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广东省深圳市高级中学2014-2015学年高二下学期期中数学试卷(文科) Word版含解析


广东省深圳市高级中学 2014-2015 学年高二下学期期中 数学试卷(文科)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件,则 p 是 q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:常规题型;简易逻辑. 分析:由若﹁p,则﹁q 的逆否命题为若 q,则 p,可知 q 是 p 的必要不充分条件,从而 p 是 q 的充分不必要条件. 解答: 解:∵﹁p 是﹁q 的必要不充分条件, ∴q 是 p 的必要不充分条件, ∴p 是 q 的充分不必要条件, 故选 A. 点评:本题考查了充分、必要条件的转化,属于基础题. 2.下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是( A.y=e
﹣x

) D.y=|x|

B.y=x

3

C.y=lnx

考点:函数单调性的判断与证明. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据函数单调性的性质分别进行判断即可得到结论. 解答: 解:对于选项 A,y=e 为增函数,y=﹣x 为减函数,故 y=e 为减函数, 2 3 对于选项 B,y′=3x >0,故 y=x 为增函数, 对于选项 C,函数的定义域为 x>0,不为 R, 对于选项 D,函数 y=|x|为偶函数,在(﹣∞.0)上单调递减,在(0,∞)上单调递增, 故选:B. 点评:本题主要考查函数单调性的判断,要求熟练掌握常见函数单调性的性质. 3.有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数 f(x) ,如果 f′(x0)=0,那么 x=x0 是函 3 数 f(x)的极值点,因为函数 f(x)=x 在 x=0 处的导数值 f′(x0)=0,所以,x=0 是函数 3 f(x)=x 的极值点.以上推理中( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.结论正确 考点:演绎推理的基本方法. 专题:计算题;推理和证明.
x
﹣x

分析:在使用三段论推理证明中,如果命题是错误的,则可能是“大前提”错误,也可能是“小 前提”错误,也可能是推理形式错误,我们分析的其大前提的形式:“对于可导函数 f(x) , 如果 f'(x0)=0,那么 x=x0 是函数 f(x)的极值点”,不难得到结论. 解答: 解:大前提是:“对于可导函数 f(x) ,如果 f'(x0)=0,那么 x=x0 是函数 f(x) 的极值点”,不是真命题, 因为对于可导函数 f(x) ,如果 f'(x0)=0,且满足当 x>x0 时和当 x<x0 时的导函数值异号 时,那么 x=x0 是函数 f(x)的极值点, ∴大前提错误, 故选 A. 点评:本题考查的知识点是演绎推理的基本方法,演绎推理是一种必然性推理,演绎推理的 前提与结论之间有蕴涵关系.因而,只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论必 定是真实的,但错误的前提可能导致错误的结论. 4.若复数 z=a ﹣1+(a+1)i(a∈R)是纯虚数,则 A.﹣ B.﹣ C.
2

的虚部为(

) D.

考点:复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念. 专题:计算题. 分析:由已知中复数 z=a ﹣1+(a+1)i(a∈R)是纯虚数,根据其虚部不为 0,实部为 0, 可以构造关于 a 的方程组,解方程求出 a 值,进而可得 复数化为 a+bi(a,b∈R)的形式,即可得到
2 2

,再由复数除法的运算法则,将

的虚部.

解答: 解:∵复数 z=a ﹣1+(a+1)i(a∈R)是纯虚数, 2 ∴a ﹣1=0,且 a+1≠0 故 a=1 则 Z=2i ∴ 故 = = ﹣ i

的虚部为

故选 A 点评: 本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算, 复数的基本概念, 其中根据已知条件, 构造关于 a 的方程组,解方程求出 a 值,进而可得 ,是解答本题的关键.

5.定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设 A={1,2},B={0,2},则集合 A*B 的 所有元素之和为( ) A.0 B.2 C .3 D.6 考点:集合的确定性、互异性、无序性.

