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[新王牌](八年级上册)知识点总结

第一章 轴对称
1 轴对称图形和关于直线对称的两个图形 2 轴对称的性质 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线; 如果两个图形关于某条直线对称, 那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的 垂直平分线; 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等; 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 3 用坐标表示轴对称 点 (x, y) 关于 x 轴对称的点的坐标是(x,-y), 关于 y 轴对称的点的坐标是(-x,y), 关于原点对称的点的坐标是(-x,-y). 4 等腰三角形 等腰三角形的两个底角相等;(等边对等角) 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合;(三线 合一) 一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。(等角对等边) 5 等边三角形的性质和判定 等边三角形的三个内角都相等,都等于 60 度; 三个角都相等的三角形是等边三角形; 有一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形; 推论: 直角三角形中, 如果有一个锐角是 30 度, 那么他所对的直角边等于斜边的一半。 在三角形中,大角对大边,大边对大角。

第二章勾股定理、平方根

判定直角三角形 勾股定理 勾股定理的验证

勾股定理和 平方根

平方根

定义、性质

开平方运算

立方根

定义、性质

开立方运算

实数

近似数、 有效数字

一、勾股定理:
1、勾股定理定义:如果直角三角形的两直角边长分别为 a,b,斜边长为 c,那么 a2+b2=c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
B 弦c A b股 a勾 C

勾:直角三角形较短的直角边 股:直角三角形较长的直角边 弦:斜边 勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长 a,b,c 有下面关系:a2+b2=c2,那么这个 三角形是直角三角形。 2. 勾股数:满足 a +b =c 的三个正整数叫做勾股数(注意:若 a,b,c、为勾股数,那么 ka,kb,kc 同样也是勾股数组。 ) *附:常见勾股数:3,4,5; 6,8,10; 9,12,15; 5,12,13 3. 判断直角三角形:如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a +b =c ,那么这个三角形是直角 三角形。 (经典直角三角形:勾三、股四、弦五) 其他方法: (1)有一个角为 90°的三角形是直角三角形。 (2)有两个角互余的三角形是直角三角形。 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是: (1)确定最大边(不妨设为 c) ; (2)若 c2=a2+b2,则△ABC 是以∠C 为直角的三角形; 若 a2+b2<c2,则此三角形为钝角三角形(其中 c 为最大边) ; 若 a2+b2>c2,则此三角形为锐角三角形(其中 c 为最大边) 4.注意: (1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
2 2 2 2 2 2

(2)在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°,那么它所对的直角边等于斜边的 一半。 (3)在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角 等于 30°。 5. 勾股定理的作用: (1)已知直角三角形的两边求第三边。 (2)已知直角三角形的一边,求另两边的关系。 (3)用于证明线段平方关系的问题。 (4)利用勾股定理,作出长为 n 的线段 二、平方根: (11——19 的平方) 1、平方根定义:如果一个数的平方等于 a,那么这个数就叫做 a 的平方根。 (也称为二次方 根) ,也就是说如果 x =a,那么 x 就叫做 a 的平方根。 2、平方根的性质: ①一个正数有两个平方根,它们互为相反数; 一个正数 a 的正的平方根, 记作 “ a” , 又叫做算术平方根, 它负的平方根, 记作 “— a ” , 这两个平方根合起来记作 “± a ” 。 ( a 叫被开方数, “ 亦可写成“ ” ) ②0 只有一个平方根,就是 0 本身。算术平方根是 0。 ③负数没有平方根。 3、 开平方:求一个数的平方根的运算叫做开平方,开平方和平方运算互为逆运算。 4、 (1) 平方根是它本身的数是零。 (2)算术平方根是它本身的数是 0 和 1。
2
2

” 是二次根号, 这里 “

” ,

(3)

? a?

2

? a?a ? 0 ?, a 2 ? a?a ? 0 ?, a 2 ? ?a?a ? 0 ?.

