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湖南省长沙市雅礼中学2015届高考数学一模试卷(理科)


湖南省长沙市雅礼中学 2015 届高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知复数 z=1﹣i(i 为虚数单位) , 是 z 的共轭复数,则| |的值为() A.1 B.
2

C.

D.

2. (5 分)命题“存在 x≥2,使 x ≥4”的否定是() 2 2 A.对任意 x≥2,都有 x <4 B. 对 x<2,都有 x ≥4 2 2 C. 存在 x≥2,使 x <4 D.存在 x<2,使 x ≥4 3. (5 分)设随机变量 ξ~N(μ,σ ) ,且 P(ξ<﹣1)=P(ξ>2)=0.3,则 P(ξ<2μ+1)=() A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7
2

4. (5 分)已知 x,y 满足 A. B.

,且 z=2x+y 的最大值是最小值的 4 倍,则 a 的值是() C. D.4

5. (5 分)双曲线 的离心率为() A.



=1(a>0,b>0)的一个顶点到一条渐近线的距离为 ,则双曲线

B.

C.

D.

6. (5 分)五个人坐成一排,甲要和乙坐在一起,乙不和丙坐在一起,则不同排法数为() A.12 B.24 C.36 D.48 7. (5 分)如图所示的程序框图运行结束后,输出的集合中包含的元素个数为()

A.3

B. 4

C. 5

D.6 dx, 则 a2014 (a2012+2a2014+a2016)
2

8. (5 分) 已知数列{an}是等比数列, 且 a2013+a2015= 的值为() 2 A.π

B.2π

C. π

D.4π

9. (5 分)某三棱锥的正视图如图所示,则这个三棱锥的俯视图不可能是()

A.

B.

C.

D.

10. (5 分)已知函数 f(x)= 数不可能是() A.0

,则函数 g(x)=f(x)﹣e +a 的零点个

x

B. 1

C. 2

D.3

二、填空题:本大题共 3 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.(一)选做题:在 11,12,13 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分. 11. (5 分)如图,圆 A 与圆 B 交于 C、D 两点,圆心 B 在圆 A 上,DE 为圆 B 的直径.已知 CE=1,DE=4,则圆 A 的半径为.

12. (5 分)极坐标系下,P 为曲线

rsin(θ﹣

)=a(a>0)上的动点,Q 为曲线 r=2sinθ

上的动点,若线段 PQ 长度的最小值为

﹣1,则 a 的值为.

13. (5 分)关于 x 的不等式|x﹣1|﹣|x|﹣|m+1|>0 的解集非空,则实数 m 的取值范围是.

三、必做题(14~16 题) 14. (3 分) 如图, 在平行四边形 ABCD 中, 已知 AB=8, AD=5, 的值是. =3 , ? =2, 则 ?

15. (3 分)某商品一直打 7 折出售,利润率为 47%,购物节期间,该商品恢复了原价,并参 加了“买一件 送同样一件”的活动,则此时的利润率为. (注:利润率=(销售价格﹣成本)÷成 本) 16. (3 分)等腰△ ABC 中,AB=AC,D 为 AC 中点,BD=1,则△ ABC 面积的最大值为.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分)如图是函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< (1)求出 A,ω,φ 的值; (2)当 x∈(0, )时,求不等式 f (x﹣ )>f ( ﹣
2

)图象的一部分.

)﹣2 的解集.

18. (12 分)甲、乙两人对弈棋局,甲胜、乙胜、和棋的概率都是 ,规定有一方累计 2 胜或 者累计 2 和时,棋局结束.棋局结束时,若是累计两和的情形,则宣布甲乙都获得冠军;若 一方累计 2 胜,则宣布该方获得冠军,另一方获得亚军.设结束时对弈的总局数为 X. (1)设事件 A:“X=3 且甲获得冠军”,求 A 的概率; (2)求 X 的分布列和数学期望. 19. (12 分)如图 1,在边长为 12 的正方形 AA′A BC=4,AA A1 中,BB1∥CC1∥AA1,且 AB=3,且 与

分别交 BB1,CC1 于点 P,Q,将该正方形沿 BB1,CC1 折叠,使得 A′A

AA1 重合,构成图 2 所示的三棱柱 ABC﹣A1B1C1,在图 2 中: (1)求证:AB⊥PQ; (2)在底边 AC 上有一点 M,使得 BM∥平面 APQ,求点 M 到平面 PAQ 的距离.

