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等比数列详细教案






等比数列 学习内容与过程

复习引入: 1.等差数列的定义: an - a n ?1 =d , (n≥2,n∈N ) 2.等差数列的两个通项公式:
?
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an ? a1 ? (n ? 1)d

( an ? am ? (

n ? m)d 或 an =pn+q (p、q 是常数))

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3.几种计算公差 d 的方法:d= an - a n ?1 = 4.等差中项: A ?

a n ? a1 a n ? a m = n ?1 n?m
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a?b ? a, b, 成等差数列 2

5.数列的前 n 项和 S n : S n ? 知识点 1,2,4,8,16,?,263; 1,- , ,? ,?; 对于数列①, an = 2
n ?1

n(a1 ? a n ) n(n ? 1)d , S n ? na1 ? 2 2
① ③

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5,25,125,625,?;



1 1 2 4

1 8

;

an =2(n≥2) a n ?1
·

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对于数列②, an = 5

n

;

an =5(n≥2) a n ?1

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对于数列③, an = (?1)

n ?1

1 2
n ?1



an 1 ? ? (n≥2) a n ?1 2

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共同特点:从第二项起,第一项与前一项的比都等于同一个常数

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1.等比数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那 么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母 q 表示(q≠0) ,即:

an a ? =q(q≠0) { an }成等比数列 ? n ?1 =q( n ? N ,q≠0 an a n ?1
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1?“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q,q≠0) 2? 隐含:任一项 an ? 0且q ? 0 3? q= 1 时,{an}为常数
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例 1 下面四个数列: (1) 1, 1,2,4,8,16,32,64; (2) 在数列 ?an ? 中, (4)在数列 ?an ? 中,

a a2 =2, 3 =2; (3) 常数列 a,a,a,...; a1 a2
答案: (4)

an =q;其中是等比数列的有 a n ?1

2.等比数列的通项公式 1

由等比数列的定义,有:

a2 ? a1q ; a3 ? a2 q ? (a1q)q ? a1q 2 ; a4 ? a3 q ? (a1q 2 )q ? a1q 3 ;
? ? ? ? ? ? ?

an ? an?1q ? a1 ? q n?1 (a1 ? q ? 0)

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(1) an ? a1 ? q n?1 (a1 ? q ? 0) ——已知等比数列的首项和公比就可以得出任何一项; (2)an ? am ? q n?m ——通项公式的推广式, 则已知等比数列的任意两项就可以求出其他的任意一 项 推广: q
n?m

?

an a ; q ? n?m n ——求公比 q 的方法 am am

(3)既是等差又是等比数列的数列:非零常数列. (4)等比定理:q=

a a 2 a3 a 4 a ? a3 ? a4 ? ... ? an = = =...= n = 2 a1 a 2 a3 an ?1 a1 ? a2 ? a3 ? ...an?1

(5)等比数列基本量的求法: a1 和 q 是等比数列的基本量,只要求出这两个基本量,其他量便可 求出。—— q
n?m

?

an a a ; q ? n?m n ;q= n ?1 am am an
a1 n ? q ,与指数函数 y ? q x 类似,可借助指数 q

(6)等比数列与指数函数: an ? a1 ? q n?1 ,即 an ? 函数的图像和性质来研究 例 2 求下列各等比数列的通项公式: (1) a 1 =?2,

a3 =?8
,? an ? (?2)2n?1 ? ?2n 或an ? (?2)(?2) n?1 ? (?2) n

解: a3 ? a1q ? q 2 ? 4 ? q ? ?2 (2) a 1 =5, 且 2 a n ?1 =?3 an 解: q ?

an?1 3 ?? an 2

3 又:a1 ? 5 ? an ? 5 ? (? ) n?1 2

(3) a2 ? a5 ? 18 , a3 ? a6 ? 9 , an ? 1 ,求 n (答案;n=6) 变式 1:求下面等比数列的第 4 项与第 5 项: (1)5,-15,45,??; (2)1.2,2.4,4.8,??;

2 1 3 2 (3) , . ,??; ( 4) 2 ,1, ,??. 3 2 8 2
解: (1)∵q=

? 15 n ?1 n ?1 =-3, a 1 =5 ∴ an = a 1 q =5· (-3) 5

2

∴ a4 =5· (-3) =-135, a5 =5· (-3) =405.