(4)一个数的两个平方根之和为 0
三、立方根: (1——9 的立方) 1、立方根的定义:如果一个数的立方等于 a,那么这个数就叫做 a 的立方根。 (也称为二次 方根) ,也就是说如果 x =a,那么 x 就叫做 a 的立方根。记作“ 3 a ” 。 2、立方根的性质: ①任何数都有立方根,并且只有一个立方根,正数的立方根是正数,负数的立方根是负数, 0 的立方根是 0. ②互为相反数的数的立方根也互为相反数,即 3 ? a = ? 3 a ③ (3 a ) 3 ? 3 a 3 ? a 3、开立方:求一个数的立方根的运算叫做开立方,开立方与立方运算为互逆运算,开立方 的运算结果是立方根。 4、立方根是它本身的数是 1,0,-1。 5、平方根和立方根的区别:
3

3 (1)被开方数的取值范围不同:在 ? a 中, a ? 0 ,在 a 中,a 可以为任意数值。

(2)正数的平方根有两个,而它的立方根只有一个;负数没有平方根,而它有一个立方根。

6、立方根和平方根: 不同点: (1)任何数都有立方根,正数和 0 有平方根,负数没有平方根;即被开方数的取值范围
3 不同:± a 中的被开方数 a 是非负数; a 中的被开方数可以是任何数.

(2)正数有两个平方根,任何数都有惟一的立方根; (3)立方根等于本身的数有 0、1、—1,平方根等于本身的数只有 0. 共同点:0 的立方根和平方根都是 0. 四、实数: 1、定义:有理数和无理数统称为实数 无理数:无限不循环小数称(包括所有开方开不尽的数,∏) 。 有理数:有限小数或无限循环小数 注意:分数都是有理数,因为任何一个分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式 2、实数的分类:

? ?正有理数 ? ? ? ? ? ?有理数 ?零 ?有限小数或无限循环小数 ? ? ? ? 实数 ? ?负有理数 ? ? ? ?正无理数 ? ? ? ? 无理数 ? ?无限不循环小数 ? ? 负无理数 ? ? ? ? ?

整数 有理数 实数 分数 无理数 (无限不循环小数)
实数的性质:①实数的相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内的意义是一样的。 ②实数同有理数一样, 可用数轴上的点表示, 且实数和数轴上的点一一对应。 ③两个实数可以按有理数比较大小的法则比较大小。 ④实数可以按有理数的运算法则和运算律进行运算。 3、近似数:由于实际中常常不需要用精确的数描述一个量,甚至在更多情况下不可能得到 精确的数,用以描述所研究的量,这样的数就叫近似数。 取近似值的方法——四舍五入法 4、有效数字:对一个近似数,从左边第一个不是 0 的数字起,到末位数字止,所有的数

有限小数或无限循环小数

都称为这个近似数的有效数字 5、科学记数法:
n 1 ? a ? 10, n是整数)的形式,就叫 做科学记数法。 把一个数记为 a ?10 (其中 6、实数和数轴:

