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【步步高】2014-2015学年高中数学 第一章 §1.2应用举例(一)导学案新人教A版必修5


§1.2 应用举例(一)
课时目标 1.了解数学建模的思想; 2.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离的问题. 1.基线的定义:在测量上,我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线.一般来说, 基线越长,测量的精确度越高.

2.方位角:指从正北方向线按顺时针方向旋转到目标方向线所成的水平角.如图中的

A 点的方位角为 α .
3.计算不可直接测量的两点间的距离是正弦定理和余弦定理的重要应用之一.

一、选择题 1.若点 P 在点 Q 的北偏西 45°10′方向上,则点 Q 在点 P 的( ) A.南偏西 45°10′ B.南偏西 44°50′ C.南偏东 45°10′ D.南偏东 44°50′ 答案 C 2.已知两灯塔 A 和 B 与海洋观测站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观测站 C 的北偏东 20°方向上,灯塔 B 在观测站 C 的南偏东 40°方向上,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( ) A.a km B. 3a km C. 2a km D.2a km 答案 B 解析 ∠ACB=120°,AC=BC=a, ∴由余弦定理得 AB= 3a. 3.海上有 A、B 两个小岛相距 10 n mile,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60°的视角,从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75°的视角,则 B、C 间的距离是( ) 10 6 A.10 3 n mile B. n mile 3 C.5 2 n mile D.5 6 n mile 答案 D 解析 在△ABC 中,∠C=180°-60°-75°=45°. 由正弦定理得: = sin A sin B BC 10 ∴ = sin 60° sin 45° 解得 BC=5 6. 4.如图所示,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧,在 A 所在的河岸边选定 一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算 A、B 两点的 距离为( )

BC

AB

1

A.50 2 m C.25 2 m 答案 解析 A

B.50 3 m D. 25 2 m 2

由题意知∠ABC=30°,由正弦定理 = , sin∠ABC sin∠ACB

AC

AB

=50 2 (m). 1 2 5.如图,一货轮航行到 M 处,测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15°,与灯塔 S 相距 20 海 里, 随后货轮按北偏西 30°的方向航行 30 分钟后到达 N 处, 又测得灯塔在货轮的东北方向, 则货轮的速度为( )

∴AB=

AC·sin∠ACB = sin∠ABC

50×

2 2

A.20( 6+ 2) 海里/小时 B.20( 6- 2) 海里/小时 C.20( 6+ 3) 海里/小时 D.20( 6- 3) 海里/小时 答案 B 解析 由题意, ∠SMN=45°,∠SNM=105°,∠NSM=30°. 由正弦定理得 = . sin 30° sin 105° MSsin 30° 10 ∴MN= = =10( 6- 2). sin 105° 6+ 2 4 则 v 货=20( 6- 2) 海里/小时. 6.甲船在岛 B 的正南 A 处,AB=10 千米,甲船以每小时 4 千米的速度向正北航行,同 时,乙船自 B 出发以每小时 6 千米的速度向北偏东 60°的方向驶去.当甲、乙两船相距最 近时,它们所航行的时间是( ) 150 15 A. 分钟 B. 小时 7 7 C.21.5 分钟 D.2.15 分钟 答案 A 解析 设行驶 x 小时后甲到点 C,乙到点 D,两船相距 y km, 则∠DBC=180°-60°=120°. ∴y2 =(10-4x)2 +(6x)2 -2(10-4x)·6xcos 120° =28x2 -20x+100 5 2 ? 5 ?2 -25+100 =28(x - x)+100=28 x- 7 ? 14? 7

MN

MS

2

5 150 (小时)= (分钟)时, 14 7 y2 有最小值.∴y 最小. 二、填空题 7.如图,A、B 两点间的距离为________. ∴当 x=

答案 3 2- 2 8.如图,A、N 两点之间的距离为________.

答案 40 3 9.如图所示,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点 A、B,望对岸标记物 C,测得 ∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m,则河的宽度为______.

