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高中数学 1.2组合课件 新人教B版选修2-3


情境创设 问题一:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的 活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不 同的选法? 2 3

A ?6

问题二:从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加某天一项活动,有多少种不同的选法? 甲、乙;甲、丙;乙、丙 3

问题1
从已知的 3 个不同 元素中每 次取出2 个元素 , 按照一定 的顺序排 成一列.

问题2
从已知的 3个不同 元素中每 次取出2 个元素 , 并成一组

有 顺 序

排列

组合

无 顺 序

概念讲解
组合定义: 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个 元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个组合.
排列定义: 一般地,从n个不同元素中取出m (m≤n) 个 元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素 中取出 m 个元素的一个排列.

组合和排列有什么共同和不同点?
共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素”

不同点:

排列与元素的顺序有关, 而组合则与元素的顺序无关.

判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的含有3个元素的子集有 多少个? 组合问题 (2)某铁路线上有5个车站,则这条铁路线上共需准备多少种 车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价? 组合是选择的结果,排列 组合问题

是选择后再排序的结果. (3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组 ,共有 多少种分法?? 组合问题
(4)10人聚会,见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手 多少次?? 组合问题

(5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法? 组合问题 (6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序, 有多少种不同的方法? 排列问题

概念讲解

组合数:

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出 m m个元素的组合数,用符号 C n 表示.
注意: m 是一个数,应该把它与“组合”区别开来. Cn

探究:组合数 C 和排列数A 有什么区别和 联系。
我们从具体问题分析:

m n

m n

1.(1)写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的组合数。

(2)写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的排列数。

组合
abc abd acd abc acb abd adb acd adc bdc

排列
bac bca bad bda cad cda cbd cdb cab cba dab dba dac dca dbc dcb

bcd

你发现了 什么bcd ?

一般地,求从 n 个不同元素中取出 m个元 素的排列数,可以分为以下2步: 第1步,先求出从这 n 个不同元素中取出 m m 个元素的组合数 Cn. m A 第2步,求每一个组合中 m个元素的全排列数 m.
根据分步计数原理,得到:

m m 组合数Cn 和排列数An 的区别和联系。

A ?C ?A
m n m n

m m

m n ? n ? 1?? n ? 2 ??? n ? m ? 1? A m n 因此: Cn ? m ? Am m! * m 、 n ? N 这里 ,且 m ? n ,这个公式叫 做组合数公式.

概念讲解

从 n 个不同元中取出m个元素的排列数

A ?C ? A
n n

m

m

m m

组合数公式:

A n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) C ? ? A m!
m n m n m m

n! 0 C ? 我们规定:Cn ? 1. m !(n ? m)!
m n

例1:一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中 以前没有一人参加过比赛,按照足球比赛规则,比赛 时一个足球队的上场队员是11人.问: (1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学 员上场方案? (1)17选11,C11/17=C6/17=12376 (2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中 的守门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?
(2)17选11,然后选一个守门员,就是 C17/11.C1/11=136136

例2:(1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的 线段共有多少条? (2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的 有向线段共有多少条?

问题1 计算
猜想
m n

①C ;②C
n-m n

7 10

3 10

C =C

练:C

97 100

问题2.一个口袋内装有7个不同的白球和1个黑球. (1)从口袋内取出3个球,共有多少种取法? (2)从口袋内取出3个球,其中含有1个黑球,共 有多少种取法? ( 3 )从口袋内取出 3 个球,没有黑球,共有多少 种不同的取法? 猜想

C +C

m n

m -1 n

=C

m n +1

组合数的两个性质 性质1 规定: 性质2

C =C

m n

n -m n

C= 1
C +C
m n m -1 n

0 n

=C

m n +1

注: 1? 公式特征:下标相同而上标差1的两个组合数之 和,等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标 较大的相同的一个组合数. 2? 此性质的作用:恒等变形,简化运算.

性质应用 1、计算 C98 +C97
100 100

C +C +C +? ? ?+C
0 4 1 5 2 6 x+4 25

9 13

2、解方程 练习

C =C

2x 25

x 3 x ?8 C ? C 28 28 1.方程 的解集为( ) ? ? B、 ?9? C、? ?4, A、 4 D、 9? m? 2 17? m 2.式子 C10 ? C10

(m ? N ) 的值的个数为 ( )
*

A .1

B .2

C. 3

D. 4

9 9 8 3.化简 Cm ? Cm ? C ?1 m ? ________

4. 若C10 ? C 8 , 则Cn 的值为 __________ n n 20

=______________ +C 4 6 6、已知 Cn,C ,Cn 成等差数列,则C12 n=

5、C

17-n 2n

3n 13+n 5 n 7 8

C 7、
8、 C

5 8 2 3

+2C +C
2 4 2 5
m n

6 8

=_____________
2 100

+C +C +? ? ?+C
m n 7 n?1 7 n 8 n

=_______

9、若A ? 60, C ? 10, 则m=___ ,n=__ 10、若C ? C ? C , 则n=
n n n n?1

11 、求证: C ?C
12:已知C
x x?2

?C

n n? 2

? .....? C

n n? m

?C

n?1 n?m?1

?C

5 x ?1

? C , 则x ?
6 x ?1

作业 1.计算:
(1)