每一个实数都可以用数轴上的点来表示;反过来,数轴上每一个点都表示一个实数。实 数与数轴上的点是一一对应的。

第四章 数量、位置的变化
一、 在平面内,确定物体的位置一般需要两个数据。 二、平面直角坐标系及有关概念 1、平面直角坐标系

在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴,组成平面直角坐标系。其中,水平的 数轴叫做 x 轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴,取向上为正方向;x 轴和 y 轴统称坐标轴。它们的公共原点 O 称为直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平 面,叫做坐标平面。 2、为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被 x 轴和 y 轴分割而成的四个部分,分 别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意:x 轴和 y 轴上的点(坐标轴上的点) ,不属于任何一个象限。 3、点的坐标的概念 对于平面内任意一点 P,过点 P 分别 x 轴、y 轴向作垂线,垂足在上 x 轴、y 轴对应的数 a,b 分别叫做点 P 的横坐标、纵坐标,有序数对(a,b)叫做点 P 的坐标。 点的坐标用(a,b)表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“, ”分开,横、 纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对,当 a ? b 时, (a,b)和(b,a) 是两个不同点的坐标。 平面内点的与有序实数对是一一对应的。 4、不同位置的点的坐标的特征 (1) 、各象限内点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一象限 ? x ? 0, y ? 0 点 P(x,y)在第二象限 ? x ? 0, y ? 0 点 P(x,y)在第三象限 ? x ? 0, y ? 0 点 P(x,y)在第四象限 ? x ? 0, y ? 0 (2) 、坐标轴上的点的特征 点 P(x,y)在 x 轴上 ? y ? 0 ,x 为任意实数 点 P(x,y)在 y 轴上 ? x ? 0 ,y 为任意实数 点 P(x,y)既在 x 轴上,又在 y 轴上 ? x,y 同时为零,即点 P 坐标为(0,0)即原点 (3) 、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点 P(x,y)在第一、三象限夹角平分线(直线 y=x)上 ? x 与 y 相等 点 P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 ? x 与 y 互为相反数 (4) 、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同。 (5) 、关于 x 轴、y 轴或原点对称的点的坐标的特征 点 P 与点 p’关于 x 轴对称 ? 横坐标相等,纵坐标互为相反数,即点 P(x,y)关于 x 轴的对称点为 P’(x,-y) 点 P 与点 p’关于 y 轴对称 ? 纵坐标相等,横坐标互为相反数,即点 P(x,y)关于 y

轴的对称点为 P’(-x,y) 点 P 与点 p’关于原点对称 ? 横、纵坐标均互为相反数,即点 P(x,y)关于原点的对 称点为 P’(-x,-y) (6)、点到坐标轴及原点的距离 点 P(x,y)到坐标轴及原点的距离: (1)点 P(x,y)到 x 轴的距离等于 y (2)点 P(x,y)到 y 轴的距离等于 x
2 2 (3)点 P(x,y)到原点的距离等于 x ? y

三、坐标变化与图形变化的规律:

坐标( x , y )的变化 x × a或 y × a x × a, y × a x ×( -1)或 y ×( -1) x ×( -1), y ×( -1) x +a 或 y+ a x +a, y+ a

图形的变化 被横向或纵向拉长(压缩)为原来的 a 倍 放大(缩小)为原来的 a 倍 关于 y 轴或 x 轴对称 关于原点成中心对称 沿 x 轴或 y 轴平移 a 个单位 沿 x 轴平移 a 个单位,再沿 y 轴平移 a 个单

第五章 一次函数
一、函数: 一般地,在某一变化过程中有两个变量 x 与 y,如果给定一个 x 值,相应地就确定了一 个 y 值,那么我们称 y 是 x 的函数,其中 x 是自变量,y 是因变量。 二、自变量取值范围 使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。一般从整式(取全体 实数) ,分式(分母不为 0) 、二次根式(被开方数为非负数) 、实际意义几方面考虑。 三、函数的三种表示法及其优缺点 (1)关系式(解析)法 两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示, 这种表示法叫做关系式(解析)法。 (2)列表法 把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成一个表来表示函数关系,这种表示法叫 做列表法。 (3)图象法 用图象表示函数关系的方法叫做图象法。 四、由函数关系式画其图像的一般步骤 (1)列表:列表给出自变量与函数的一些对应值 (2)描点:以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点 (3)连线:按照自变量由小到大的顺序,把所描各点用平滑的曲线连接起来。 五、正比例函数和一次函数

1、正比例函数和一次函数的概念 一般地,若两个变量 x,y 间的关系可以表示成 y ? kx ? b (k,b 为常数,k ? 0)的形 式,则称 y 是 x 的一次函数(x 为自变量,y 为因变量) 。 特别地,当一次函数 y ? kx ? b 中的 b=0 时(即 y ? kx ) (k 为常数,k ? 0) ,称 y 是 x 的正比例函数。 2、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征: 一次函数 y ? kx ? b 的图像是经过点(0,b)的直线;正比例函数 y ? kx 的图像是经 过原点(0,0)的直线。 k 的符 号 b 的符号 函数图像 y 图像特征