3

4

2 .4 n ?1 3 =2, a 1 =1.2 ∴ an = a 1 q n ?1 =1.2×2 ∴ a4 =1.2×2 =9.6, 1 .2 2 3 n ?1 1 2 3 2 (3)∵q= ? ? , a1 ? ∴ an = a 1 q n ?1 = ×( ) 3 4 2 3 4 3 2 3 3 9 2 3 27 ∴ a4 = ×( ) = , a5 = ×( ) 4 = 2 4 3 4 32 128
(2)∵q= (4)∵q=1÷ 2 ?

a5 =1.2×2 4 =19.2

1 1 2 n ?1 n ?1 , a 1 = 2 ∴ an = a 1 q = 2 · ( ) = 2 2 ( 2 ) n?2

∴ a4 =

1 1 2 . ? , a5 ? ? 3 2 4 ( 2) ( 2)
2

1

变式 2:一个等比数列的第 9 项是 解:由题意得 a9 =

4 1 ,公比是- ,求它的第 1 项. 9 3

4 1 ,q=- 9 3 4 1 8 ∵ a9 = a 1 q8,∴ = a 1 (- ) ,∴ a 1 =2916 9 3
3.等比数列的性质 (1)单调性:当 q>1, a 1 >0 或 0<q<1, a 1 <0 时, { an }是递增数列;当 q>1, a 1 <0,或 0<q<1, a 1 >0 时, { an }是递减数列;当 q=1 时, { an }是常数列;当 q<0 时, { an }是摆动数列; (2)等比中项:如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a ,G, b 成等比数列,那么 G 应满足:由 定义得

G b G b ? ,即: G ? ? ab ;反之,若 G ? ? ab ,则 ? 。 a G a G
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由此可得: G ? ? ab (ab ? 0 ) ? a, G, b, 成等比数列

注意:由上述公式也可看出异号的两个数没有等比中项,只有同号的才有 (3)在等比数列中,若 m+n=p+q (m, n, p, q ∈N ) ,则 am an ? a p aq ,特别地,若 m+n=2p,则

a m an ? a p

2

推广: a1an ? a2an?1 ? a3an?2 ? ... ? aman?m?1 例 3 已知 ?an ? 为等比数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 7 , a1a2 a3 ? 8 ,求 an (答案: an = 2
n ?1

或2

3? n



变式 1:等比数列 ?an ? 的前三项的和为 168, a2 ? a5 ? 42 ,求 a5 , a7 的等比中项(答案: ? 3 )

变式 2:已知 ?an ? 为等比数列,若 an ? 0 ,且 a2 a 4 ?2a3a5 ? a4 a6 ? 36 ,求 a3 ? a5 的值(答案:6)

3

(4)若数列 ?an ? 为等比数列,则数列 ??an ?(其中 ? 为常数)也为等比数列,其公比是 q

?bn ?为公比是 t 的等比数列, 若数列 ?an ? 为等比数列, 则 ?an ? bn ?也是等比数列, 其公比为 q ? t
若数列 ?an ? 为等比数列, ?

?1? 1 ? 也是等比数列,其公比为 q ? an ?
?

(5)若数列 ?an ? 为等比数列,则下标成等差数列且公差为 m 的项 ak , ak ?m , ak ?2m,...(k , m ? N ) 组 成了公比为 q m 的等比数列 推广:m,n,p(都为正整数)成等差数列,则 am , an , a p 成等比数列 (6)若数列 ?an ? 为等比数列,连续相邻k项的和(或积)构成公比为 q k (或q k ) 的等比数列,例如
2

a1 ? a2 ? ...? am , am?1 ? am?2 ? ...? a2m , a2m?1 ? a2m?2 ? ...? a3m ,...; a1 ? a2 , a3 ? a4 , a5 ? a6 ,...
(7)若数列 ?an ? 为各项都是正数的等比数列,数列 ?lg an ?是公差为 lg q 的等差数列 4.判断一个数列为等比数列的方法 (1)定义法:

an ? =q (常数,n≥2,n∈N ) ? ?an ? 为等比数列 a n ?1
2
?

(2)等比中项法,也称递推法: an?1an?1 ? an (n≥2,n∈N , an ? 0 ) ? ?an ? 为等比数列 (3)通项法: an 为 n 的指数型函数,即 a1q
n ?1

? ?an ? 为等比数列

注意:证明一个数列为等比数列只能通过定义法与等比中项法
0 1

例 4:已知无穷数列 105 ,105 ,..., 10

n ?1 5

(1)这个数列是等比数列; (2)这个数列中的任一 ,...,求证:

1 项是其后第 5 项的 10

变式 1:数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn ,已知 a1 ? 1, an ?1 ? 是等比数列; (2) Sn?1 ? 4an

n?2 ?S ? S n (n ? 1,2,3,...) ;证明: (1) ? n ? n ?n?

