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2007年广西高二数学竞赛初赛试卷(含详细答案,9月23日)


归海木心

qq:634102564

2007 年广西高二数学竞赛初赛试卷
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1、已知 x ∈ R, y ∈ R + ,集合 A = {x + x + 1,? x,? x ? 1}, B = {? y ,?
2

y , y + 1} ,若 A=B, 2

r />
则 x + y 的值是(
2 2

) (C)25 (D)10

(A)5

(B)4

2、 已知 α , β满足 csc(α ? 2 β ) 、 α 、 csc csc(α + 2 β ) 构成公差不为 0 的等差数列, 则 的值为( (A) ± 1 ) (B) ±

sin α cos β

2

(C) ± 3

(D) ± 2

3、过点 ( 2007 ,0) 的所有直线中,过两个有理点(纵坐标与横坐标都是有理数的点)的直 线条数是( (A)0 条 ) (B)无数条 (C)至少 1 条 (D)有且仅有 1 条

1 4、等比数列{an}中,首项 a1 = 2007 ,公比 q = ? ,记 Tn 为它的前 n 项之积,则 Tn 最大 2
时,n 的值为( (A)9 ) (B)11 (C)12 (D)13 )

5、关于 x、y 的方程 (A)16

1 1 1 1 + + = 的正整数解(x,y)的个数为( x y xy 2007
(C)32 (D)48 y 1 O 。
→ →

(B)24

6、二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象的一部分如图,则 a 的取 值范围是( ) (A) ? 1 ≤ a < 0 (B) a > ?1 (C) ? 1 < a < 0 (D) a ≤ ?1 二、填空题(每小题 9 分,共 54 分) 1、化简: arc cot 2 + arctan

1

x

1 = 3

2、设△ABC 的三边长分别是 a、b、c,外心、垂心分别为 O、H。那么 OA+ OB + OC ? OH = 。





3、 已知函数 f ( x ) = x 2 + ( a + 1) x + b 满足: 1)f (3) = 3 ; 2) ( ( 对任何实数 x 都有 f ( x ) ≥ x , 则 f ( x ) 的解析式为
4 2 2

。 。

4、 k ∈ R ,方程 x ? 2kx + k + 2k ? 3 = 0 的实数 x 的取值范围是

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5、已知长方体的三条面对角线的长分别为 5,4,x,则 x 的取值范围为 。 6、记 a,b 的代数式为 f(a,b) ,它满足: (1)f(a,a)=a; (2)f(ka,kb)=kf(a,b) ; (4) f ( a, b) = f (b, (3) f ( a1 + a 2 , b1 + b2 ) = f ( a1 , b1 ) + f ( a 2 , b2 ) ; 则 f (a, b) = 。

a+b ), 2

三、 (20 分)四边形 ABCD 中,∠ABC=∠BAC=80°,∠DBC=40°,∠DCB=30°,求证: AD∥BC。 D A

B

C

四、 (20 分)已知数列{an} 通项 an=n,其前 n 项和为 Sn,若 Sn 为完全平方数,求 n。

五、 (20 分)已知函数 f ( x ) = ?

1 2 x + x ,若 f (x) 的定义域为[m,n](m<n)时,值域为 2

[km,kn](k>1) ,求 m、n、k 所满足的条件。

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2007 年广西高二数学竞赛初赛试卷参考答案
一、选择题 1、 由 x 2 + x + 1 > 0, x 2 + x + 1 ≥ ? x 及集合元素的互异性, x + x + 1 > ? x > ? x ? 1 , A. 知
2

+ 又 y ∈ R ,知 y + 1 > ?

y > ? y ,因此由 A=B,必有 2

?x 2 + x + 1 = y + 1 ? y ? 2 2 解得 x = 1, y = 2. 故 x + y = 5 ? ?x=? 2 ? ? ? x ?1 = ? y ?
2、B.由已知有

2 1 1 = + , sin α sin(α ? 2 β ) sin(α + 2 β )