b>0

0

x

图像经过一、二、三象限,y 随 x 的增大而增大。

k>0

y

b<0

0

x

图像经过一、三、四象限,y 随 x 的增大而增大。

y

b>0 0 K<0 x

图像经过一、二、四象限,y 随 x 的增大而减小

b<0

y

图像经过二、三、四象限,y 随 x 的增大而减小。

0

x

注:当 b=0 时,一次函数变为正比例函数,正比例函数是一次函数的特例。 4、正比例函数的性质 一般地,正比例函数 y ? kx 有下列性质: (1)当 k>0 时,图像经过第一、三象限,y 随 x 的增大而增大; (2)当 k<0 时,图像经过第二、四象限,y 随 x 的增大而减小。 5、一次函数的性质 一般地,一次函数 y ? kx ? b 有下列性质: (1)当 k>0 时,y 随 x 的增大而增大 (2)当 k<0 时,y 随 x 的增大而减小 6、正比例函数和一次函数解析式的确定 确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式 y ? kx (k ? 0)中的常数 k。确 定一个一次函数,需要确定一次函数定义式 y ? kx ? b (k ? 0)中的常数 k 和 b。解这类问 题的一般方法是待定系数法。 7、一次函数与一元一次方程的关系: 任何一个一元一次方程都可转化为:kx+b=0(k、b 为常数,k≠0)的形式. 而一 次函数解析式形式正是 y=kx+b(k、b 为常数,k≠0) .当函数值为 0 时,?即 kx+b=0 就与 一元一次方程完全相同. 结论:由于任何一元一次方程都可转化为 kx+b=0(k、b 为常数,k≠0)的形式.所以 解一元一次方程可以转化为:当一次函数值为 0 时,求相应的自变量的值. 从图象上看,这相当于已知直线 y=kx+b 确定它与 x 轴交点的横坐标值.

第六章 数据的集中程度
1、刻画数据的集中趋势(平均水平)的量:平均数 、众数、中位数 2、平均数 (1)平均数:一般地,对于 n 个数 x1 , x2 ,?, xn , 我们把 个数的算术平均数,简称平均数,记为 x 。 (2)加权平均数: 3、众数 一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。 4、中位数 一般地,将一组数据按大小顺序排列,处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数

1 ( x1 ? x 2 ? ? ? x n ) 叫做这 n n

据的平均数)叫做这组数据的中位数。

初二数学上册期末试卷
一、耐心填一填: (每题 2 分,共 20 分.把最后结果填在每题横线上)
1. 5 ? π 的相反数是 2. 当 x 时,分式 .

x?2 有意义. 3x ? 2
° . (只需填上一个

3. 如图, △ ACB ≌△ A?CB? , ?BCB? =30° ,则 ?ACA? 的度数为 4. 如图,∠1=∠2,要使△ABE≌△ACE,还需添加条件 你认为合适的条件即可) .

5.如图,是一个正比例函数的图像,则此函数图像的解析式为



6. 一个正数 x 的平方根为 2a ? 3 和 5 ? a ,则 x=



7. 已知直线 y1 ? mx? n和 y2 ? ax ? b 在平面直角坐标系中的位置如图所示,不等 式

mx ? n ? ax? b 的解集是

. .

8. 如图, △ACB 中, ∠C=90° , AD 平分∠BAC, BC=10, BD=6, AB=12, 则 S△ABD= 9. 因式分解

a 2 ? 1 ? 2ab ? b2 =

. .

10.一次函数 y ? mx ? 2m ? 3 的图像过点(1,0) ,则 m= 得分 评卷人

二、细心选一选:(每题 3 分,共 24 分.下列各题都有代号为 A、

B、C、D 的四个结论供选择,其中只有一个结论是正确的,请把 正确结论的代号写在括号内.)
11. 下列计算正确的是 A. a ? a ? a
2 3 5


6 2 3



B. a ? a ? a
2 2

C. a

? ?

2 3

? a6

D. 2a ? 3a ? 6a ( D.0 ( ) )

12. 若 m+n=3,则 2m ? 4mn ? 2n ? 6 的值为 A.12 B. 6 C.3

13. 下列四个图形中,不是 轴对称图形的是 ..

