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海南省文昌中学2015届高三模拟考试(三)数学(理)试题


数 学(理科)
(完成时间:120 分钟 试题满分:150 分)

第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,下列每小题有且只有一个正确
答案,请把正确答案的代号,涂在答题卡上) 1.如果复数 z ? A.|z|=2 C.z 的虚部为-1

2 ,则 ?1

? i
B.z 的实部为 1 D.z 的共轭复数为 1+i

2.已知集合 A ? {1, 2,3, 4,5} , B ? {( x, y) x ? A, y ? A, x ? y ? A};,则 B 中所含元素的个 数为 A.3 B.6 C.8 D.10
1

3.已知映射 f : A ? B ,其中 A ? B ? R ,对应法则 f : x ? y ?| x | 2 ,若对实数 k ? B , 在集合 A 中不存在元素 x 使得 f : x ? k ,则 k 的取值范围是 A. k ? 0 B. k ? 0 C. k ? 0 D. k ? 0

4.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时,xn+yn 能被 x+y 整除”的第二步是 A.假设 n=2k+1 时正确,再推 n=2k+3 时正确(k∈N+) B.假设 n=2k-1 时正确,再推 n=2k+1 时正确(k∈N+) C.假设 n=k 时正确,再推 n=k+1 时正确(k∈N+) D.假设 n≤k(k≥1)时正确,再推 n=k+2 时正确(k∈N+) 5.已知一个等差数列的前四项之和为 21 ,末四项之和为 67 ,前 n 项和为 286 ,则项 数 n 为( A.24 ) B.26 C.27 D.28

6.在航天员进行的一项太空实验中,要先后实施 6 个程序,其中程序 A 只能出现在第一步 或最后一步,程序 B, C 实施时必须相邻,请问实验顺序的编排方法共有( A. 24 种 B. 96 种 )

C. 120 种 7.如图给出的是计算 1 ?

D. 144种

1 1 1 的值的一个 ? ?? 3 5 2013

程序框图,则判断框内应填入的条件是 A. i ? 1006 B. i ? 1006 C. i ? 1007 D. i ? 1007 8.已知一个空间几何体的三视图如右图所示,根据图中 标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的体积是 A.4 cm B.5 cm3 C.6 cm3 D.7 cm3 9.已知函数 f ( x) ? cos x sin 2 x ,下列结论中错误的是 A. y ? f ( x) 的图像关于点 (? ,0) 中心对称 B. y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? C. f ( x ) 的最大值为

?
2

对称

3 2

D. f ( x ) 既是奇函数,又是周期函数
2 10 .已知直线 y ? 2 2 (x ? 1)与抛物线 C : y ? 4 x 交于 A, B 两点,点 M (?1, m) ,若

MA ? MB ? 0 ,则 m ?
A. 2 B.

2 2

C.

1 2

D.0

x2 y2 11.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0),若双曲线上存 a b 在点 P 使 a c = ,则该双曲线的离心率的取值范围是 sin∠PF1F2 sin∠PF2F1 B.(1, 3) C.( 3,+∞) D.( 2+1,+∞) 的 偶 函 数 g ( x) 分

A.(1, 2+1)

12. 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x) 和 定 义 在 别 满 足

? x x ? 0? 上

xx ? ? 2 2 ? ? 1(0 1(0? ?xx? ?1) 1) ? ? , g ( x) ? log 2 x( x ? 0) ,若存在实数 a ,使得 f (a ) ? g (b) ff((xx ))? ?? ?1 1 ?1) 1) ? ? ((xx? ? ?xx

成立,则实数 b 的取值范围是 A. ? ?2, 2? C. [?2, ? ] ? [ , 2] B. [? , 0) ? (0, ]
1 2 1 2

1 2

1 2

D. ? ??, ?2? ? ? 2, ?? ?

第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案写在答卷上)
13 .已知定义在 R 上的偶函数 f ( x ) 在 [0, ??) 单调递 增 , 且 f (1) ? 0 , 则 不等 式 f ( x ? 2) ? 0 的 解集 是 .