20. (13 分)如图,抛物线 C1:y2=2px(p>0)与椭圆 C2:

+

=1(a>2)交于第一象限

内一点 M,F 为抛物线 C1 的焦点,F1,F2 分别为椭圆 C2 的上下焦点,已知| ﹣ |= .

﹣|

|=1,|

(1)求抛物线 C1 和椭圆 C2 的方程; (2)是否存在经过 M 的直线 l,与抛物线和椭圆分别交于非 M 的两点 P,Q,使得 + =2 ?若存在请求出直线的斜率,若不存在,请说明理由.

21. (14 分)数列{an}满足 a1∈(0,1) ,an+1=﹣a

+an+c(n∈N )

*

(1)证明:“对任意 a1∈(0,1) ,an∈(0,1)”的充要条件是“c∈ 1. (5 分)已知复数 z=1﹣i(i 为虚数单位) , 是 z 的共轭复数,则| |的值为() A.1 B. C. D.

考点: 复数求模. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 直接利用复数的模的运算法则求解即可. 解答: 解:复数 z=1﹣i(i 为虚数单位) , 是 z 的共轭复数, 则| |= = = .

故选:B. 点评: 本题考查复数模的求法,基本知识的考查. 2. (5 分)命题“存在 x≥2,使 x ≥4”的否定是() 2 2 A.对任意 x≥2,都有 x <4 B. 对 x<2,都有 x ≥4 2 2 C. 存在 x≥2,使 x <4 D.存在 x<2,使 x ≥4 考点: 专题: 分析: 解答: 命题的否定. 简易逻辑. 直接利用特称命题的否定是全称命题,写出结果即可. 解:因为特称命题的否定是全称命题,
2 2 2

所以,命题“存在 x≥2,使 x ≥4”的否定是:对任意 x≥2,都有 x <4. 故选:A. 点评: 本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查. 3. (5 分)设随机变量 ξ~N(μ,σ ) ,且 P(ξ<﹣1)=P(ξ>2)=0.3,则 P(ξ<2μ+1)=() A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7 考点: 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题: 计算题;概率与统计. 2 分析: 随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ,σ ) ,且 P(ξ<﹣1)=P(ξ>2)=0.3,到曲线关于 x=0.5 对称,利用 P(ξ>2)=0.3,根据概率的性质得到结果. 2 解答: 解:∵随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ,σ ) ,且 P(ξ<﹣1)=P(ξ>2)=0.3, ∴曲线关于 x=0.5 对称, ∵P(ξ>2)=0.3, ∴P(ξ<2μ+1)=P(ξ<2)=0.7, 故选:D.
2

点评: 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查概率的性质,是一个基础 题,这种题目可以出现在选择或填空中,是一个送分题目.

4. (5 分)已知 x,y 满足 A. B.

,且 z=2x+y 的最大值是最小值的 4 倍,则 a 的值是() C. D.4

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义,结合目标函数 z=2x+y 的最大值 是最小值的 4 倍,建立方程关系,即可得到结论. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: 由 z=2x+y 得 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z, 由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 A 时,直线的截距最大, 此时 z 最大, 由 ,解得

即 A(1,1) ,此时 z=2×1+1=3, 当直线 y=﹣2x+z 经过点 B 时,直线的截距最小, 此时 z 最小, 由 ,解得 ,

即 B(a,a) ,此时 z=2×a+a=3a, ∵目标函数 z=2x+y 的最大值是最小值 的 4 倍, ∴3=4×3a, 即 a= . 故选:B

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键.

5. (5 分) 双曲线 的离心率为() A.



=1(a>0,b>0)的一个顶点到一条渐近线的距离为 ,则双曲线

B.

C.

D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由已知中双曲线的顶点到其渐近线的距离等于 ,通过渐近线、离心率等几何元素, 推出 a,b,c 的关系,即可求出该双曲线的离心率. 解答: 解:∵双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为 ,渐近

线方程不妨为:bx+ay=0,顶点(a,0) ∴
2 2


2 2

∴3b =a ,可得 3c =4a ∴e= = .