A. 14.如果将分式

B.

C.

D. ( )

xy 中 x、 y 都扩大 10 倍,则分式的值 x? y
B.扩大 10 倍 C.不变 D.缩小到原来的

A.扩大 100 倍

1 10
( )

15.到三角形三个顶点距离相等的点是三角形 A.角平分线的交点 B.中线的交点

C.三边上高的交点 D.三边垂直平分线的交点 ( D.20cm )

16. 若等腰三角形的两边长分别为 8cm 和 4cm,则它的周长为 A.12cm B.16cm C.16cm 或 20cm

17. 如图,给出下列四组条件: ① AB ? DE,BC ? EF,AC ? DF ③ ?B ? ?E,BC ? EF,?C ? ?F ② AB ? DE,?B ? ?E,BC ? EF ④ AB ? DE,AC ? DF,?B ? ?E ( D.4 组 )

其中,能使 △ ABC ≌△DEF 的条件共有 A.1 组 B.2 组 C.3 组

18. 如图,在矩形 ABCD 中,AB=4, BC ? 1 ,动点 P 从点 B 出发,沿路线 B ? C ? D 作 匀速运动,那么 △ ABP 的面积 S 与点 P 运动的路程 x 之间的函数图象大致是 ( )

得分 评卷人

三、认真算一算,可要细心哦! (第 19 题每小题 5 分,第 20、 21 题每题 6 分,共 22 分)

19.计算题: (1)

2 ? 3 ? ( 3 ? 2)2

(2) 3( y ? z)2 ? (2 y ? z)(? z ? 2 y)

20.已知直线 y ? kx ? b ,当 ?1 ? x ? 3 时, 2 ? y ? 4 ,求此函数关系式.

2 2 2 21.已知: a ? b ? 3,ab ? 2. 求(1) a ? b ; (2) (a ? b) 的值.

四、想一想,做一做,相信你定能成功!不过要注意时间啊! (本大题共 34 分)
得分 评卷人 22.(本题 5 分)已知平面内有两点 A(-1,3) 、B(2,1) ,x 轴上有一

点 P 满足 PA+PB 的值最小, 请在 x 轴上标出点 P 的位置, 并求出点 P 的坐标.

23.(本题 6 分)如图,在 △ABC 的外部,分别以 AB、AC 为直角边, 得分 评卷人 点 A 为直角顶点,作等腰直角△ABD 和等腰直角△ACE, CD 与 BE 交于点 P. 试证:(1) CD=BE ;(2) ∠BPC=90° .

得分 评卷人

24.(本题 6 分)如图,AD 为△ABC 的角平 分线,DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC 于点 F,连 接 EF 交 AD 于点 G.

(1)求证:AD 垂直平分 EF; (2)若∠BAC=60° ,猜测 DG 与 AG 间有何数量关系?请说明理由.

得分 评卷人

25. (本题 7 分)在一次运输任务中,一辆汽车将一批货物从甲地运往 乙地,到达乙地卸货后返回.设汽车从甲地出发 x(h)时,汽车与甲地的 距离为 y(km),y 与 x 的函数关系如图所示. 根据图像信息,解答下列问题: (1)这辆汽车的往、返速度是否相同?请说 明理由; (2)求返程中 y 与 x 之间的函数表达式; (3)求这辆汽车从甲地出发 4h 时与甲地的 距离.

得分 评卷人

26. (本题 10 分)已知直线 l1 经过点(3,5)与(-4,-9) ,直线 l3 ∥l1,且过直线 l2 与 y 轴的交点 B,交 x 轴于点 A,已知直线 l2:

y ? ?x ? 6 .
(1)画出直线 l3 的位置,求出直线 l1、 l3 的解析式和点 A 的坐标.

(2)若点 P( x,y ) 是线段 AB 上的一动点,△OPA 的面积为 S,求: ①S 关于 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; ②请求出 S 的最大值或最小值.


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