14.如图是一个样本的频率分布直方图 ,由图形中的数 据可以估计众数是_______.中位数是________. 15.圆心在直线 x-2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相 切,圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 3,则圆 C 的标准
(第 14 题)

方程为________________. 16.正四面体 ABCD 的棱长为 4,E 为棱 BC 的中点,过 E 作其外接球的截面,则截面面积的 最小值为__________。

三、解答题(本大题共 5 小题,满分 60 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演
算步骤。 ) 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) = 2cos(2 x + (1)求函数 f ( x) 的最小正周期和最大值; (2)设△ ABC 的三内角分别是 A 、 B 、 C .若 f ( ) =- ,且 AC =1, BC =3, 求 sinA 的值. )+ sin2 x

C 2

18. (本小题满分 12 分)大家知道,莫言是中国首位获得诺贝尔文学奖的文学家,国人欢欣鼓 舞。某高校文学社从男女生中各抽取 50 名同学调查对莫言作品的了程度,结果如下: 阅读过莫言的 作品数(篇) 男生 女生 0~25 3 4 26~50 6 8 51~75 11 13 76~100 18 15 101~130 12 10

(Ⅰ)试估计该学校学生阅读莫言作品超过 50 篇的概率。 (Ⅱ) 对莫言作品阅读超过 75 篇的则称为 “对莫言作品非常了解” , 否则为 “一般了解” , 根据题意完成下表, 并判断能否有 75% 的把握认为对莫言作品的非常了解与性别 有关? 非常了解 男 生 女 生 合 计 一般了解 合 计

19. (本小题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都是 2,又 AA1 平面 ABC,D、 E 分别是 AC、CC1 的中点. (1)求证:AE⊥平面 A1BD; (2)求二面角 D-BA1-A 的余弦值.

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

y 2 x2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆 2 a b 2 心, 椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切.A 、 B 是椭圆 C 的右顶点
与上顶点,直线 y ? kx(k ? 0) 与椭圆相交于 E 、 F 两点.
y B

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)当四边形 AEBF 面积取最大值时,求 k 的值.

F

O E

A

x

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (ax2 ? 2x ? 1) ? e? x (a ? R,e 为自然对数的底数) (Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在 [ ?1,1] 上单调递减 ,求 a 的取值范围. ..

四、选考题(从下列三道解答题中任选一题作答,作答时,请注明题号;若多做,则按首
做题计入总分) 。(本题满分 10 分) 22.选修 4-1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是边长为 a 的正方形,以 D 为圆心,DA 为半径的圆弧与以 BC 为直径的半圆 O 交于点 C、F,连接 CF 并延长交 AB 于点 E. (Ⅰ)求证:E 是 AB 的中点。 (Ⅱ)求线段 BF 的长.

23.选修 4-4:坐标系与参数方程

已知在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 ? 2 cos? ( ? 为参数) ? y ? ?4 ? 2 sin ?

(Ⅰ)以原点为极点、 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)已知 A(?2, 0), B(0, 2) ,圆 C 上任意一点 M ( x, y ) ,求 ? ABM 面积的最大值.

24.选修 4—5:不等式选讲 设不等式 ? 2 ? x ? 1 ? x ? 2 ? 0 的解集为 M , a, b ? M . (Ⅰ)求 M ; (Ⅱ)比较 1 ? 4ab 与 2 a ? b 的大小,并说明理由.

数 学(理科)
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分)
题号 答案 1 C 2 D 3 D 4 B 5 B 6 B 7 C 8 A 9 C 10 B 11 A 12 C

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
13.

(??,1] ? [3, ??)

14. 12.5; 13

15. (x-2)2+(y-1)2=4

16. 4

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17. 解:(1)∵ f ( x) =2cos(2x+ =-cos2x- =-cos2x ∴函数 f ( x) 的最小正周期T= 函数 f ( x) 的最大值是1; (2)∵ f ( x) =-cos2x, ∴ f ( ) = -cosC = - 可得:cosC = ∴sinC =
2

)+

sin2x sin2x ????????3分 ??????????4分 =π , ????????????5分 ??????????6分

sin2x+

C 2

??????????????7分 ??????????????8分


2 2

??????????????9分 =7

∴由余弦定理可得:AB =BC +AC -2×AC×BC×cosC=9+1-2× 即得AB= ∴由正弦定理:

??????????????10分

可得:sinA=





. ????????????12 分

18. 解: (Ⅰ)由抽样调查阅读莫言作品在 50 篇以上的频率为

11 ? 18 ? 12 ? 13 ? 15 ? 10 79 ? , 50 ? 50 100
据此估计该校学生阅读莫言作品超过 50 篇的概率约为 P ? (Ⅱ)

79 100

????5 分

???????????????????????? 8 分 根据列联表数据得

100? ?30? 25 ? 20? 25? K ? ? 1.010 ? 1.323, 50? 50? 55? 45
2 2

所以没有 75%的把握认为对莫言作品的非常了解与性别有关. ????12 分

19. (1)证明:以 DA 所在直线为 x 轴,过 D 作 AC 的垂线为 y 轴,DB 所在直线为 z 轴建立 空间直角坐标系,则 A(1,0,0) ,C(﹣1,0,0) ,E(﹣1,﹣1,0) , A1(1,﹣2,0) ,C1(﹣1,﹣2,0) ,B(0,0, ∴ ∴ ∴ 又 A1D 与 BD 相交 ∴AE⊥面 A1BD (2)解:设面 DA1B 的法向量为 取 =(2,1,0) ????????????????6 分 =(x1,y1,z1) ,则 , ??7 分 =(﹣2,﹣1,0) , =(﹣1,2,0) , )????????2 分 =(0,0,﹣ )??3 分

????????????????4 分 ????????????????5 分

??????????????????8 分 =(x2,y2,z2) ,

设面 AA1B 的法向量为

则 取 =(3,0, )



????????????????9 分 ????????????????10 分

∴cos







????11 分

故二面角 D﹣BA1﹣A 的余弦值为

??????????12 分

20. 解: (Ⅰ)由题意知: e ? ∴e ?
2

c 3 = a 2

????????????1 分

c2 a 2 ? b2 3 ? ? , 4 a2 a2
????????????????????????2 分

∴ a 2 ? 4b 2 .

又∵圆 x2 ? y 2 ? b2 与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切, ∴ b ? 1 ,∴ a 2 ? 4 , 故所求椭圆 C 的方程为 x ?
2

??????????????????4 分

y ?1 4

2

??????????????5 分

(Ⅱ)设 E( x1,kx1 ),F ( x2,kx2 ) ,其中 x1 ? x2 , 将 y ? kx 代入椭圆的方程 x ?
2

y2 ? 1 整理得: (k 2 ? 4) x2 ? 4 , ??6 分 4
????????????????7 分

故 x2 ? ? x1 ?

2 k ?4
2

.①

又点 E,F 到直线 AB 的距离分别为

h1 ?

2 x1 ? kx1 ? 2 5

?

2(2 ? k ? k 2 ? 4) 5(k 2 ? 4)



h2 ?

2 x2 ? kx2 ? 2 5

?

2(2 ? k ? k 2 ? 4) 5(k 2 ? 4)



AB ? 22 ? 1 ? 5

?????????????????? 9 分

所以四边形 AEBF 的面积为

S?

1 2(2 ? k ) 1 4(2 ? k ) AB (h1 ? h2 ) ? ? 5 ? ?????? 10 分 ? 2 2 2 2 k ? 4 5(k ? 4)

4 4k 4 ? k 2 ? 4k ? 2 1? ≤ 2 2 , ??11 分 ? 2 1? 2 ?2 2 4 k ?4 k ?4 k? k
2 当 k ? 4(k ? 0) ,即当 k ? 2 时,上式取等号.

所以当四边形 AEBF 面积的最大值时, k =2. 21. 解: (I)当 a ? 1 时, f ( x) ? ( x 2 ? 2x ? 1) ? e ? x ,

????????12 分

f ?( x) ? (2x ? 2) ? e ? x ? ( x 2 ? 2x ? 1) ? e ? x ? ?( x ? 1)(x ? 3) ? e ? x
分 当 x 变化时, f ( x ) , f ?( x) 的变化情况如下表:

?? 2

x
f ?( x)

(??, 1)
- 递减

1 0 极小值

(1, 3)
+ 递增

3 0 极大值

(3, ? ?)
- 递减

f ( x)

