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13, 对数与对数函数(一)


第13讲 对数与对数函数(一)

考纲要求

1.理解对数的概念和运算性质. 2.理解对数函数的概念、单调性、图象过特殊点.

知识梳理
1. 对数的概念 (1)对数的定义

如果ax=N(a>0且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数, 记
N 叫做真数. x=loga

N 其中____ 作_________, a 叫做对数的底数 ,____

(2) 几种常见对数 对数形式 一般对数 常用对数 自然对数 特点 底数为a(a>0且a≠1) 10 底数为____ 记法 loga N _______ lg N ______ ln N ______

e 底数为____

指数 对数



真数

底数 a>0,且a≠1

2.对数的性质与运算法则 ⑴对数的性质 (a ? 0, 且a ? 1) ① loga 1 ?

0 ;

② log a a ? ④a
loga N

1

; .

③ loga a N ? N ; ⑵对数的重要公式

? N

log c b ① 换底公式: loga b ? ; log c a
② loga b ? logb a ? 1 .

⑶运算的运算法则 如果 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0, 那么 ① log a ( MN ) ? logaM+logaN ;

M ? ② log a N

logaM-logaN ;


③ loga M n ? nlogaM ④ logam b ?
n

n log b; . m a

3.对数函数 y ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 的性质

y ? loga x ( a ? 1 )
y
图 象 O x 1

y ? loga x ( 0 ? a ? 1 )
y
x

x
x

O

1

x
x

定义域:(0, ??).值 域: 性 过定点:(1, 0) .

R



x ? (0,1) 时, y ? 0 . x ? (1,??) 时, y ? 0 .
质 在 (0, ??) 上是 增 函数.

x ? (0,1) 时, y ? 0 . x ? (1,??) 时, y ? 0 .
在 (0, ??) 上是减 函数.

图象特征:第一象限内,图象从左向右,底数逐渐增大.

5. 第一象限中,对数函数底数与图象的关系

y
y=1

o

x

反函数
函 数 y ? loga x (a ? 0, a ? 1) 与 指 数 函 数

y ? a (a ? 0, a ? 1) 互为反函数,它们的图象关
x

于直线 y ? x 对称.

典例剖析
考点1:反函数

1 x 1.(2012全国卷)设P在曲线y = e 上,Q在曲线y = ln (2x)上 2 则 | PQ | 的最小值是

高考总复习·理科·数学

【变式】

(2)已知x1是方程x+lg x=3的根,x2是方程x+10x= 3的根, 则x1+x2的值是_________;

典例剖析
考点2 对数式的化简与求值

例1.

例2.

典例剖析
考点3:图象与性质

例1.已 知 函 数 f ( x ) ? loga ( 2 ? b ? 1) (a ? 0, a ? 1) A 的图像如图所示,则 a , b满 足 的 关 系 是 ( ) A. 0 ? a C. 0 ? b
?1 ?1

x

?b?1 ?a?1

B. 0 ? b ? a D. 0 ? a
?1

?1

?1
?1

?b

?1

考点3 对数函数的图象与性质

2.函数y=3

|log3x|

的图象大致是(

)

考点3 对数函数的图象与性质

1 【例 3】 (2012 新课标高考)当 0 ? x ? 时, 4x ? loga x , 2
则 a 的取值范围是( )

2 A. (0, ) 2
C. (1, 2)

2 B. ( ,1) 2
D. ( 2, 2)

【答案】B 【解析】当 a ? 1 时,显然不成立.

y
4 3 2 1 1

1 若 0 ? a ? 1 时,当 x ? 时, 4 2 ? 4 ? 2 , 2 1 2 此时对数 log a ? 2 ,解得 a ? , 2 2
根据对数的图象和性质可知,

1

1 要使 4 ? loga x 在 0 ? x ? 时恒成立, 2
x

O
1

1

2

3

x

2 则有 ? a ? 1 ,如图,选 B. 2

变式训练 2
|lg x|, 0<x≤10, ? ? 已知函数 f(x)=? 1 若 a,b,c 互不相 - x+6, x>10, ? ? 2
(10,12) 等,且 f(a)=f(b)=f(c),则 abc 的取值范围是__________ .

解析 作出 f(x)的大致图象.

由图象知,要使 f(a)=f(b)=f(c),不妨设 a<b<c, 1 则-lg a=lg b=- c+6. 2 ∴lg a+lg b=0,∴ab=1,∴abc=c.
由图知 10<c<12,∴abc∈(10,12).

【4】已知函数

? ?? 3a ? 1? x ? 4a x ? 1 是 f ? x? ? ? x ≥1 ? ?log a x

(-∞, +∞)上的减函数 , 则实数 a 的取值范围 1 , 1) [ 是________ 7 3 .
? 3a ? 1 ? 0, ? ? 0 ? a ? 1, ? 7a ? 1 ≥ 0 ?