变式 2:数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn ,且 an ? Sn?1 ? 2(n ? 2) , a1 ? 2 ;求数列 ?an ? 的通项公式

4

5.等比数列的设项方法 (1)通项法:设数列的通项公式,即设 an = a1q n?1 (n ? N ? ) ( 2 ) 对 称 设 : 主 要 针 对 有 限 项 。 若 所 给 等 比 数 列 为 2n 项 , 则 可 设 为 :

a q
2 n ?1

,

a q
2 n ?3

,...,

a a , , aq, aq3 ,...aq2 n ?1 ,此数列的公比为 q 2 ; 3 q q a a a , n?2 ,..., , a, aq,...aqn ?1 ,此数列的公差为 q; n ?1 q q q

若所给等比数列为 2n+1 项,则可设为:

(3)等差、等比数列综合运算问题。 例 5:有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,第一个数与第四个数的和为 21,中 间两个数的和为 18,求这四个数(答案:3,6,12,18 或 75 , 45 , 27 , 9 )

4

4

4 4

变式:有四个正数,前三个数成等差数列,和为 48,后三个数成等比数列,积为 8000,,求这四个 数

6.等比数列应用题 例 6:有纯酒精 aL(a?1) ,从中取出 1L,再用水加满,然后再取出 1L,再用水加满,如此反复进行, 问第九次和第十次共取出多少 L 纯酒精?

7.等比数列与等差数列的比较 等差数列 定义 项 联系 差 项没有限制 (1)正项等比数列 ?an ? ? ?lg an ?为等差数列 (2) ?an ? 为等差 ? b 等比数列 商 项必须非零

? ?为等比数列
an



7 : 已 知

?an ?

是 各 项 都 为 正 数 的 等 比 数 列 , 数 列

?bn ?

满 足

bn ?

1 ?lg a1 ? lg a2 ? ... ? lg an?1 ? lg?ka n ?? ,问是否存在正数 k,使得 ?bn ?成等差数列?若存在求出 n

k;不存在说明理由

5

x y z 变式 1:已知 ?b ? c ? log m ? ?c ? a ? log m ? ?a ? b ? log m ? 0 ; (1)若 a,b,c 依次成等差数列且公差

不为 0,求证 x,y,z 成等比数列; (2)若 x,y,z 依次成等比数列,求证 a,b,c 成等差数列

变式 2:已知 ?an ? 中, Sn 是其前 n 项和,且 Sn?1 ? 4an ? 2(n ? 1,2,...),a1 ? 1 ; (1)设 bn ? an?1 ? 2an ,求数列 ?bn ?的通项公式 (2)在(1)的条件下,设 cn ?

an ,求数列 ?cn ?的通项公式 2n

(3)在(2)的条件下,求数列 ?an ? 的通项公式及 Sn

课堂检测 1.已知等比数列 ?an ? 的公比 q ? ? A. ?

a ? a3 ? a5 ? a7 1 ,则 1 等于( 3 a2 ? a4 ? a6 ? a8
C.



1 3

B.-3

1 3

D.3

2.已知 ?an ? 是等差数列,公差 d ? 0 ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列,则

a1 ? a3 ? a9 等于( a2 ? a4 ? a10



A.

7 16

B.

9 16

C.

11 16

D.

13 16


3.一个各项均为正数的等比数列,其任何项都等于它后面两项的和,则其公比是(

A.

5 2

B.

1- 5 2

C.

2 5

D.

5 -1 2


4.等比数列 ?an ? 中, a3a11 ? 4a7 ,数列 ?bn ?是等差数列,且 b7 ? a7 ,则 b5 ? b9 =( A.2 B.4 C.8 D.16 ) 5.等比数列 ?an ? 中, a3a5a7 ? 3, a6 a7 a8 ? 24, 则a9 a10 a11 的值为( A.48 B.72 C.144 D.192

6

6.等比数列 ?an ? 的各项都是正数,等差数列 ?bn ?满足 b7 ? a6 ,则有( A. a3 ? a9 ?b4 ? b10 B. a3 ? a9 ? b4 ? b10 C. a3 ? a9 ? b4 ? b10



D. a3 ? a9与b4 ? b10 的大小不确定

7.各项均为正数的等比数列 ?an ? 中,若 a5a6 ? 9 ,则 log3 a1 ? log3 a2 ? ...? log3 a10 的值为 8.等比数列 ?an ? 中,已知 a7 a12 ? 5 ,则 a8a9 a10 a11 = 9.等比数列 ?an ? 中, a3 ? 3, a5 ? 9 ,则此数列的公比为 10.各项均为正数的等比数列 ?an ? 中,公比 q 满足 q 2 ? 4 ,则

a3 ? a4 ? a4 ? a5

11.某工厂生产一种产品,原计划今年第一季度的产量逐月增加相同饿件数,但实际生产中,2 月份 比原计划多生产了 10 件,3 月份比原计划多生产了 25 件,这样三个月的产量恰好成等比数列,并且 3 月份的产量只比原计划第一季度总产量的一半少 10 件,求这个厂第一季度共生产了多少件这种产 品?

12.数列 ?an ? 中, a1 ? 2, a2 ? 3 ,且 ?an an?1?是以 3 为公比的等比数列,记 bn ? a2n?1 ? a2n (n ? N ? ) (1)求 a3 , a4 , a5 , a6 的值; (2)求证: ?bn ?是等比数列

7


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