分析:根据题意,结合题目的新运算法则,可得集合 A*B 中的元素可能的情况;再由集合 元素的互异性,可得集合 A*B,进而可得答案. 解答: 解:根据题意,设 A={1,2},B={0,2}, 则集合 A*B 中的元素可能为:0、2、0、4, 又有集合元素的互异性,则 A*B={0,2,4}, 其所有元素之和为 6; 故选 D. 点评:解题时,注意结合集合元素的互异性,对所得集合的元素的分析,对其进行取舍. 6.函数 y=x ﹣4x+3,x∈[0,3]的值域为( ) A.[0,3] B.[﹣1,0] C.[﹣1,3]
2

D.[0,2]

考点:二次函数在闭区间上的最值. 专题:函数的性质及应用. 2 2 分析:由函数 y=x ﹣4x+3=(x﹣2) ﹣1,x∈[0,3]可得,当 x=2 时,函数取得最小值为﹣ 1,当 x=0 时,函数取得最大值 3,由此求得函数的值域. 解答: 解:∵函数 y=x ﹣4x+3=(x﹣2) ﹣1,x∈[0,3], 故当 x=2 时,函数取得最小值为﹣1,当 x=0 时,函数取得最大值 3, 故函数的值域为[﹣1,3], 故选 C. 点评:本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质的应用,属于中档题. 7.如图所示,圆 O 的直径 AB=6,C 为圆周上一点,BC=3 过 C 作圆的切线 l,过 A 作 l 的 垂线 AD,垂足为 D,则∠DAC=( )
2 2

A.15°

B.30°

C.45°

D.60°

考点:弦切角. 专题:计算题. 分析:根据所给的圆的直径和 BC 的长,得到三角形的一个锐角是 30°,根据同弧所对的圆 周角等于弦切角,得到另一个直角三角形的角的度数,即为所求. 解答: 解:∵圆 O 的直径 AB=6,C 为圆周上一点,BC=3 ∴∠BAC=30°, ∠B=60°, ∵过 C 作圆的切线 l ∴∠B=∠ACD=60°, ∵过 A 作 l 的垂线 AD,垂足为 D ∴∠DAC=30°, 故选 B.

点评:本题考查弦切角,本题解题的关键是同弧所对的圆周角和弦切角相等和含有 30°角的 直角三角形的应用,本题是一个基础题. 8.已知 f(x) 、g(x)均为[﹣1,3]上连续不断的曲线,根据下表能判断方程 f(x)=g(x) 有实数解的区间是( ) x ﹣1 0 1 2 3 f(x) ﹣0.677 3.011 5.432 5.980 7.651 g(x) ﹣0.530 3.451 4.890 5.241 6.892 A. (﹣1,0) B. (1,2) C. (0,1) D. (2,3)

考点:二分法的定义. 专题:计算题;函数的性质及应用. 分析:设 h(x)=f(x)﹣g(x) ,利用 h(0)=f(0)﹣g(0)=﹣0.44<0,h(1)=f(1) ﹣g(1)=0.532>0,即可得出结论. 解答: 解:设 h(x)=f(x)﹣g(x) ,则 ∵h(0)=f(0)﹣g(0)=﹣0.44<0,h(1)=f(1)﹣g(1)=0.532>0, ∴h(x)的零点在区间(0,1) , 故选:C. 点评:本题考查函数的零点,考查学生的计算能力,比较基础.
2 2

9.直线 A.

(t 为参数)被圆 x +y =9 截得的弦长等于( B. C. D.

)

考点:直线的参数方程. 专题:直线与圆;坐标系和参数方程. 分析:先将直线的参数方程化为普通方程,利用点到直线的距离求出圆心到直线的距离,再 代入弦长公式求解即可. 解答: 解:由直线
2 2

(t 为参数)得,直线的普通方程是 x﹣2y+3=0, = ,

则圆 x +y =9 的圆心(0,0)到直线的距离 d= 所以所求的弦长是 2 = ,

故选:B. 点评:本题考查直线的参数方程化为普通方程,点到直线的距离,以及弦长公式,属于基础 题. 10.若 a,b∈{﹣1,0,1,2},则函数 f(x)=ax +2x+b 有零点的概率为( A. B. C. D.
2

)