故选:D. 点评: 本题考查的知识点是双曲线的简单性质,双曲线的渐近线与离心率存在对应关系, 通过 a,b,c 的比例关系求离心率. 6. (5 分)五个人坐成一排,甲要和乙坐在一起,乙不和丙坐在一起,则不同排法数为() A.12 B.24 C.36 D.48 考点: 排列、组合的实际应用. 专题: 计算题;排列组合. 分析: 根据题意,用间接法分析:首先计算甲和乙坐在一起排法数目,再计算其中甲乙相 邻且乙和丙坐在一起的排法数目,结合题意,用“甲和乙坐在一起排法数目”减去“甲乙相邻且 乙和丙坐在一起”的排法数目即可得答案. 2 解答: 解:根据题意,甲乙必须相邻,将甲乙看成一个元素,考虑其顺序,有 A2 =2 种情 况, 4 将甲乙与剩余的 3 个人进行全排列,有 A4 =24 种情况, 则甲和乙坐在一起有 2×24=48 种不同的排法, 其中,如果乙和丙坐在一起,则必须是乙在中间,甲和丙在乙的两边, 2 将 3 个人看成一个元素,考虑其顺序,有 A2 =2 种情况, 3 将甲乙丙与剩余的 2 个人进行全排列,有 A3 =6 种情况, 则甲乙相邻且乙和丙坐在一起的排法有 2×6=12 种; 故甲要和乙坐在一起,乙不和丙坐在一起排法有 48﹣12=36 种; 故选 C.

点评: 本题考查排列、组合的运用,解题时注意应用间接法分析,即在甲乙相邻的情况中 排除乙和丙坐在一起的情况数目,这样可以简化计算. 7. (5 分)如图所示的程序框图运行结束后,输出的集合中包含的元素个数为()

A.3

B. 4

C. 5

D.6

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出集合 A∩B,模 拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 解答: 解:第一次执行循环体后,A={1,3},B={1,2,9},i=2,不满足退出循环的条件; 再次执行循环体后,A={1,3,5},B={1,2,3,4,9},i=3,不满足退出循环的条件; 再次执行循环体后,A={1,3,5,7},B={1,2,3,4,5,6,9},i=4,满足退出循环的条 件; 故 A∩B={1,3,5}共 3 个元素, 故选:A. 点评: 本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环 的方法解答. 8. (5 分) 已知数列{an}是等比数列, 且 a2013+a2015= 的值为() A.π
2

dx, 则 a2014 (a2012+2a2014+a2016)
2

B.2π

C. π

D.4π

考点: 等比数列的性质;定积分. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 求定积分可得 a2013+a2015=π,由等比数列的性质变形可得 a2014(a2012+2a2014+a2016) 2 =(a2013+a2015) ,代值计算可得. 解答: 解:由定积分的几何意义可得
2 2

dx

表示圆 x +y =4 在第一象限的图形的面积,即四分之一圆,

故可得 a2013+a2015=

dx= ×π×2 =π,

2

∴a2014(a2012+2a2014+a2016) =a2014?a2012+2a2014?a2014+a2014?a2016 = +2a2013?a2015
2 2

=(a2013+a2015) =π 故选:A 点评: 本题考查等比数列的性质,涉及定积分的求解,属中档题. 9. (5 分)某三棱锥的正视图如图所示,则这个三棱锥的俯视图不可能是()

A.

B.

C.

D.

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据三视图想想几何体的侧棱,底面的关系,侧面与底面的关系,得出几何体即可 判断, A 图一般放在正方体中研究即可. 解答: 解:根据三棱锥的正视图如图所示,

第一个图是选项 A 的模型;第二个图是选项 B 的模型;第三个图是选项 D 的模 型.

故选;C 点评: 本题考查了空间几何体的三视图,给出三视图求解判断几何体的形状,空间思维能 力特别强,难度较大.