所以,当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 的极小值为 f (1) ? 0 ,极大值为 f (3) ? 4e ?3 ?4 分 (Ⅱ) f ?( x) ? (2ax ? 2) ? e ? x ? (ax2 ? 2x ? 1) ? e ? x ? ?e ? x [ax2 ? 2ax ? 2x ? 3] ?5 分 令 g ( x) ? ax2 ? 2(a ? 1) x ? 3 ???????????6 分

, 1) 内, g ( x) ? 0 , ① 若 a ? 0 ,则 g ( x) ? ?2 x ? 3 ,在 (?1

, 1] 上单调递减;????????7 分 即 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在区间 [ ?1
② 若 a ? 0 ,则 g ( x) ? ax2 ? 2(a ? 1) x ? 3 , 其图象是开口向上的抛物线,对称轴为 x ?

a ?1 ? 1, a

, 1) 内 g ? x ? ? 0 , f ' ? x ? ? 0 , 当且仅当 g (1) ? 0 ,即 0 ? a ? 1 时,在 (?1 , 1] 上单调递减; ??????????????9 分 函数 f ( x ) 在区间 [ ?1
③ 若 a ? 0 ,则 g ( x) ? ax2 ? 2(a ? 1) x ? 3 , 其图象是开口向下的抛物线,当且仅当 ? 即?

? g (?1) ? 0 , ? g (1) ? 0

5 , 1) 内 g ? x ? ? 0 , f ' ? x ? ? 0 , ? a ? 0 时,在 (?1 3
????????????11 分

, 1] 上单调递减. 函数 f ( x ) 在区间 [ ?1

, 1] 上单调递减时, 综上所述,函数 f ( x ) 在区间 [ ?1
5 ? ? a 的取值范围是?a ? ? a ? 1? 3 ? ?
????????????12 分

四、选考题(10 分).
22. (Ⅰ) 证明:由以 D 为圆心 DA 为半径作圆,而 ABCD 为正方形,∴EA 为圆 D 的切线,

依据切割线定理, 得 EA =EF?EC ????????????????2 分 另外圆 O 以 BC 为直径,∴EB 是圆 O 的切线, 同样依据切割线定理得 EB =EF?EC 故 AE=EB,故 E 是 AB 中点 .
2

2

??????????????4 分 ??????????????5 分

(Ⅱ)解:连接 BF,∵∠BEF=∠CEB,∠ABC=∠EFB ∴△FEB∽△BEC,得

BF CB , ? BE CE

∵ABCD 是边长为 a 的正方形, 所以 BF =

5 a 5

? ? ? ? 10 分

23. 解: (Ⅰ)圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 ? 2 cos? ( ? 为参数) ? y ? ?4 ? 2 sin ?
2 2

所以普通方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4

????????????2 分

? 圆 C 的极坐标方程: ? 2 ? 6? cos? ? 8? sin ? ? 21 ? 0 ?????5 分
(Ⅱ)点 M ( x, y ) 到直线 AB x ? y ? 2 ? 0 的距离为

d?

| 2 cos? ? 2 sin ? ? 9 | 2

????????????????7 分

?ABM 的面积 S ?

1 ? ? | AB | ?d ?| 2 cos ? ? 2 sin ? ? 9 |?| 2 2 sin( ? ? ) ? 9 | 2 4
??????????9 分

S?

1 ? ? | AB | ?d ?| 2 cos ? ? 2 sin ? ? 9 |?| 2 2 sin( ? ? ) ? 9 | 2 4
所以 ? ABM 面积的最大值为 9 ? 2 2

????????????10 分

?3, x ? ?2 ? 24. 解: (Ⅰ)记 f (x)=|x-1|-|x+2|= ? ?2 x ? 1, ?2 ? x ? 1 ? ?3, x ? 1 ?
由-2<-2x-1<0 解得-

????3 分

??????????????4 分 ??????????????5 分

1 1 <x< , 2 2

则 M=(-

1 1 , ). 2 2

??????????????6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 a <
2

2

1 1 2 ,b < . 4 4
2

?????????????7 分
2 2 2 2

因为|1-4ab| -4|a-b| =(1-8ab+16a b )-4(a -2ab+b ) ?8 分 =(4a -1)(4b -1)>0, 所以|1-4ab| >4|a-b| ,故|1-4ab|>2|a-b|.
2 2 2 2

????9 分 ????10 分


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