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§2.1.2指数函数及其性质


§2.1.2 指数函数及其性质
教学目标
1、知识与技能 (1) 了解指数函数模型的实际背景,理解指数函数的概念和意义。 (2) 根据图象理解和掌握函数的性质,会运用指数函数解决简单的实际 问题。 2、过程与方法 x 以底数变换为工具,探究、掌握函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 的图象与函数 ?x y ? ?1 的图象的关系,进而在探究的过程中理解并掌握函数 a (a ? 0, 且a ? 1) x 1 x 与函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) ? (a ? 0, 且a ? 1) 的图象之间的变换关系。 y ? ?a 3、情感、态度与价值观 在自主探究知识的产生与发展过程中形成主动学习的情感与态度, 体会数形 结合的价值。

教学重点与难点
教学重点:指数函数的定义、图象及性质。 教学难点:根据这一节课的内容特点以及学生的实际情况,学生对抽象的指 数函数及其图像缺乏感性认识。因此,本节课的难点是指数函数图像和性质的发 现过程。

教学过程
一 、温故知新 (1)问题 2 当生物死亡后,它机体内原有 的碳 14 会按确定的规律衰减, 大约每经过 5730 年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”。根据此规律, 人们获得了生物体内碳 14 含量 P 与死亡年数 t 之间的关系
5730 P ? ?1 2? t

思考: P 是时间 t 的函数吗? 解答: t 5 7 3 0 都是有意义的。 对于任意的 t ? 0 , P? 1 2 对每一个时间 t ,都有唯一确定的 P 与它对应。因此,死亡生物体内碳 14 的含 量P 是时间t 的函数。 t 5730 (2)问题 2 中函数 P ? ? 1 ?t ? 0? 的解析式与问题 1 中函数的解析式 2? y ? 1.073x x ? N * , x ? 20 有什么共同特征? 解答: a、底数都大于 0; b、自变量在指数位置。 c、每给自变量 x 一个值, y 都有唯一确定的值和它对应。

??

?

?

引导:

如果用字母 ,那么以上两个函数的解析式都可以表 示为 y ? a x 的形式,其中自变量 x 是指数,底数 a 是一个大于 0 且不等于 1 的常量。 二、新知探究 1、指数函数的定义: 函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数定义域是 R. 让学生回家思考:为什么要规定 a>0,且 a ? 1? x 的图像 2、用描点法分别画出函数 y ? 2 x 和 y ? ( 1 2) (1) y ? 2 x

a 代替数 1.073 和

?1 2?

1 5730

x
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y
0.25 0.35 0.50 0.71 1.00 1.41 2.00 2.83 4.00 表 2-1

x 图 2.1-2 (2) y ? ( 1 ) x 2

x
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

y
4 2.83 2 1.41 1 0.71 0.5

1.5 2 表 2-2

0.35 0.25

x 图 2.1-3 4、 观察比较两个函数图像的关系 对比表 2-1 和表 2-2,并将两幅图画在同一张坐标图上,可得

x 由此可知,y ? 2 和 y ? ( 1 2 ) 的图像是对称的。根据这种对称性就可以利用
x

x

x y ? 2 x 的图像画出 y ? ( 1 2 ) 的图像。 3、探究指数函数的性质

通过选取不同的底数 a , 观察图像可得指数函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图像 和性质如下表所示。

0< a <1 图

a >1



定 义 域

R

值 域

(0,+ ? )



(1)过定点(0,1) ,即 x =0 时, y =1 (2)在 R 上是增函数

质 (2)在 R 上是减函数 三、即时体验 例 6

已知指数函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 的图像经过点( 3 , ? ) ,求

f (0), f (1), f (?3) 的值。
解:因为 f ( x) ? a 的图像经过点(3,?) ,所以??
x

f (3) ? ?

即 a 3 ??,于是? ?????????????????????????????????????????????
0

f ( x) ? ?
1

x 3

?
?1 1 ?? 。

3 所以, f (0) ? ? ? 1, f (1) ? ? 3 ? ? , f (?3) ? ?

例7

比较下列各题中两个值的大小:

?1? 1.7 2.5 , 1.7 3 ;

?2? 0.8?0.1 , 0.8?0.2 ;

?3? 1.7 0.3 , 0.9 3.1

解:利用函数单调性

?1? 1.7 2.5 与 1.7 3 的底数是 1.7,它们可以看成函数

y= 1.7 x ,当 x=2.5 和 3 时

1.7 2.5 的函数值; 因为 1.7>1, 所以函数 y= 1.7 x 在 R 是增函数, 而 2.5<3, 所以,

< 1.7 3 ;

?2? 0.8?0.1 与 0.8?0.2 可以看作函数

y= 0.8 x 的两个函数值; 因为底数 0<0.8<1,

所以函数 y= 0.8 x 在 R 上是减函数,而-0.1>-0.2,所以, 0.8 ?0.1 < 0.8 ?0.2 ;

?3? 1.7 2.5 , 0.9 3.1 不能看作同一个指数函数的两个函数值,可以

先在这两个数值

中间找一个数值, 将这一个数值与原来两个数值分别比较大小,然后确定原来两 个数值的大小关系。 由指数函数的性质知
1.7 0.3 > 1.7 0 =1, 0.9 3.1 < 0.9 0 =1,

所以 1.7 0.3 > 0.9 3.1 . 解题小结: 对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性,必须要明确所给的 两个值是哪个指数函数的两个函数值; 对不同底数是幂的大小的比较可以与中间 值进行比较。 四、课堂小结 x 1、指数函数的定义:函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数,其中 x 是自 变量,函数的定义域是 R 。 2、指数函数的性质:定义域、值域、过定点、单调性。 五、课后延续 (一)回顾本课的学习过程,整理学习笔记。 (二)完成书面作业:P59 习题 2.1 A 组第 5、6 题。 ?


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