10. (5 分)已知函数 f(x)= 数不可能是() A.0

,则函数 g(x)=f(x)﹣e +a 的零点个

x

B. 1

C. 2

D.3

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 作图题;函数的性质及应用. 分析: 函数 g(x)=f(x)﹣e +a 的零点个数可化为函数 f(x)与函数 y=e +a 的交点的个 数;作函数 f(x)=
x x x

与函数 y=e ﹣a 的图象,数形结合求解.

x

解答: 解:函数 g(x)=f(x)﹣e +a 的零点个数可化为 x 函数 f(x)与函数 y=e +a 的交点的个数; 作函数 f(x)= 与函数 y=e ﹣a 的图象如下,
x

结合图象可知, 当 a=2,0,﹣2 时,函数 g(x)=f(x)﹣e +a 的零点个数分别是 2,1,0; 故选 D. 点评: 本题考查了学生的作图能力及图象的变换,同时考查了函数的零点的个数的判断, 属于中档题. 二、填空题:本大题共 3 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.(一)选做题:在 11,12 ,13 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分. 11. (5 分)如图,圆 A 与圆 B 交于 C、D 两点,圆心 B 在圆 A 上,DE 为圆 B 的直径.已知 CE=1,DE=4,则圆 A 的半径为 4.
x

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 选作题;推理和证明. 分析: 连接 CD,AB,交于 O,则 AB⊥CD,CE⊥CD,求出 OB= ,CD= 半径为 r,则 r =(
2

,设圆 A 的

) +(r﹣ ) ,即可求出圆 A 的半径.

2

2

解答: 解:连接 CD,AB,交于 O,则 AB⊥CD,CE⊥CD, ∴OB∥CE,OB= CE, ∵CE=1,DE=4,DE 为圆 B 的直径, ∴OB= ,CD= ,
2

设圆 A 的半径为 r,则 r =(

) +(r﹣ ) ,

2

2

∴r=4. 故答案为:4.

点评: 本题考查垂径定理,考查圆的直径的性质,考查学生的计算能力,属于中档题.

12. (5 分)极坐标系下,P 为曲线

rsin(θ﹣

)=a(a>0)上的动点,Q 为曲线 r=2sinθ .

上的动点,若线段 PQ 长度的最小值为

﹣1,则 a 的值为

考点: 两点间的距离公式. 专题: 直线与圆;坐标系和参数方程. 分析: 分别化直线和圆的极坐标方程为直角坐标方程,求出圆心到直线的距离,由圆心到 直线的距离减去半径为 ﹣1 列式求得 a 的值. 解答: 解:由
2

rsin(θ﹣
2

)=a,得
2

,即 x﹣y+a=0. .

由 r=2sinθ,得 r =rsinθ,即 x +y ﹣y=0,化为标准方程得:

由题意可知,线段 PQ 长度的最小值为 解得:a= 故答案为: . .

(a>0) .

点评: 本题考查极坐标方程化直角坐标方程,考查了直线和圆的位置关系,训练了点到直 线的距离公式的应用,是基础题. 13. (5 分) 关于 x 的不等式|x﹣1|﹣|x|﹣|m+1|>0 的解集非空, 则实数 m 的取值范围是 (2, 0) . 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由题意可得|x﹣1|﹣|x|>|m+1|的解集非空, 根据绝对值的意义求得|x﹣1|﹣|x|的最大值 为 1,可得 1>|m+1|,由此求得实数 m 的取值范围. 解答: 解:由题意可得|x﹣1|﹣|x|>|m+1|的解集非空. 由于|x﹣1|﹣|x|表示数轴上的 x 对应点到 1 对应点的距离减去它到 0 对应点的距离, 故|x﹣1|﹣|x|的最大值为 1,故有 1>|m+1|,即﹣1<m+1<1,解得﹣2<m<0, 故答案为: (﹣2,0) . 点评: 本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,函数的能成立问题,属于中档 题.

三、必做题(14~16 题) 14. (3 分) 如图, 在平行四边形 ABCD 中, 已知 AB=8, AD=5, 的值是 22. =3 , ? =2, 则 ?

考点: 向量在几何中的应用;平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由 ? =3 ,可得 = + , = ﹣ ,进而由 AB=8,AD=5, =3 ,

=2,构造方程,进而可得答案. =3 = , ﹣ ,

解答: 解:∵ ∴ = + ,

又∵AB=8,AD=5, ∴ 故 ? ? =( =22, + ) ?( ﹣ )=| |﹣
2

?



|

| =25﹣

2

?