考点:几何概型. 专题:概率与统计. 分析:列举可得总的方法种数为 16,其中满足 f(x)=ax +2x+b 有零点的有 13 个,由概率 公式可得 解答: 解:∵a,b∈{﹣1,0,1,2}, ∴列举可得总的方法种数为: (﹣1,﹣1) , (﹣1,0) , (﹣1,1) , (﹣1,2) , (0,﹣1) , (0,0) , (0,1) , (0,2) , (1,﹣1) , (1,0) , (1,1) , (1,2) , (2,﹣1) , (2,0) , (2,1) , (2,2)共 16 个, 2 其中满足 f(x)=ax +2x+b 有零点, 当 a≠0 时,判别式 4﹣4ab≥0,即 ab≤1: 当 a=0 时,f(x)=2x+b 显然有零点, 2 所以满足 f(x)=ax +2x+b 有零点的共有: (﹣1,﹣1) , (﹣1,0) , (﹣1,1) , (﹣1,2) , (0,﹣1) , (0,0) , (0,1) , (0,2) , (1,﹣1) , (1,0) , (1,1) , (2,﹣1) , (2,0) ,共 13 个 ∴所求概率 P= ;
2

故选:C. 点评:本题考查了古典概型概率求法;关键是明确所有事件和满足条件的事件个数,利用公 式解答. 11.若 f(x)=x +2ax +3(a+2)x+1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围是( A.﹣a<a<2 B.a>2 或 a<﹣1 C.a≥2 或 a≤﹣1 D.a>1 或 a<﹣2
3 2

)

考点:函数在某点取得极值的条件. 专题:常规题型. 分析:求出函数的导函数,根据函数的极值是导函数的根,且根左右两边的导函数符号不同 得到△ >0;解出 a 的范围. 解答: 解:f′(x)=3x +4ax+3(a+2) ∵f(x)有极大值和极小值 2 ∴△=16a ﹣36(a+2)>0 解得 a>2 或 a<﹣1 故选 B 点评:本题考查函数的极值点是导函数的根,且根左右两边的导函数符号需不同. 12.已知 f(x)是定义在 R 上周期为 4 的奇函数,当 x∈(0,2]时,f(x)=2 +log2x,则 f=( ) A.﹣2 B. C .2 D.5
x 2

考点:函数的周期性. 专题:函数的性质及应用.

分析:利用函数的周期性及奇偶性即得 f=﹣f(1) ,代入计算即可. 解答: 解:∵f(x)的周期为 4,2015=4×504﹣1, ∴f=f(﹣1) , 又 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 1 所以 f=﹣f(1)=﹣2 ﹣log21=﹣2, 故选:A. 点评:本题考查函数的奇偶性及周期性,属于基础题. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.在极坐标系中,点 P(2,0)与点 Q 关于直线 sinθ= 对称,则|PQ|=2 .

考点:简单曲线的极坐标方程. 专题:坐标系和参数方程. 分析:直线 sinθ= ,即 ,即 = . .如图所示,|PM|=2 . ,即可得出|PQ|=2|PM|.

解答: 解:直线 sinθ= 如图所示,|PM|=2 ∴|PQ|=2 . 故答案为:2 .

点评:本题考查了极坐标的应用、对称的性质,属于基础题.

14.已知复数 z1=m+2i,z2=3﹣4i,若

为实数,则实数 m 的值为



考点:复数代数形式的混合运算;复数的基本概念. 分析:复数 z1=m+2i,z2=3﹣4i,代入 后,把它的分子、分母同乘分母的共轭复数,

化为 a+bi(ab∈R)的形式,令虚部为 0,可求 m 值. 解答: 解:由 z1=m+2i,z2=3﹣4i, 则 = = = + 为实数,

得 4m+6=0,则实数 m 的值为﹣ . 故答案为: 点评:本题考查复数的基本概念,复数代数形式的混合运算,是基础题. 15. (几何证明选讲选做题) 如图,AD 为圆 O 直径,BC 切圆 O 于点 E,AB⊥BC,DC⊥BC,AB=4,DC=1,则 AD 等 于 5.

考点:与圆有关的比例线段. 专题:计算题. 分析:先连接 OE,根据切线的性质得 OE⊥BC.又 AB⊥BC,DC⊥BC,O 是 AD 中点, 再根据梯形的中位线定理得出 OE= (AB+DC) ,即可得出答案. 解答: 解:连接 OE,∵BC 切圆 O 于点 E, ∴OE⊥BC.又∵AB⊥BC,DC⊥BC, ∴AB∥OE∥DC,又 O 是 AD 中点, ∴OE= (AB+DC) , ∴AD=2OE=5. 故答案为:5.

