有两个零点

x ? cos x 在 [0, ??) 内
(B)有且仅有一个零点 (D)有无穷多个零点 ( )

( )

3.(2011 陕西文 6).方程 x ? cos x 在 ? ??, ?? ? 内 (A)没有根 (C) 有且仅有两个根 (B)有且仅有一个根 (D)有无穷多个根

4.(2011 浙江理 9)设函数 f ( x) ? 4sin(2 x ? 1) ? x ,则在下列区间中函数 f ( x) 不存在零点的是( ) . A. ? ?4, ?2 ? B. ? ?2, 0? C. ? 0, 2 ? D. ? 2, 4 ?

5.(2011 安徽理(9) )已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,其中 ? 为实数,若 f ( x) ? f ( ) 对 x ? R 恒成立,

?

6

且 f ( ) ? f (? ) ,则 f ( x) 的单调递增区间是(

?

2



(A) ? k? ?

? ? ? ?

?
3

, k? ?

??

(k ? Z ) 6? ?

(B) ? k? , k? ?

? ?

??
2? ?

(k ? Z )

(C) ? k? ? 6.

?
6

, k? ?

2? ? (k ? Z ) 3 ? ?
R

(D) ? k? ?

? ?

?

? , k? ? ( k ? Z ) 2 ?

设 定 义 域 为

的 奇 函 数

y ? f (x) 是 减 函 数 , 若 当 0 ? ? ?

?
2

时 ,

f ( c 2 o ? 2m s i? ) ? f (?2m ? 2) ? 0 ,求 m 的取值范围. ? s n

7.(本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(?? ? ? ? 0), y ? f ( x) 的一条对称轴是直线 x ? (1)求 ? (2)求函数 y ? f ( x) 的单调增区间; (3)画出函数 y ? f ( x) 在区间 [0, ? ] 上的图象

?
8

且 8.若函数 y ? f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x ) ,且 x ? ( ?1,1] f (x ) ? | x |,则函数 y ? f ( x) 的图象与函数
y ? log3 | x |的图象的交点个数为
A、2 B、3 C、4 ( ) D、无数个

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10


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