﹣12=2,

故答案为:22. 点评: 本题考查的知识点是向量在几何中的应用,平面向量数量积的运算,其中根据已知 得到 = + , = ﹣ ,是解答的关键.

15. (3 分)某商品一直打 7 折出售,利润率为 47%,购物节期间,该商品恢复了原价,并参 加了“买一件送同样一件”的活动,则此时的利润率为 5%. (注:利润率=(销售价格﹣成本)÷ 成本) 考点: 专题: 分析: 可. 解答: 则 函数模型的选择与应用. 函数的性质及应用. 设商品的成本为 x,销售价格为 y,根据利用率求出 y 与 x 之间的关系,进行求解即 解:设商品的成本为 x,销售价格为 y, =47%,即 y﹣x=0.47x,

则 y=1.47x, 则产品定价为 1.47x÷0.7=2.1x, 若参加了“买一件送同样一件”的活动,

则此时商品销售价格为 2.1x, 此时的利润率=(2.1x﹣2x)÷2x=0.1÷2=0.05=5%, 故答案为:5% 点评: 本题主要考查函数的应用问题,根据条件求出商品成本,和销售价格之间的关系是 解决本题的关键. 16. (3 分)等腰△ ABC 中,AB=AC,D 为 AC 中点,BD=1,则△ ABC 面积的最大值为 .

考点: 三角形中的几何计算. 专题: 解三角形. 分析: 先在△ ABD 中利用余弦定理表示出 cosA,进而求得 sinA 的表达式,进而代入三角 形面积公式利用转化为二次函数来解决.

解答: 解:cosA=

= ﹣



△ ABC 面积 S= b ?

2

=

≤ ,

故答案为: . 点评: 本题主要考查了余弦定理和正弦定理的运用.解题过程中充分利用好等腰三角形这 个条件,把表达式的未知量减到最少. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分)如图是函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|< (1)求出 A,ω,φ 的值; (2)当 x∈(0, )时,求不等式 f(x﹣ )>f ( ﹣
2

)图象的一部分.

)﹣2 的解集.

考点: y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)根据三角函数的图象求出 A,ω,φ,即可确定函数的解析式; (2)根据函数的表达式,将不等式进行化简,结合三角函数的单调性进行求解即可.

解答: 解: (1)由函数的图象知 A=2, = ∴函数的周期 T=π. 即 =π,解得 ω=2,

=

即 f(x) )=2sin(2x+φ) , 由五点对应法 得 ×2+φ= ) . .
2

,解得 φ=



∴f(x) )=2sin(2x+ 即 A=2,ω=2,φ= (2)由 f(x﹣

)>f ( ﹣

)﹣2 得 2sin2x>4sin x﹣2, )>0, ) ,

2

即 sin2x+cos2x>0,即 ∵x∈(0, ∴ <2x+ ) ,∴2x+ <π, ,

sin(2x+ ∈( ,

解得 0<x<

即不等式的解集为(0,

) .

点评: 本题主要考查三角函数解析式的求法以及三角不等式的求解,根据三角函数的图象 是解决本题的关键,要求熟练掌握三角函数的图象和性质.

18. (12 分)甲、乙两人对弈棋局,甲胜、乙胜、和棋的概率都是 ,规定有一方累计 2 胜或 者累计 2 和时,棋局结束.棋局结束时,若是累计两和的情形,则宣布甲乙都获得冠军;若 一方累计 2 胜, 则宣布该方获得冠军,另一方获得亚军.设结束时对弈的总局数为 X. (1)设事件 A:“X=3 且甲获得冠军”,求 A 的概率; (2)求 X 的分布列和数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据题意由 X=3 且甲获得冠军可得设 A1:甲恰胜 2 局;A2:和 2 局;列式求 解. (2)随机变量 X 的所有可能和每种可能的概率,得分布列和期望. 解答: 解: (1)设 A1:甲恰胜 2 局;A2:和 2 局; 则 P(A)=P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2) = (2)X 可能取得值为 2,3,4

P(X=2)= P(X=3)=3× P(X=4)= 分布列为: X 2 P 数学期望:

; ;