点评:本题考查的是切线的性质及中位线定理,解答此题的关键是作出辅助线,构造出垂直 关系进行解答. 16.下列命题中,错误命题的序号有(2) (3) . 2 (1)“a=﹣1”是“函数 f(x)=x +|x+a+1|(x∈R)为偶函数”的必要条件; (2)“直线 l 垂直平面 α 内无数条直线”是“直线 l 垂直平面 α”的充分条件; (3)若 xy=0,则|x|+|y|=0; 2 2 (4)若 p:?x∈R,x +2x+2≤0,则¬p:?x∈R,x +2x+2>0. 考点:命题的真假判断与应用.

专题:简易逻辑. 分析: (1)根据充分条件和必要条件的定义进行判断. (2)根据线面垂直的定义进行判断. (3)根据绝对值的性质进行判断. (4)根据含有量词的命题的否定进行判断. 2 解答: 解: (1)若“函数 f(x)=x +|x+a+1|(x∈R)为偶函数”, 则 f(﹣x)=f(x) , 即 x +|x+a+1|=x +|﹣x+a+1|, 则|x+a+1|=|x﹣(a+1)|, 2 2 2 2 平方得 x +2(a+1)x+(a+1) =x ﹣2(a+1)x+(a+1) , 即 2(a+1)x=﹣2(a+1)x, 则 4(a+1)=0,即 a=﹣1, 则“a=﹣1”是“函数 f(x)=x +|x+a+1|(x∈R)为偶函数”的必要条件;正确; (2)“直线 l 垂直平面 α 内无数条直线”则“直线 l 垂直平面 α”不一定成立,故(2)错误; (3)当 x=0,y=1 时,满足 xy=0,但|x|+|y|=0 不成立,故(3)错误; 2 2 (4)若 p:?x∈R,x +2x+2≤0,则¬p:?x∈R,x +2x+2>0 正确. 故错误的是(2) (3) , 故答案为: (2) (3) 点评:本题主要考查命题的真假判断,涉及的知识点有充分条件和必要条件的判断,含有量 词的命题的否定,综合性较强. 三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知集合 A={x|(x﹣2)[x﹣(3a+1)]<0}, (Ⅰ)当 a=2 时,求 A∩B; (Ⅱ)求使 B?A 的实数 a 的取值范围. 考点:集合的包含关系判断及应用;交集及其运算. 专题:计算题;分类讨论. 分析: (Ⅰ)当 a=2 时,先化简集合 A 和 B,后再求交集即可; 2 (Ⅱ)先化简集合 B:B={x|a<x<a +1},再根据题中条件:“B?A”对参数 a 分类讨论:① 当 3a+1=2,②当 3a+1>2,③当 3a+1<2,分别求出 a 的范围,最后进行综合即得 a 的范 围. 解答: 解: (Ⅰ)当 a=2 时,A={x|2<x<7},B={x|2<x<5} ∴A∩B={x|2<x<5} (Ⅱ)∵(a +1)﹣a=(a﹣ ) + >0,即 a +1>a ∴B={x|a<x<a +1} ①当 3a+1=2,即 a= 时 A=Φ,不存在 a 使 B?A
2 2 2 2 2 2 2



②当 3a+1>2,即 a> 时 A={x|2<x<3a+1}由 B?A 得:

2≤a≤3

③当 3a+1<2,即 a< 时 A={x|3a+1<x<2}由 B?A 得 综上,a 的范围为:[﹣1,﹣ ]∪[2,3]

﹣1≤a≤﹣ ?