? 1 ≤ a ? 1. 7 3

考点4 比较数值的大小

A.a<b<c C.b<c<a

B.a<c<b D.b<a<c

解析:由已知结合对数函数图象和指数函数 图象得到a<0,0<c<1,而b=log23>1,故 选B. 答案:B

【 变例 式2. 】 ( 2012 西 城 一 模 ) 若 a ? log2 3 , b ? log3 2 ,

c ? log4 6 ,则下列结论正确的是(
A. b ? a ? c C. c ? b ? a
【答案】D 【解析】∵ a ? 1 , 0 ? b ? 1 , c ? 1 ,



B. a ? b ? c D. b ? c ? a

a ? c ? log2 3 ? log4 6 ? log4 9 ? log4 6 ? 0 ,
∴b ? c ? a .

走进高考
)x; 1.(辽宁)已知函数f(x)满足:当x≥4时, f ( x ) ? ( 1 2 1 当x<4时,f(x)=f(x+1).则f(2+log23)= 24 .

因为3<2+log23<4, 故 f(2+log23)=f(2+log23+1)

? ( 1 )3? log2 3 2 ? ( 1 )3 ( 1 )log2 3 2 2
? 1?1 ? 1 . 8 3 24

=f(3+log23)

例 2.已 知 函 数 f ( x ) ? l n [( 5 ? k ) x 2 ? 6 x ? k ? 5] ( 2)若 函 数 f ( x )的 值 域 为 R, 求 实 数 k的 取 值 范 围 。

(1)若 函 数 f ( x )的 定 义 域 为 R, 求 实 数 k的 取 值 范 围 ;

【解析】 (1)若函数 f(x)的定义域为 R, 2 则关于 x 的不等式(5+k)x +6x+k+5>0 恒成立. 若 5+k=0,即 k=-5 时,6x>0,不恒成立; 若 5+k≠0,即 k≠-5 时, ? ?5+k>0, ? 解得 k>-2. 2 ? ?Δ=36-4?5+k? <0, 故实数 k 的取值范围是{k|k>-2}.

例 2.已 知 函 数 f ( x ) ? l n [( 5 ? k ) x 2 ? 6 x ? k ? 5] ( 2)若 函 数 f ( x )的 值 域 为 R, 求 实 数 k的 取 值 范 围 。
(2)若函数 f(x)的值域为 R,则(5+k)x2+6x+k+5 的值要 取遍(0,+∞)内的所有值. 2 ? ?Δ=36-4?5+k? ≥0, ∴? 或 k+5=0. ? ?5+k>0, 解得-5<k≤-2 或 k=-5. ∴实数 k 的取值范围是{k|-5≤k≤-2}.

(1)若 函 数 f ( x )的 定 义 域 为 R, 求 实 数 k的 取 值 范 围 ;

例 2.已 知 函 数 f ( x ) ? l n [( 5 ? k ) x 2 ? 6 x ? k ? 5] ( 2)若 函 数 f ( x )的 值 域 为 R, 求 实 数 k的 取 值 范 围 。
【点评】 (1)定义域为 R,意味着真数恒大于零.对于关于 x 的不等 式(5+k)x2+6x+k+5>0,不能简单认为是二次不等式,注意 分类讨论. (2)设 y=logau(x)(a>0 且 a≠1), 对数函数值能取遍全体实 数,真数 u(x)就必须取遍区间(0,+∞)内的所有值,u(x)在作 为真数之前,是否出现负值或零无关紧要,关键是 u(x)的取值 要包含区间(0,+∞)中的所有值.至于 u(x)中的负值及零只要 通过定义域要求去掉即可.

(1)若 函 数 f ( x )的 定 义 域 为 R, 求 实 数 k的 取 值 范 围 ;

【变式】 (2012 嘉定三模)若对于任意实数 m ,关于 x 的 方程 log2 (ax2 ? 2 x ? 1) ? m ? 0 恒有解,则实数 a 的取值 范围是( ) B . (0 , 1] D. (0 , 1)

A. (?? , 1) C. [0 , 1]

【答案】C 【解析】∵关于 x 的方程 log2 (ax2 ? 2 x ? 1) ? m ? 0 , 等价于 ax ? 2 x ? 1 可以取遍一切正数,
2 2 当 a ? 0 时, ax ? 2 x ? 1 可以取遍一切正数,

?a ? 0 当 a ? 0 时, ? ,可得 0 ? a ? 1 , ?? ? 4 ? 4a ? 0
综上: 0 ? a ? 1 .

f (x) = log a (x + a x +1)有最小值, 则 a 的范围是

2

归纳反思
1.比较对数值的大小时,首先与“ 0 或 1 ”比较,然后再利用对 数函数的单调性比较. 2.画对数函数 y ? loga x(a ? 0, a ? 1) 的图象,抓住三个关键点:

1 (a,1) 、 (1, 0) 、 ( , ?1) . a
3.讨论对数函数的性质时,首先要注意函数的定义域.

归纳反思
本课的主要考点: (1)对数运算; (2)对数函数的概念; (3)对数函数的图像和性质(定义域、值域、单调性); (4)反函数.

解题过程要注意底数a对单调性的影响,要特别注 意其真数大于0,对数函数常结合有关函数性质命 题,常与定义域、单调性和图像有关,因而分类 讨论和数形结合方法是常用方法。


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