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圆锥曲线基础测试题及答案(2)


圆锥曲线基础测试
x2 y2 1. 已知椭圆 ) ? ? 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 ,则 P 到另一焦点距离为 ( 25 16 A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 2.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为 18 ,焦距为 6 ,则椭圆的方程为 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y A. B. C. D.以上都不对 ? ?1 ? ?1 ? ? 1或 ? ?1 9 16 25 16 25 16 16 25
3.动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是 ( )

A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线 4.设双曲线的半焦距为 c ,两条准线间的距离为 d ,且 c ? d ,那么双曲线的离心率 e 等于( A. 2
2

) )

B. 3

C. 2

D. 3 (

5.抛物线 y ? 10 x 的焦点到准线的距离是

15 2 2 6.若抛物线 y ? 8 x 上一点 P 到其焦点的距离为 9 ,则点 P 的坐标为
A. B. 5 C. A. (7, ? 14)
2 2

5 2

D. 10 ( D. (?7, ?2 14) )

B. (14, ? 14)

C. (7, ?2 14)

3 ,则它的长半轴长为_______________. 2 8.双曲线的渐近线方程为 x ? 2 y ? 0 ,焦距为 10 ,这双曲线的方程为_______________。
7.若椭圆 x ? my ? 1 的离心率为

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的取值范围是 4 ? k 1? k 2 10.抛物线 y ? 6 x 的准线方程为 .
9.若曲线 11.椭圆 5 x ? ky ? 5 的一个焦点是 (0,2) ,那么 k ?
2 2
2 2





12. k 为何值时,直线 y ? kx ? 2 和曲线 2 x ? 3 y ? 6 有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?

13.在抛物线 y ? 4 x 上求一点,使这点到直线 y ? 4 x ? 5 的距离最短。
2

14.双曲线与椭圆有共同的焦点 F1 (0, ?5), F2 (0,5) ,点 P(3, 4) 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点, 求渐近线与椭圆的方程。

15.若动点 P( x, y ) 在曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(b ? 0) 上变化,则 x 2 ? 2 y 的最大值为多少? 4 b

-1-

参考答案
1.D 点 P 到椭圆的两个焦点的距离之和为 2a ? 10,10 ? 3 ? 7 2.C
2a ? 2b ? 18, a ? b ? 9, 2c ? 6, c ? 3, c 2 ? a 2 ? b2 ? 9, a ? b ? 1

得 a ? 5, b ? 4 ,? 3.D 4.C 5.B

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 25 16 16 25

PM ? PN ? 2, 而MN ? 2 ,? P 在线段 MN 的延长线上
2a 2 c2 ? c, c 2 ? 2a 2 , e2 ? 2 ? 2, e ? 2 c a
2 p ? 10, p ? 5 ,而焦点到准线的距离是 p

6.C 点 P 到其焦点的距离等于点 P 到其准线 x ? ?2 的距离,得 xP ? 7, y p ? ?2 14 7. 1, 或2 当 m ? 1时,
x2 y 2 ? ? 1, a ? 1 ; 1 1 m

当 0 ? m ? 1 时,

y 2 x2 a 2 ? b2 3 1 1 ? ? 1, e2 ? ? 1 ? m ? , m ? , a 2 ? ? 4, a ? 2 2 1 1 a 4 4 m m

8.

x2 y 2 ? ? ?1 20 5

设双曲线的方程为 x 2 ? 4 y 2 ? ? , (? ? 0) ,焦距 2c ? 10, c 2 ? 25
x2 y2

当 ? ? 0 时,

?

?

?
4

? 1, ? ?

?
4

? 25, ? ? 20 ;

当 ? ? 0 时,

y2 ?

?
4

?

x2 ? ? 1, ?? ? (? ) ? 25, ? ? ?20 ?? 4

9. (??, ?4) ? (1, ??) 10. x ? ? 11. 1
3 2

(4 ? k )(1 ? k ) ? 0,(k ? 4)(k ? 1) ? 0, k ? 1, 或k ? ?4
p 3 ?? 2 2

2 p ? 6, p ? 3, x ? ?

y 2 x2 5 焦点在 y 轴上,则 ? ? 1, c 2 ? ? 1 ? 4, k ? 1 5 1 k k

? y ? kx ? 2 12.解:由 ? 2 ,得 2 x 2 ? 3(kx ? 2) 2 ? 6 ,即 (2 ? 3k 2 ) x 2 ? 12kx ? 6 ? 0 2 ?2 x ? 3 y ? 6

? ? 144k 2 ? 24(2 ? 3k 2 ) ? 72k 2 ? 48
-2-

当 ? ? 72k 2 ? 48 ? 0 ,即 k ?

6 6 时,直线和曲线有两个公共点; , 或k ? ? 3 3 6 6 时,直线和曲线有一个公共点; , 或k ? ? 3 3

当 ? ? 72k 2 ? 48 ? 0 ,即 k ?

当 ? ? 72k 2 ? 48 ? 0 ,即 ?

6 6 时,直线和曲线没有公共点。 ?k? 3 3
4t ? 4t 2 ? 5 17 ? 4t 2 ? 4t ? 5 17

13.解:设点 P(t , 4t ) ,距离为 d , d ?
2

当t ?

1 1 时, d 取得最小值,此时 P ( ,1) 为所求的点。 2 2
y2 x2 ? 2 ?1; a 2 a ? 25

14.解:由共同的焦点 F1 (0, ?5), F2 (0,5) ,可设椭圆方程为

双曲线方程为

y2 x2 16 9 ? ? 1 ,点 P(3, 4) 在椭圆上, 2 ? 2 ? 1, a 2 ? 40 2 2 b 25 ? b a a ? 25
b 25 ? b
2

双曲线的过点 P(3, 4) 的渐近线为 y ?

x ,即 4 ?

b 25 ? b
2

? 3, b 2 ? 16

所以椭圆方程为

y 2 x2 y 2 x2 ? ? 1 ;双曲线方程为 ? ?1 40 15 16 9

15.解:设点 P(2cos ? , b sin ? ) , x 2 ? 2 y ? 4cos2 ? ? 2b sin ? ? ?4sin 2 ? ? 2b sin ? ? 4 令 T ? x 2 ? 2 y,sin ? ? t , (?1 ? t ? 1) , T ? ?4t 2 ? 2bt ? 4,(b ? 0) ,对称轴 t ? 当
b b ? 1, 即b ? 4 时, Tmax ? T |t ?1 ? 2b ;当 0 ? ? 1,即0 ? b ? 4 时, 4 4
Tmax b2 ?T | b? ?4 t? 4 4

b 4

? b2 ? ? ?4 , 0 b? ? ( x 2 ? 2y m a x? ? 4 ) ?2b ,b ? 4 ?

4

-3-


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