故 2 sin(α ? 2 β ) ? sin(α + 2 β ) = [sin(α ? 2 β ) + sin(α + 2 β )] sin α , 即 2 sin(α ? 2 β ) ? sin(α + 2 β ) = 2 sin 2 α ? cos 2 β ,∴ cos 4 β ? cos 2α = 2 sin 2 α ? cos 2 β

∴ cos 2 2 β ? cos 2 α = sin 2 α ? cos 2 β = sin 2 α ? 2 sin 2 β ? sin 2 α ,
即 sin 2 2 β = 2 sin 2 β ? sin 2 α ,若 sin β = 0 ,则原等差数列的公差等于 0,故 sin β ≠ 0 , 有 2 cos 2 β = sin 2 α ,于是 3、D.显然直线 x =

sin α =± 2 cos β

2007 上不存在有理点。假设斜率为 k 的直线 y = k ( x ? 2007 ) 上存

在 两 个 不 同 的 有 理 点 ( x1 , y1 )和( x 2 , y 2 ) 。 若 k ≠ 0, 则k =

y 2 ? y1 必为有理数。由 x 2 ? x1

y1 = k ( x1 ? 2007 ) 可得 x1 ?

y1 = 2007 ,此时等式左边是有理数而右边是无理数,矛 k
n ( n ?1) 2

盾。另外当 k=0 时,对应的直线为 OX 轴,所以满足条件的直线有且仅有 1 条。 4、C.由已知得 Tn = a1 a 2 a3 ? ? ? ? ? ?a n = a1 q
n 1+ 2 + 3+ ???+ ( n ?1)

= a1 q
n

,因此, Tn 最大时,

n(n ? 1) 2007 3 为偶数,于是 n ≠ 11 ;其次 T9 > 0 ,而 a10 a11 a12 = ( ) > 1 ,所以 T12 > T9 , 2 1024 2007 而 a13 = 12 < 1 ,故 T12 > T13 ,即 T12 最大。 2

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5、D.由

1 1 1 1 得 xy ? 2007 x ? 2007 y ? 2007 = 0 ,整理得 + + = x y xy 2007

( x ? 2007)( y ? 2007) = 2007 × 2008 = 2 3 × 3 2 × 223 × 251 ,从而,原方程的正整数解有 (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 48 (组)
6、C.由图象可知 a<0 且过点(0,1)和(1,0),由二次函数的对称性知,当 x=-1 时 y>0,于是高

y = a ( x ? 1)( x + k )(k > 0) , 即 y = ax 2 + a (k ? 1) x ? ak . 将 (0,1) 代 入 得 ak = ?1 ; 将
x = ?1, y > 0 代入得 a + (1 + a ) + 1 > 0 ,即 a > ?1 ,所以 ? 1 < a < 0
二、填空题 1、答:

π
4


。利用反三角求值或构造三个正方形也可求解。 O B
→ → → → → →

A D H C

2、答: 0 。如图,作直径 BD,因 AD⊥AB, ∴AD∥CH。同理 AH∥CD 于是四边形 AHCD 是平行四边形。
→ → → → →

所以 OH = OA+ AH = OA+ DC = OA+ (OC ? OD ) = OA+ OB + OC ∴ OA+ OB + OC ? OH = 0 。 也可根据特殊值法,令△ABC 为等边三角形得答案。 3、答: x ? 5 x + 9 ,解:令 g ( x ) = f ( x ) ? x ,则由已知得 g (3) = f (3) ? 3 = 0, g ( x ) ≥ 0 ,
2











∴ g ( x) = ( x ? 3) 2 . ∴ f ( x) = g ( x) + x = x 2 ? 5 x + 9 。
4、 答:?

