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2015届文科数学立体几何大题训练


2015 届文科数学立体几何大题训练
1. 如图,三棱锥 A—BPC 中,AP⊥PC,AC⊥BC,M 为 AB 中点,D 为 PB 中点,且△PMB 为正三 角形. (Ⅰ)求证:DM//平面 APC; (Ⅱ)求 证:平面 ABC⊥平面 APC; (Ⅲ)若 BC=4,AB=20,求三棱锥 D—BCM 的体积.

B C D 为正方形,E 为侧棱 PD 2. 如图 1, 在四棱锥 P ? ABCD 中,PA ? 底面 ABCD , 面A 上一点, F 为 AB 上一点.该四棱锥的正(主)视图和侧(左)视图如图 2 所示. (Ⅰ)求四面体 PBFC 的体积; (Ⅱ)证明: AE ∥平面 PFC ; (Ⅲ)证明:平面 PFC ? 平面 PCD .

, F 是 DC 上的点且 3.如图,四棱柱 P ? ABCD 中, AB ? 平面PAD. AB / / CD, PD? AD
1 AB, PH 为 ?PAD 中 AD 边上的高. 2 (Ⅰ)求证: AB / / 平面 PDC ; DF ?
(Ⅱ)求证: PH ? BC ; (Ⅲ)线段 PB 上是否存在点 E ,使 EF ? 平面 PAB ?说明理由.

P F D H A


C

B
为 的中点。

4.如图,在四棱锥

中,底面
1

为菱形,

(1)若 (2)点

,求证:平面 在线段 ; 上,

; ,试确定 的值,使

F 为 CD 边的中点,AB ? AE ? 5. . 如图,E 是矩形 ABCD 中 AD 边上的点,
现将 ?ABE 沿 BE 边折至 ?PBE 位置,且平面 PBE ? 平面 BCDE . ⑴ 求证:平面 PBE ? 平面 PEF ; ⑵ 求四棱锥 P ? BEFC 的体积.
A E D F B (1) C B

2 AD ? 4 , 3
P

E

D F

C (2)

6. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD , ?ABC ? ?BCD ? 90 ,
?

2

PA ? PD ? DC ? CB ? a , AB ? 2a , E 是 PB 中点, H 是 AD 中点.
(Ⅰ)求证:EC / / 平面 APD ; (Ⅱ) 求三棱锥 E ? BCD 的体积.

7. 如图,在三棱锥 S ? ABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形, ?BAC ? 90° , O 为 BC 中点.

S

(Ⅰ)证明: SO ? 平面 ABC ; (Ⅱ)求异面直线 BS 与 AC 所成角的大小.

O
B A

C

8. 如图,已知 AB ? 平面 ACD,DE∥AB,△ACD 是正三角形, AD ? DE ? 2 AB ,且 F 是 CD 的中点. (Ⅰ)求证 AF∥平面 BCE; (Ⅱ)设 AB=1,求多面体 ABCDE 的体积.

9.如图, E 是矩形 ABCD 中 AD 边上的点, F 为 CD 边的中点, AB ? AE ? 现将 ?ABE 沿 BE 边折至 ?PBE 位置,且平面
3
A E D F B (1) C B (2) P

2 AD ? 4 , 3

E

D F

C

PBE ? 平面 BCDE .
⑴ 求证:平面 PBE ? 平面 PEF ; ⑵ 求四棱锥 P ? BEFC 的体积.

10. 右图为一组合体,其底面

ABCD 为正方形, PD ? 平面 ABCD , EC // PD ,且

PD ? AD ? 2 EC ? 2 (Ⅰ)求证: BE // 平面 PDA ; (Ⅱ)求四棱锥 B ? CEPD 的体积;
(Ⅲ)求该组合体的表面积.

11. 四棱锥 S ? ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形, 侧面 SBC ? 底面 ABCD ,E 为 SD

,BC ? 2 2 , SB ? SC ? 3. 的中点,已知 ?ABC ? 45 ,AB ? 2
?

4

(Ⅰ)求证: SA ? BC ; (Ⅱ) 在 BC 上求一点 F , 使 EC / / 平面 SAF ; (Ⅲ)求三棱锥 D ? EAC 的体积.

ABC 上的射 12. 在三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,底面是边长为 2 3 的正三角形,点 A 1 在底面
影 O 恰是 BC 中点. (Ⅰ)求证: AA1 ? BC ; (Ⅱ)当侧棱 AA1 和底面成 45? 角时, 求 VA?BB1C1C (Ⅲ)若 D 为侧棱 AA1 上一点,当

A1 D 为何值时, DA

BD ? AC 1 1.

?ACB ? 90? , 13. 如图, 已知三棱锥 P ? ABC , CB ? 4, AB ? 20, D 为 AB 中点, M 为 PB 中
点,且 ?PDB 是正三角形, PA ? PC . M (1)求证:平面 PAC ? 平面 ABC ; (2)求三棱锥 M ? BCD 的体积. A
5

P

C D B

14.在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA=AD=4,AB=2,PB=2 5 ,PD=4 2 ,E 是 PD 的中点(1)求证:AE⊥平面 PCD; (2)若 F 是线段 BC 的中点,求三棱锥 F-ACE 的体积。

15. 如图,在正四棱锥 P ? ABCD 中,底面是边长为 2 的正方形,侧棱 PA ? 6 , E 为 BC 的中点, F 是侧棱 PD 上的一动点。 (1)证明: AC ? BF ; (2) 当直线 PE // 平面ACF 时, 求三棱锥 F ? ACD 的体积.

16. 如图 ,在 直三 棱柱 ( 即 侧 棱与 底面 垂直 的三棱 柱 )

ABC ? A1B1C1 中,?ACB ? 90? , 2 AC ? AA1 ? BC ? 2 ,

D



AA1 的中点 .

6

(I)求证:平面 B1CD ? 平面 B1C1D ; (II)求 C1 到平面 B1CD 的距离.

17.如图,斜三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中,侧面 AA1C1C ? 底面 ABC,底面 ABC 是边长为 2 的等

?A1 AC ? 60 , 边三角形, 侧面 AA1C1C 是菱形, E、 F 分别是 A1C1 、
AB 的中点. 求证: (1) EC ? 平面ABC ; (2)求三棱锥 A1 ? EFC 的体积. A F B
第 18 题图

?

A1

E B1

C1

C

18. 如图所示, 四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形, E 是 CD 的中点, ? BCD=60 , PA ? 底面 ABCD,PA=2. (1)证明:平面 PBE ? 平面 PAB; (2)求 PC 与平面 PAB 所成角的余弦值。

?

19.如图,斜三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中,侧面 AA1C1C ? 底面

A1

E B1

C1

?A1 AC ? 60? , ABC, 侧面 AA1C1C 是菱形, E、 F 分别是 A1C1 、
7

A F B

C

AB 的中点.
求证: (1)EF∥平面 BB1C1C ; (2)平面 CEF⊥平面 ABC

20.已知△BCD 中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面 BCD,∠ADB=60°,E、F 分别是 AC、AD 上的动点,且

AE AF ? ? ? , (0 ? ? ? 1) AC AD
(Ⅰ)求证:不论λ 为何值,总有平面 BEF⊥平面 ABC; (Ⅱ)当λ 为何值时,平面 BEF⊥平面 ACD?

A

E C B F D

8


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