点评:本小题主要考查集合的包含关系判断及应用、交集及其运算、不等式的解法等基础知 识,考查运算求解能力,考查分类讨论思想.属于基础题. 18.已知椭圆的两焦点为 F1(﹣1,0) 、F2(1,0) ,P 为椭圆上一点,且 2|F1F2|=|PF1|+|PF2|. (1)求此椭圆的方程; (2)若点 P 在第二象限,∠F2F1P=120°,求△ PF1F2 的面积. 考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的应用. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)根据 2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,求出 a,结合焦点坐标求出 c,从而可求 b,即可得出 椭圆方程; (2)直线方程与椭圆方程联立,可得 P 的坐标,利用三角形的面积公式,可求△ PF1F2 的 面积. 解答: 解: (1)依题意得|F1F2|=2, 又 2|F1F2|=|PF1|+|PF2|, ∴|PF1|+|PF2|=4=2a, ∴a=2, ∵c=1, 2 ∴b =3. ∴所求椭圆的方程为 + =1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

(2)设 P 点坐标为(x,y) , ∵∠F2F1P=120°, ∴PF1 所在直线的方程为 y=(x+1)?tan 120°, 即 y=﹣ (x+1) .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

解方程组

并注意到 x<0,y>0,可得

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

∴S△ PF1F2= |F1F2|?

=

.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查学生的计算能力,确定 P 的坐标是关键.

19.袋中有质地、大小完全相同的 5 个小球,编号分别为 1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一 种游戏.甲先摸出一个球.记下编号,放回后再摸出一个球,记下编号,如果两个编号之和 为偶数.则算甲赢,否则算乙赢. (1)求甲赢且编号之和为 6 的事件发生的概率: (2)试问:这种游戏规则公平吗.请说明理由. 考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题:概率与统计. 分析: (1)本题是一个古典概型,试验发生包含的甲、乙两人取出的数字共有 5×5 种等可能 的结果,满足条件的事件可以通过列举法得到,根据古典概型的概率公式得到结果. (2)要判断这种游戏是否公平,只要做出甲胜和乙胜的概率,先根据古典概型做出甲胜的 概率,再由 1 减去甲胜的概率,得到乙胜的概率,得到两个人胜的概率相等,得到结论. 解答: 解: (1)由题意知本题是一个古典概型, 试验发生包含的甲、乙两人取出的数字共有 5×5=25(个)等可能的结果, 设“两个编号和为 6”为事件 A, 则事件 A 包含的基本事件为(1,5) , (2,4) , (3,3) , (4,2) , (5,1)共 5 个, 根据古典概型概率公式得到 P(A)= =

(2)这种游戏规则是不公平的. 设甲胜为事件 B,乙胜为事件 C, 则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有 13 个: (1,1) , (1,3) , (1,5) , (2,2) , (2,4) , (3,1) , (3,3) , (3,5) , (4,2) , (4,4) , (5,1) , (5,3) , (5,5) ∴甲胜的概率 P(B)= 乙胜的概率 P(C)=1﹣P(B)= ∴这种游戏规则是不公平的. 点评:本题考查古典概型及其概率公式,考查利用列举法得到试验包含的所有事件,考查利 用概率知识解决实际问题,本题好似一个典型的概率题目.

20. 定义域为 R 的奇函数 f (x) 满足 f (x+1) =f (x﹣1) , 且当 x∈ (0, 1) 时, (Ⅰ)求 f(x)在[﹣1,1]上的解析式; (Ⅱ)若存在 x∈(0,1) ,满足 f(x)>m,求实数 m 的取值范围.



考点:奇偶函数图象的对称性. 专题:综合题;函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)设 x∈(﹣1,0)则﹣x∈(0,1) ,代入已知解析式得 f(﹣x)的解析式,再利 用奇函数的定义,求得函数 f(x)解析式. (Ⅱ)存在性问题,只要有一个就可以.所以 m 只要小于 f(x)的最大值即可. 解答: 解: (Ⅰ)当 x∈(﹣1,0)时,﹣x∈(0,1) ,由 f(x)为 R 上的奇函数,





∴ 又由奇函数得 f(0)=0. ∵f(x+1)=f(x﹣1) , ∴当 x=0 时,f(1)=f(﹣1) 又∵f(﹣1)=﹣f(1) , ∴f(﹣1)=0,f(1)=0





(Ⅱ)∵x∈(0,1) ∴2 ∈(1,2) ,∴ 若存在 x∈(0,1) ,满足 f(x)>m, 则 实数 m 的取值范 围为 .
x

, .