3

4



点评: 本题主要考查随机变量的分布列和期望, 属于中档题型, 在 2015 届高考中经常涉及. 19. (12 分)如图 1,在边长为 12 的正方形 AA′A BC=4,AA A1 中,BB1∥CC1∥AA1,且 AB=3,且 与

分别交 BB1,CC1 于点 P,Q,将该正方形沿 BB1,CC1 折叠,使得 A′A

AA1 重合,构成图 2 所示的三棱柱 ABC﹣A1B1C1,在图 2 中: (1)求证:AB⊥PQ; (2)在底边 AC 上有一点 M,使得 BM∥平面 APQ,求点 M 到平面 PAQ 的距离.

考点: 点、线、面间的距离计算;直线与平面垂直的性质. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)由 BB1⊥平面 ABC 得 BB1⊥AB;由勾股定理得 AB⊥BC,从而证得 AB⊥平面 BCC1B1,从而 AB⊥PQ. (2)建系,求得平面 APQ 的一个法向量为设 =λ ,根据题意 ﹣ =0 求得 λ,进而求得

点 M 到平面 PAQ 的距离. 解答: (1)∵BB1⊥平面 ABC, ∴BB1⊥AB; 由勾股定理得 AB⊥BC, ∵BC?平面 BCC1B1,BB1?平面 BCC1B1,BB1∩BC=B ∴AB⊥平面 BCC1B1, ∵PQ?平面 BCC1B1,

∴AB⊥PQ (2)如图建系,由条件得 BP=3,CQ=7,可求得平面 APQ 的 一个法向量为 N=(1,﹣1,1) .设 由题意有 ﹣ =0, = . =λ ,则 = + =(3﹣3λ,4λ,0) ,

解得 λ= ,则 d=

点评: 本题主要考查了线面垂直的判定定理的运用,法向量的运用.考查了学生综合分析 问题解决问题的能力.

20. (13 分)如图,抛物线 C1:y2=2px(p>0)与椭圆 C2:

+

=1(a>2)交于第一象限

内一点 M,F 为抛物线 C1 的焦点,F1,F2 分别为椭圆 C2 的上下焦点,已知| ﹣ |= .

﹣|

|=1,|

(1)求抛物线 C1 和椭圆 C2 的方程; (2)是否存在经过 M 的直线 l,与抛物线和椭圆分别交于非 M 的两点 P, Q,使得 + =2 ?若存在请求出直线的斜率,若不存在,请说明理由.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程;抛物线的标准方程. 专题: 平面向量及应用;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: (1)求出抛物线的焦点和准线方程,运用抛物线的定义和两点的距离公式,解方程 可得 p,a,即可得到抛物线方程和椭圆方程; (2)假设存在经过 M 的直线 l,与抛物线和椭圆分别交于非 M 的两点 P,Q,使得 + =2 .直线的斜率不存在显然不成立,设 l:y=k(x﹣1)+3,联立抛物线方程和

椭圆方程,求得 P,Q 的坐标,再由向量的坐标表示,即可得到 k=1,即可判断存在. 解答: 解: (1)y =2px(p>0)的焦点 F( ,0) ,准线方程为 x=﹣ , 由| |﹣| |=1,| ﹣ |= 即| |= ,
2

由题意得

,解得 xM=1, yM=3,

分别代入抛物线和椭圆方程得:C1:y =9x,C2:

2

+

=1.

(2)斜率不存在时显然不合题意, 假设存在经过 M 的直线 l,与抛物线和椭圆分别交于非 M 的两点 P,Q, 使得 + =2 .

由 M(1,3) ,可设 l:y=k(x﹣1)+3, 直线与抛物线联立得:k x +(﹣2k +6k﹣9)x+(3﹣k) =0, 由韦达定理可得 xM+xP= ,
2 2 2 2

及 xM=1 可得 xP=
2


2 2

直线与椭圆联立得: (3+k )x +2k(3﹣k)x+(k ﹣6k﹣3)=0, 由韦达定理可得 xM?xQ= .

