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数学奥林匹克高中训练题(53)及答案


数学奥林匹克高中训练题(53)
第一试
一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.(训练题53)已知 n, s 是整数。若不论 n 是什么整数,方程 x ? 8nx + 7 = 0 无整数解,则所有数 s 的
2 s

集合是(C). (A)奇数集 (B)所有形如 6k + 1 的数集 (C)偶数集 (D)所有形如 4k +

3 的数集 2.(训练题53)某货场有1997辆车排队等待装物,要求第一辆车必须装9箱货物,每相邻4辆车装货总数 为34箱.为满足上述要求,至少应该有货物的箱数是(B). (A)16966 (B)16975 (C)16984 (D)17009 3.(训练题53)已知非常数数列 {ai } ,满足 ai +1 ? ai ai +1 + ai = 0 ,且 ai +1 ≠ ai ?1 , i = 0,1, 2,? , n ,对于
2 2

给定的自然数 n, a1 = an +1 = 1 ,则 (A)2

∑a
i =0

n ?1

i

= (D).
(C)1 (D)0

(B)-1
2

4.(训练题53)已知 α , β 是方程 ax + bx + c = 0 ( a, b, c 为实数)的两根,且 α 是虚数,
5985

α2 是实数. β



∑(β )
k =i

α

k

的值是(C).

(A)2

(B)-1

(C)0

(D) 3i

5.(训练题53) a + b + c = abc, A = (A)3

(1 ? b2 )(1 ? c2 ) (1 ? a2 )(1 ? c2 ) (1 ? a2 )(1 ? b2 ) + + .则 A 的值是(C). bc ac ab
(C)4
n

(B)-3

(D)-4

6. (训练题53)设 xi ∈ {1, 2,? , n}, i = 1, 2,? , n , 满足 定是 1, 2,? , n 的一个排列的最大数 n 是(C). (A)4 (B)6 二、填空题(本题满分54分,每小题9分)

∑x
i =1

i

=

n(n + 1) 使 , x1 x2 ? xn = n ! , x1 x2 ? xn 一 2

(C)8

(D)9

1.(训练题53)设点 P 是凸多边形 A1 A2 ? An 内一点,点 P 到直线 A1 A2 的距离为 h1 ,到直线 A2 A3 的距 离为 h2 ,? ,到直线 An ?1 An 的距离为 hn ?1 ,到直线 An A1 的距离为 hn ,若存在点 P 使

a a1 a2 + +? + n h1 h2 hn

(ai = Ai Ai +1 , i = 1, 2,? , n ? 1, an = An A1 ) 取得最小值,则此凸多边形一定符合条件 可以内切于一圆
的多边形 . 2.(训练题53)已知 a 为自然数,存在一个以 a 为首项系数的二次整数系数的多项式,它有两个小于1 的不同的正根,则 a 的最小值为 5 . 3.(训练题53)已知 F (α ,θ ) = 的最大值和最小值分别为

α 2 + 2α sin θ + 2 , α ,θ ∈ R, α ≠ 0 ,那么,对于任意的 α ,θ , F (α ,θ ) α 2 + 2α cosθ + 2
2 + 3, 2 ? 3


4. (训练题53)已知 t > 0 , 关于 x 的方程为 x + t ? x 2 = 2 , 则这个方程有相异实根的个数情况是 9 . 5. (训练题53)已知集合 {1,2,3,?,3n ?1,3n} , 可以分为 n 个互不相交的三元组 {x, y, z}, 其中 x + y = 3z . 则 满足上述要求的两个最小的正整数 n 是 5,8
n


k

6.(训练题53)任给一自然数 k ,一定存在整数 n ,使得 x + x + 1 被 x + x + 1 整除.则这样的有序数 对 ( n, k ) 是(对于给定的 k )

(k , k )或(3m + 2, 2)



三、(训练题53)(本题满分20分)过正方体的某条对角线的截面面积为 S ,试求 四、(训练题53)(本题满分20分)数列 {an } 定义如下: a1 = 3, an = 3 数. (7) 五、(训练题53)(本题满分20分)已知 a, b, c ∈ R + ,且 a + b + c = 1 .证明:

S max 2 3 之值. ( ) 3 S min

an?1

(n ≥ 2) .求 an (n ≥ 2) 的末位
13 ≤ a2 + b2 + c2 + 4abc < 1 . 27

第二试
一、(训练题53)(本题满分50分)已知 ?ABC ,内心为 I ,外接圆 ⊙O ,点 B 关于 ⊙O 的对称点为 K , 在 AB 的延长线上取点 N , CB 的延长线上取点 M ,使得 MC = NA = s , s 为 ?ABC 的半周长.证 明: IK ⊥ MN . 二 、 ( 训 练 题 53)( 本 题 满 分 50 分 ) M 是 平 面 上 所 有 点 ( x, y ) 的 集 合 , 其 中 x, y 均 是 整 数 . 且

1 ≤ x ≤ 12,1 ≤ y ≤ 13 .证明:不少于49个点的 M 的每一个子集,必包含一个矩形的4个顶点,且此矩
形的边平行于坐标轴. 三、(训练题53)(本题满分50分)实系数多项式 f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c 满足 b < 0, ab = 9c .试判别此 多项式是否有三个不同的实根,说明理由.


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