2 ≤ x ≤ 2 。 把原方程化为关于 k 的方程为:k 2 + 2(1 ? x 2 )k + x 4 ? 3 = 0 , 解: 2≤x≤ 2

∵ k ∈ R ,∴△≥0,即 4(1 ? x 2 ) 2 ? 4( x 4 ? 3) ≥ 0 ,解得 ? 5、答: 3 < x <

41 。解:如图,设 AD=a,AB=b, A1 A = c ,则有
D1 A1 c a D B1 C C1

?a 2 + c 2 = 4 2 2 2 2 2 2 从而, x = a + b = 4 + 5 ? 2c , ? 2 2 2 ?b + c = 5
故 3< x <

41 。

1 2 6、答: a + b 。解:由题设得 f ( a,0) + f (0, a ) = f (a, a ) = a ; A b B 3 3 a 1 2 2 f (a,0) = f (0, ) = f (0, a ) ; 相 减 得 f (0, a ) = a,∴ f (0, b) = b , 从 而 2 2 3 3

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f ( a ,0 ) =

1 a 3

,则 f ( a, b) = f ( a,0) + f (0, b) =

1 2 a+ b。 3 3

三、 (20 分)证明:作正△ACE,连接 BE,∵∠ABC=∠BAC,∴CA=CB=CE,即点 C 是 △ABE 的外心, A D ∴ ∠BAE =

1 ∠BCE = 20 , 2
B C

∴ ∠BCE = 40 = ∠DBC ,∴ BD // CE 又∵ ∠BEA =

1 ∠ACE = 10 = ∠DCA , 2 ∴ ∠BEC = ∠DCE ,即 BECD 是等腰梯形,∴BE=CD, ∴ ?AEB ? ?ACD
∴AB=AD,∠DAC=∠BAE=20°,即∠BAD=80°+20°=100°, ∴∠ADB=∠ABD=40°=∠DBC。 (或∠DAB+∠ABC=180°) ∴AD∥BC 四、 (20 分)解:依题意得: S n =

E

n(n + 1) = y 2 ,即 (2n + 1) 2 ? 8 y 2 = 1(n, y ∈ N + ). 2

于是,问题转化为求方程 x 2 ? 8 y 2 = 1 的整数解, 显然, (3,1)是方程 x 2 ? 8 y 2 = 1 的一组整数解。 ∵ x 2 ? 8 y 2 = ( x + 8 y )( x ? 8 y ) 于是构造 x + 8 y = (3 + 8 ) m , m ∈ N + , 则x ? 8 y = (3 ? 8 ) m , ∴x =

1 1 [(3 + 8 ) m + (3 ? 8 ) m ],即2n + 1 = [(3 + 8 ) m + (3 ? 8 ) m ] , 2 2 1 2m 2m + 所以 n = [(1 + 2 ) + ( 2 ? 1) ? 2], m ∈ N 。 4

另外:问题转化为求贝尔方程 x 2 ? 8 y 2 = 1 的整数解, 于是构造 x + 8 y = (3 + 8 ) m , m ∈ N + , 则x ? 8 y = (3 ? 8 ) m ,

1 1 [(3 + 8 ) m + (3 ? 8 ) m ],即2n + 1 = [(3 + 8 ) m + (3 ? 8 ) m ] , 2 2 1 2m 2m + 所以 n = [(1 + 2 ) + ( 2 ? 1) ? 2], m ∈ N 4 1 2 1 1 1 2 五、 (20 分)解:由 f ( x ) = ? x + x = ? ( x ? 1) + ≤ , 2 2 2 2 1 知[km,kn] ? (?∞, ] 。 2 1 1 1 ,因为 k>1,所以 故 knm ≤ ,即 n ≤ <1 2 2k 2k
∴x =
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从而, f (x ) 在[m,n]上为增函数,于是,有

1 ? 1 2 ? ?? 2 m + m = km ?m = 0或 ? 2 m + 1 = k 即? 解得 ? 1 1 ? ? n 2 + n = kn ? n = 0或 ? n + 1 = k 2 ? 2 ? 1 又因为 m<n,且 k>1,则有 ? m + 1 = k , 且n = 0 2
? f (m) = km ? ? f (n) = kn
故 m = 2(1 ? k ), n = 0 为所求。

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