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费马原理与运动学


费马原理在运动学中的运用
费马原理指出,光在指定的两点之间传播,实际的光程总是为最小、最大或保持恒定。 这里光程指的是光在某种均匀介质中通过的路程和该种媒质的折射率的乘积。 费马原理是几何光学中的一条重要原理, 由此原理可证明光在均匀介质中传播时遵从的 直线传播定律、反射和折射定律,以及傍轴条件下透镜的等光程性等。光的可逆性原理是几 何光学中的一条普遍原理,该原理说,若光线在介质中沿某一路径传播,当光线反向时,必 沿同一路径逆向传播 。费马原理规定了光线传播的唯一可实现的路径,不论光线正向传播 还是逆向传播,必沿同一路径。 1、 设湖岸 MN 为一直线, 有一小船字岸边的 A 点沿与湖岸成α =15°匀速向湖中 驶去, 有一个人自 A 点同时出发, 他先沿岸走一段再入水中游泳去追船, 已知人在岸上走 的速度为 v1=4m/s, 人在水中游泳的速度为 v2=2m/s, 则人要能追上船, 船的最大速度 v 为 多少? 设想 MN 为光在甲、乙两种介质的分界面,光在甲介质中的速度为 v1,在乙介质中的 速度为 v2,则当 B 点发出的光以临界角 β =arc sin 入射到界面上时,根据费马原理可知 B→D→ A 是光线由 B 传至 A 的费时最少的路径, 因此人应取 A→D→ B 的路径费时最少,所以当人自某点入水沿与岸成角θ =60°方向游泳 而刚好追到船时, 此情况下对应的船速为人能追到船的最大允许速度. 设其为 v, 如图所示, 过相遇点 B 作 BK⊥ BD, 令 BK 与 MN 交与 K, 因为θ =60°, 所以 DK=2DB, 又有 v1=2v2, 则人游过 DB 段与走过 DK 段等时,故人自出发到在 B 点追及船的时间等于他由 A 点走至 K 点的时间,故有 则在Δ ABK 中,由正弦定理得

所以




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