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浙江省温州市第二外国语学校2013-2014学年高一上学期知识竞赛数学试题


温州市第二外国语学校 2013 学年第一学期 高一学科知识竞赛

数学试卷
?

考试总分:100 分 考试时间:120 分钟 命题老师:王 博 审题老师:林小平 一.选择题(本题共10小题,每题4分,共40分) 1. 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) , 其中 ? 为实数, 若 f ( x) ? f ( )

对 x ? R

6

恒成立,且 f ( ) ? f (? ) ,则 f ( x) 的单调递增区间是

?

?? ? (k ? Z ) 2? ? ? ? ? ? D. ? k? ? , k? ? (k ? Z ) 2 ? ? 2 2.设A到B的映射f:x ? y=(x-1) ,若集合 A ? ?0,1,2?,则集合B不可能是
? ?? ? , k? ? ? ( k ? Z ) 3 6? ? ? 2? ? ? (k ? Z ) C. ? k? ? , k? ? 6 3 ? ? ?
A. ? k? ? (▲) A、 ?0,1? B、 ?0,1,2? C、 ?0,?1,2? D、 ?0,1,?1? B. ? k? , k? ?

2

3 . 已 知 函 数 f ( x) 满 足 f ( 1 ,) 且 对 任 意 的 ? x ) ? f (? 1 x

x1, x2 ? 1( x1 ? x2 )
1 f ? ) 2 A. c ? b ? a D. a ? b ? c a? (





f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0 x1 ? x2





,b ?

c 的大小关系为 f ( a , b,? 2 c ) f , ,则
B. b ? a ? c

(

3

)

C. b ? c ? a

4.若A、B是锐角△ABC的两个内角,则点P(cosB﹣sinA,sinB﹣cosA)在 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5.定义运算 a ? b ? ? 域是( A. R ) B. R
?

?a, ?b,

a?b x ?x ,如 1? 2 ? 1 ,则函数 f ?x ? ? 2 ? 2 的值 a?b
C . ?0,1? D . ?1,???

6.已知 ? ? ?0, ?? ,且 sin ? ? cos ? ? A. ?

4 3 3 D. ? 4

B. ?

3 4

1 ,则 tan? 的值为 ( 5 4 C. ? 3



7.我们定义渐近线:已知曲线 C ,如果存在有一条直线,当曲线 C 上任一 点 M 沿曲线运动时 M 可无限趋近于该直线但永远达不到, 那么这条直线称 为这条曲线的渐近线; 下列函数: ① f ( x) ? x ? 2 x ? 3
2

② g ( x) ? 2 ? 1
x

③ h( x) ? log 2 ( x ? 1) 线的个数( A.2 D.5 )

④ t ( x) ?

2x ?1 x ?1

⑤ u ( x) ?

x2 ? 2 ,其中有渐近 x

B.3

C.4

8. 函数y=tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|在区间 A. B. C.

内的图象是( D.



9.设函数 f ( x) ? x ?

1 ,对任意 x ??1, ??? , f (mx) ? mf ( x) ? 0 恒成立,则实 x
) B. m ? R , m ? 0 C .

数 m 的取值范围是( A. ( ?1,1)

(??, ?1)

D. (??, ?1) ? ?1, ?? ? 10. 已知函数,若对于任一实数,与的值至少有一个为正数,则实数的取值 范围是 A. B. C. D. 二.填空题(本题共5个小题,每题4分,共20分) 1? 1 11.若 f ? ?1 ? ? ? 2 ? 1 ,则 f ?x ? ? ________ ? x? x 12. 函数 的图象为 C ,如下结论中正确的是

. ①图象C关于直线 ②图象C关于点 ③函数f(x)在区间 ④由y=3sin2x的图角向右平移 对称; 对称; 内是增函数; 个单位长度可以得到图象C. ▲ .

13. 若函数对于上的任意都有,则实数的取值范围是
2

14. 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 2 ? x , g ( x) ? x ? 2mx ? 5m ? 2 (m ? R) , 对于任意的

x1 ? [?2,2] ,总存在 x2 ?[?2,2] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 m 的
最小值 ▲
1 ? ? m 对 x ? [0, ] 恒成立,则实数 2 2

15. 关于 x 的不等式 (sin x ? 1) sinx ? m ?
m 的取值范围是



三.解答题(共4个小题,共40分)

16.(8分)已知函数 f ?x? ? loga ax2 ? 4x ? a ? 3 的定义域为 R ,求实数 a 的取值范围。

?

?

17. (10分)如图,某地有三家工厂, 分别位于矩形ABCD的两个顶点A,B 及 CD 的 中 点 P 处 . AB=20km , BC=10km.为了处理这三家工厂的污 水,现要在该矩形区域上(含边界) 且与A,B等距的一点O处,建造一个 污水处理厂,并铺设三条排污管道AO,BO,PO.记铺设管道的总长度为 ykm. (1)按下列要求建立函数关系式: (i)设∠BAO=θ(rad) ,将y表示成θ的函数; (ii)设OP=x(km) ,将y表示成x的函数; (2)请你选用(1)中的一个函数关系确定污水处理厂的位置,使铺设的污 水管道的总长度最短.