点评: 本题主要考查了利用函数的奇偶性和对称性求函数解析式的方法, 转化化归的思想方 法,以及存在性命题的求解 21.一台机器由于使用时间较长,生产的零件有一些会缺损,按不同转速生产出来的零件有 缺损的统计数据如下表: 转速 x(转/秒) 16 14 12 8 每小时生产缺损零件数 y(件) 11 9 8 5 (1)作出散点图; (2)如果 y 与 x 线性相关,求出回归方程; (3)若实际生产中,允许每小时的产品中有缺损的零件最多为 10 个,那么机器的运转速度 应控制在什么范围? 考点:线性回归方程. 专题:概率与统计. 分析: (1)利用所给的数据画出散点图; (2)先做出横标和纵标的平均数,做出利用最小二乘法求线性回归方程的系数的量,做出 回归系数,写出线性回归方程. (3)根据上一问做出的线性回归方程,使得函数值小于或等于 10,解不等式可得答案. 解答: 解: (1)根据表中的数据画出散点图如图:

(2)设回归直线方程为 = x+ ,并列表如下: i xi yi xiyi 1 16 11 176 2 14 9 126 , 3 12 8 96 4 8 5 40

=12.5, =8.25,

∴ = ∴ =0.73x﹣0.875.

≈0.73, =8.25﹣0.73×12.5=﹣0.875,

(3)令 0.73x﹣0.875≤10,解得 x≤14.9≈15. 故机器的运转速度应控制在 15 转/秒内. 点评:本题考查线性回归方程的求法,考查最小二乘法,是一个基础题,解题时运算量比较 大,注意利用公式求系数时,不要在运算上出错.属于中档题.
2

22.已知函数 f(x)=x+alnx 在 x=1 处的切线 l 与直线 x+2y=0 垂直,函数 g(x)=f(x)+ x ﹣bx. (1)求实数 a 的值; (2)若函数 g(x)存在单调递减区间,求实数 b 的取值范围;

(3)设 x1,x2(x1>x2)是函数 g(x)的两个极值点,若 b≥ ,求 g(x1)﹣g(x2)的最 大值. 考点:导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)由 ,利用导数的几何意义能求出实数 a 的值.

(2) ) 由已知得

=

, x>0, 由题意知 g( ′ x)

<0 在(0,+∞)上有解,即 x+ +1﹣b<0 有解,由此能求出实数 b 的取值范围.

(3)由

=
2

,x>0,由题意知 g′(x)<0

在(0,+∞)上有解,x>0,设 μ(x)=x ﹣(b﹣1)x+1,由此利用构造成法和导数性质 能求出 g(x1)﹣g(x2)的最大值. 解答: 解: (1)∵f(x)=x+alnx, ∴ ,

∵f(x)在 x=1 处的切线 l 与直线 x+2y=0 垂直, ∴k=f′(x)|x=1=1+a=2, 解得 a=1. (2)∵g(x)=lnx+ ﹣(b﹣1)x,



=

,x>0,

由题意知 g′(x)<0 在(0,+∞)上有解, 即 x+ +1﹣b<0 有解, ∵定义域 x>0, ∴x+ ≥2, x+ <b﹣1 有解, 只需要 x+ 的最小值小于 b﹣1, ∴2<b﹣1,解得实数 b 的取值范围是{b|b>3}. (3)∵g(x)=lnx+ ﹣(b﹣1)x,



=

,x>0,

由题意知 g′(x)<0 在(0,+∞)上有解, 2 ∵x>0,设 μ(x)=x ﹣(b﹣1)x+1, 则 μ(0)=[ln(x1+ ﹣(b﹣1)x1]﹣[lnx2+ ﹣(b﹣1)x2]

=ln

+

=

=

= ∵x1>x2>0, ∴设 t= ,t>1,



令 h(t)=lnt﹣ (t﹣ ) ,t>1,

则 ∴h(t)在(1,+∞)上单调递减, 又∵b≥ ,∴(b﹣1)
2 2





∵t>1,∴由 4t ﹣17t+4=(4t﹣1) (t﹣4)≥0 得 t≥4, ∴h(t)≤h(4)=ln4﹣ (4﹣ )=2ln2﹣ 故 g(x1)﹣g(x2)的最大值为 2ln2﹣ . ,

点评:本题考查实数值的求法,考查函数的最大值的求法,解题时要认真审题,注意导数性 质的合理运用.


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