及 xM=1 可得 xQ= 由 + =2
2


3 2

可得 xP+xQ=2xM,可得 4k ﹣k +6k﹣9=0,

可得(k﹣1) (4k +3k+9)=0, 解得 k=1,经检验符合题意. 则存在符合题意的直线,其斜率为 1. 点评: 本题考查抛物线的定义、方程和性质,同时考查椭圆的方程的运用,注意联立直线 方程和曲线方程,运用韦达定理,考查向量的坐标表示,属于中档题.

21. (14 分)数列{an}满足 a1∈(0,1) ,an+1=﹣a

+an+c(n∈N )

*

(1)证明:“对任意 a1∈(0,1) ,an∈(0,1)”的充要条件是“c∈[0, )” (2)若 a1= ,c=0,数列{bn}满足 bn= ,设 Tn=b1+b2+…+bn,Rn=b1?b2…bn,若对任意

的 n≥10, * 2 n∈N ,不等式 kn﹣n (5Rn﹣Tn)≥2015 的解集非空,求满足条件的实数 k 的最小值. 考点: 数列递推式;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)必要性: 由 ,由 a1∈(0,1) ,可得 a2∈ ,

?(0,1) ,即可得出 c 的取值范围.

充分性:用数学归纳法证明即可. (2)由(1)知 an∈(0,1) ,可得 bn= = = ,利用“累乘求积”可得 Rn;又

bn=

=

=

=﹣

,利用“裂项求和”可得 Tn=

﹣5.化简

整理再利用基本不等式的性质即可得出. 解答: 解(1)必要性: 由 ?(0,1) ,得 c∈ . ,由 a1∈(0,1) ,可得 a2∈ ,

充分性: 用数学归纳法证明. ①n =1 成立,n=2 时, 1) ; ②设 n=k 时,ak∈(0,1) , 则当 n=k+1 时,ak+1=﹣ 从而,对任意 n∈N ,an∈(0,1) . 综上,原题充要性得证.
*

,由 a1∈(0,1) ,c∈

,得 a2∈(0,

+c+ ,由 ak∈(0,1) ,c∈

,得 ak+1∈(0,1) ;

(2)由(1)知 an∈(0,1) ,∴bn=

=

=



∴Rn=b1?b2…bn= , Tn=﹣ ∴5Rn﹣Tn=5,

?…?

=

=

.又 bn=

=

=

=﹣

+…+

=﹣

=

﹣5.

∴kn﹣n (5Rn﹣Tn)≥2015,化为 k≥5n+ 由于对任意 n≥10,n∈N 有解, 当 n=20,5n+ = ;当 n=21,5n+
*

2



=200+

>200+ .

∴kmin=200.75. 点评: 本题考查了充要条件、数学归纳法、“累乘求积”、“裂项求和”、基本不等式的性质、 恒成立问题的等价转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 22. (13 分)已知函数 f(x)=ln|x|﹣x +ax,其中 a∈R. (1)当 a=1 时,求函数的单调增区间. (2)l 为 f(x)在 x=x0 处的切线,且 f(x)图象上的点都不在 l 的上方,求 x0 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)先求出函数 f(x)的定义域,当 a=1 是求出 f(x)的导数,得到极值点,写出 单调区间即可. (2)表示出 f(x)在 x=x0 处的切线,构造新的函数 g(x) ,则由题意知 g(x)≤0 恒成立, 求解即可. 解答: 解: (1)定义域为{x|x≠0,x∈R},当 x>0? ;当 x<0?
2

.故 从而 f(x)的单调递增区间为 .

?



(2)

,l:y=f'(x0) (x﹣x0)+f(x0)

令 g(x)=f(x)﹣f'(x0) (x﹣x0)﹣f(x0) ,由题意,g(x)≤0 恒成立. g'(x)=f'(x)﹣f'(x0)=﹣

x0>0 时:若 x>0,则 g(x)max=g(x0) ,若 x<0,则 x0<0 时:若 x>0,则 综上,原条件等价于 g(x0)≤0 且 故 ? ,若 x<0,则 g(x)max=g(x0) ,易得 g(x0)=0 符合题意. .令 t= ?

设 h(t)=ln(2t)+t﹣

? ? ?

?h(t)↑,又



点评: 本题主要考查利用导数求函数的单调区间以及利用导数证明函数小于零或者大于零 的问题,属于难题,在 2015 届高考中作压轴题出现.


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