答案 60 m 解析 在△ABC 中,∠CAB=30°,∠CBA=75°, ∴∠ACB=75°.∠ACB=∠ABC.∴AC=AB=120 m. 作 CD⊥AB,垂足为 D,则 CD 即为河的宽度. 由正弦定理得 = , sin∠ADC sin∠CAD 120 CD ∴ = , sin 90° sin 30° ∴CD=60(m) ∴河的宽度为 60 m. 10.太湖中有一小岛,沿太湖有一条正南方向的公路,一辆汽车测得小岛在公路的南偏 西 15°的方向上,汽车行驶 1 km 后,又测得小岛在南偏西 75°的方向上,则小岛到公路的 距离是________ km. 答案 解析 3 6

AC

CD

如图,∠CAB=15°,∠CBA=180°-75°=105°, ∠ACB=180°-105°-15°=60°,AB=1 km. 由正弦定理得
3

BC
sin∠CAB

sin∠ACB 1 6- 2 ∴BC= ·sin 15°= (km). sin 60° 2 3 设 C 到直线 AB 的距离为 d, 6- 2 6+ 2 3 则 d=BC·sin 75°= · = (km). 4 6 2 3 三、解答题 11.如图,某货轮在 A 处看灯塔 B 在货轮的北偏东 75°,距离为 12 6 n mile,在 A 处看灯塔 C 在货轮的北偏西 30°,距离为 8 3 n mile,货轮由 A 处向正北航行到 D 处时, 再看灯塔 B 在北偏东 120°方向上,求:



AB

(1)A 处与 D 处的距离; (2)灯塔 C 与 D 处的距离. 解 12 6× (1) 在△ ABD 中,∠ ADB =60°,∠ B =45°,由正弦定理得 AD = 2 2

ABsin B = sin ∠ADB

=24(n mile). 3 2 (2)在△ADC 中,由余弦定理得 CD2 =AD2 +AC2 -2AD·AC·cos 30°, 解得 CD=8 3≈14(n mile). 即 A 处与 D 处的距离为 24 n mile, 灯塔 C 与 D 处的距离约为 14 n mile. 12.如图,为测量河对岸 A、B 两点的距离,在河的这边测出 CD 的长为 ∠CDB=30°,∠ACD=60°,∠ACB=45°,求 A、B 两点间的距离. 3 km,∠ADB= 2



在△BDC 中,∠CBD=180°-30°-105°=45°,

由正弦定理得 = , sin 30° sin 45° 6 (km). sin 45° 4 在△ACD 中,∠CAD=180°-60°-60°=60°, 则 BC= = ∴△ACD 为正三角形.∴AC=CD= 3 (km). 2

BC

CD

CDsin 30°

在△ABC 中,由余弦定理得 AB2 =AC2 +BC2 -2AC·BC·cos 45°
4

3 6 3 6 2 3 = + -2× × × = , 4 16 2 4 2 8 6 ∴AB= (km). 4 6 答 河对岸 A、B 两点间距离为 km. 4 能力提升 13. 台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动, 离台风中心 30 千米内的 地区为危险区,城市 B 在 A 的正东 40 千米处,B 城市处于危险区内的持续时间为( ) A.0.5 小时 B.1 小时 C.1.5 小时 D.2 小时 答案 B 解析 设 t 小时时,B 市恰好处于危险区,则由余弦定理得: 2 2 2 (20t) +40 -2×20t×40·cos 45°=30 . 化简得:4t2 -8 2t+7=0, 7 ∴t1 +t2 =2 2,t1 ·t2 = . 4 从而|t1 -t2 |=

t1 +t2

2

-4t1 t2 =1.

14.如图所示,甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速 直线航行.当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105°方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里.当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120°方向的 B2 处,此 时两船相距 10 2海里.问乙船每小时航行多少海里?

解 如图所示,连结 A1 B2 , 由已知 A2 B2 =10 2, 20 A1 A2 =30 2× =10 2,∴A1 A2 =A2 B2 , 60 又∠A1 A2 B2 =180°-120°=60°, ∴△A1 A2 B2 是等边三角形, ∴A1 B2 =A1 A2 =10 2. 由已知,A1 B1 =20,∠B1 A1 B2 =105°-60°=45°,

在△A1 B2 B1 中,由余弦定理,
5

2 B1 B22=A1 B2 1 +A1 B2 -2A1 B1 ·A1 B2 ·cos 45°

=202 +(10 2)2 -2×20×10 2× =200. ∴B1 B2 =10 2. 因此,乙船速度的大小为 10 2 ×60=30 2(海里/小时). 20 答 乙船每小时航行 30 2海里.

2 2

1.解三角形应用问题的基本思路是: 画图 解三角形 检验 实际问题― ― → 数学问题 ― ― → 数学问题的解― ― → 实际问题的解. 2. 测量距离问题: 这类问题的情境一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”. 在 测量过程中,要根据实际需要选取合适的基线长度,测量工具要有较高的精确度.

6


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