1 18.(10分)已知 a ? R ,设函数 g ( x) ? lg2 x ? 2a lg x ? 4 ( x ? [ , ??)) 的最 10 h ( a ). 小值为 (Ⅰ)求 h(a) 的表达式; ( Ⅱ ) 是 否 存 在 区 间 [m, n] , 使 得 函 数 h(a) 在 区 间 [m ,n ] 上 的 值 域 为 [2m, 2 n] ?若存在,求出 m, n 的值;若不存在,请说明理由.

19. (12 分)已知函数 f ( x) ? x ? a, g ( x) ? a ?

1 (a ? R) . x (I)判断函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 x ? [1, 4] 的单调性并用定义证明;
(II)令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求 F ( x) 在区间 x ? [1, 4] 的最大值的表

达式 M (a) .

温州市第二外国语学校 2013 学年第一学期学科知识 竞赛

高一数学参考答案
一.选择题(本题共 10 小题,每题 4 分,共 40 分)
题号 答案 1 C 2 C 3 A 4 B 5 C 6 C 7 C 8 D 9 C 10 C

二.填空题(本题共 5 个小题,每题 4 分,共 20 分)
2 11. t ? 2t

12.①②③ 13. 14. 15. ( ??, ] ? [ , ?? )

[4,8)
1 2 3 2

三.解答题(共 4 个小题,共 40 分)
16.解:? f ?x ? 的定义域为 R

a ? 0且a ? 1 ? ?? 2 ?? ? 16a ? 4a?a ? 3? ? 0
?a ?4
18. 解: (Ⅰ)①由条件知 PQ 垂直平分 AB,若∠BAO=θ(rad) , 则 所以 所求函数关系式为 ② 若 OP=x ( km ) , 则 OQ=10 ﹣ x , 所 以 ,故 ,又 OP=10﹣10tanθ, ,

OA=OB= 所求函数关系式为 ( Ⅱ ) 选 择 函 数 模 型 ① ,

令 y′=0 得 sin 当

,因为

,所以 θ=

, 时, .这时点 P 位于 km 处.

时,y′<0,y 是 θ 的减函数;当 时,

y′>0,y 是 θ 的增函数,所以当 θ=

线段 AB 的中垂线上,在矩形区域内且距离 AB 边 19. 解: (Ⅰ) f ( x) ? lg x, x ? [

1 , ??) 则 f ( x) ?[?1, ??) 10

g ( x) ? lg2 x ? 2a lg x ? 4 ? (lg x ? a)2 ? 4 ? a2


a ? ?1





h(a) ? (?1 ? a)2 ? 4 ? a2 ? 5 ? 2a
; 当 a ? ?1 时, h(a) ? 4 ? a2 . 综 上 得

?5 ? 2a, (a ? ?1) h( a ) ? ? ; 2 ?4 ? a , (a ? ?1)
(Ⅱ)显然, h(a) ? 4 ,则 2n ? 4 ? n ? 2, m ? n, m ? 2 . (1)当 n ? ?1 ,函数在此区间递增,则 ?

?5 ? 2m ? 2m ,显然不符; ?5 ? 2n ? 2n

(2)当 ?1 ? n ? 0 , (ⅰ)当 m ? ?1 ,函数在此区间递增,则 5 ? 2m ? 2m ,显然不符;
2 ? ? 4 ? m ? 2m ? m ? n ? ?2 ,显然不符; (ⅱ)当 ?1 ? m ? 0 ,则 ? 2 4 ? n ? 2 n ? ?

(3)当 0 ? n ? 2 , (ⅰ)当 m ? ?1 ,则 5 ? 2m ? 2m ,显然不符; ( ⅱ ) 当 ?1 ? m ? 0 , 函 数 在 此 区 间 递 增 , 则

? 4 ? m 2 ? 2m ? ?m ? ?1 ? 5 ?? ,显然不符; ? ?n ? 2 ? 4 ? 2n ?
2 ? ? 4 ? m ? 2n ? m ? 0 ?? (ⅲ)当 0 ? m ? 2 ,函数在此区间递减,则 ? ,符 2 ? 4 ? n ? 2m ? n ? 2 ?

合题意. 综上,存在符合题意的 m, n ,且 m ? 0, n ? 2 . 22. (本小题 15 分)解: (I) h( x) ? x ? 略) .

1 ? 2a 在 x ? [1, 4] 递增; (证明 x

1 15 ,在 x ? [1, 4] 递增, M ( a ) ? , x 4 1 若 a ? 4 , F ( x) ? 2a ? ( x ? )在 x ? [1, 4] 递减, M (a) ? 2a ? 2 , x
(II)若 a ? 1 , F ( x) ? x ?

? 1 x? , a?x?4 ? ? x a ? (1, 4) F ( x ) ? 若 ,则 ? ?2a ? ( x ? 1 ), 1 ? x ? a ? x ?
当 a ? x ? 4 时,函数递增, F ( x) max ?

15 , 4

当 1 ? x ? a 时,函数递减, F ( x)max ? 2a ? 2 ;

2a ? 2 ?

15 23 23 15 23 ? 2a ? ? a ? 4 时, , 当1 ? a ? 时,M ( a ) ? , 当 4 4 8 4 8

M ( a ) ? 2a ? 2 .
综上: a ?

23 15 23 ? a 时, M (a) ? 2a ? 2 . 时, M ( a ) ? ,当 8 8 4


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