C

198 200


3 2 8

( 2)

C

3 99

? C 99 ;

2

(3)

2C ? C ? C
8 9

3

.
2 6 9 13

()计算 1 C ? C ? C ??? C ; 2 2 2 2 (2)计算C2 ? C3 ? C4 ??? C10 ;
0 4 1 5

2、

(3)求证:C ? C ? C
n n n n?1

n n? 2

??? C

n n+m

?C

n ?1 n?m?1

.

x 5 6 3:已知 Cx ? C ? C ?2 x ?1 x ?1 ,

求C

x ?5 2x

?C

x?4 2x

一、等分组与不等分组问题
例3、6本不同的书,按下列条件,各有多少种不同的分法; (1)分给甲、乙、丙三人,每人两本; (2)分成三份,每份两本; (3)分成三份,一份1本,一份2本,一份3本; (4)分给甲、乙、丙3人,一人1本,一人2本,一人3本; (5)分给甲、乙、丙3人,每人至少一本;

(6)分给5个人,每人至少一本;
C(6,2)*A(5,5)=1800 或C(5,1)*C(6,2)*A(4,4)=1800 (7)6本相同的书,分给甲乙丙三人,每人至少一本。 是3+6+1一共10

练习: (1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1 件,另一份4件, 有多少种分法? (2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每 人二件有多少种分法?
6 1 4 1 1 解: (1) C10 ? 2 C6 ? C2 ? C1 ? 3150 6 2 2 2 C ? C ? C ? C (2) 10 6 4 2 ? 18900

二、机会均等法(定序)
例4 某毕业班第一小组的7位同学合影留念, 要求其中3位女同学的顺序固定,共有多少种 不同的排法?

三、混合问题,先“组”后“排”
例5 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品, 一一进行测试,至区分出所有次品为止,若所有次 品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法 有几种可能? 解:由题意知前5次测试恰有4次测到次品,且第5 3 1 4 次测试是次品。故有: C C A ? 576 种可能。
4 6 4

练习:1、某学习小组有5个男生3个女生,从中选3名 男生和1名女生参加三项竞赛活动,每项活动至少有1 人参加,则有不同参赛方法______种.
解:采用先组后排方法:

C ? C ? C ? A ? 1080
3 5 1 3 2 4 3 3

2、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生

体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方
法共有多少种?
解法一:先组队后分校(先分堆后分配)

C C ?A
6 4

2

2

3 3

? 540

解法二:依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.

(C C ) ? (C C ) ?1 ? 540
1 3 2 6 1 2 2 4

四.元素相同问题隔板策略
例6、 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每 校至少有1人,这样有几种选法? 分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒 子不能空的)有几种放法?这类问可用“隔板法”处理. 5 解:采用“隔板法” 得: C29 ? 4095 练习: 1、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级, 每班至少分到1个名额,共有多少种不同的分配方法? 2、从一楼到二楼的楼梯有17级,上楼时可以一步走 一级,也可以一步走两级,若要求11步走完,则有 多少种不同的走法?

课堂练习:
1、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习,每个车间2人, 若甲必须分到一车间,乙和丙不能分到二车间,则不同的分 9 法有 种。 2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会,要求张、王两人中 9 至多有一个人参加,则有不同的选法种数为 。 3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队,如果 其中至少有2名男医生和至少有2名女医生,则不同的选法种数 为( C ) 3 2 3 3 2 3 A.(C8 ? C7 )(C7 ? C82 ) B.(C8 ? C7 ) ? (C7 ? C82 )
3 2 3 2 C.C8 C7 ? C7 C8

3 2 1 D.C8 C7 C11

4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委 员,则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有(D )

A.C A

2 5

3 3

B.2C A

3 5

3 3

C. A

3 5

D.2C A ? A
2 5 3 3

3 5

5、在如图7x4的方格纸上(每小方格均为正方形) (1)其中有多少个矩形? (2)其中有多少个正方形?
(1)矩形的话用C(8,2)*C(5,2)在两边 任意取两点即可 (2)正方形的话,首先,只由一个小正方形组 成的有7*4 由2*2小正方形组成的有6*3 由3*3小正方形组成的有5*2 由4*4小正方形组成的有4*1 所以7*4+6*3+5*2+4*1=60

6.从4名男生和5名女生中任选5人参加某项社会 实践活动,要求至多选4名女生,且男生甲和女 生乙不同时入选,求共有多少种不同的选法?

C ?C ?C
7 7

4

4

5 7

?1

90

7.∠BAC的AB边上有5个点,AC边上有4 个点,连同点A共10个点,求由这10个 点一共可构成多少个不同的三角形? C 90

A

B

8.将8名工程技术人员平均分到甲、 乙两个企业作技术指导,其中某2名 工程设计人员不能分到同一个企业, 某3名电脑编程人员也不能分到同一 个企业,求共有多少种不同的分配方 案? 36
9.某城市新建的一条道路上有12只路灯,为了节约用 电而又不影响正常的照明,可以熄灭其中3只灯,但 两端的灯不能熄灭,也不能熄灭相邻的两只灯。则 熄灯的方法有多少种?

10.有10个运动员名额,再分给7个班,每班至 少一个,有多少种分配方案? C 6
9


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