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高中积分微分知识点及习题及答案


积分和微分
积分一般分为不定积分、定积分和微积分三种 1、不定积分 设 F(x)是函数 f(x)的一个原函数,我们把函数 f(x)的所有原函数 F(x)+C(C 为任意常数) 叫做函数 f(x)的不定积分. 记作∫f(x)dx.其中∫叫做积分号, f(x)叫做被积函数, x 叫做积量,f(x)dx 叫做被积式,C 叫做积分常数,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分. 由定义可知: 求函数 f(x)的不定积分,就是要求出 f(x)的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出 函数 f(x)的一个原函数,再加上任意的常数 C,就得到函数 f(x)的不定积分. 也可以表述成,积分是微分的逆运算,即知道了导函数,求原函数. 2、定积分 众所周知,微积分的两大部分是微分与积分.微分实际上是求一函数的导数,而积分是已 知一函数的导数,求这一函数.所以,微分与积分互为逆运算. 实际上,积分还可以分为两部分.第一种,是单纯的积分,也就是已知导数求原函数,而若 F(x)的导数是 f(x),那么 F(x)+C(C 是常数)的导数也是 f(x),也就是说,把 f(x)积分,不一定能 得到 F(x),因为 F(x)+C 的导数也是 f(x),C 是无穷无尽的常数,所以 f(x)积分的结果有无数个, 是不确定的,我们一律用 F(x)+C 代替,这就称为不定积分. 而相对于不定积分,就是定积分. 所谓定积分,其形式为∫f(x) dx (上限 a 写在∫上面,下限 b 写在∫下面).之所以称其为定积分, 是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数,而不是一个函数. 定积分的正式名称是黎曼积分,详见黎曼积分.用自己的话来说,就是把直角坐标系上的 函数的图象用平行于 y 轴的直线把其分割成无数个矩形,然后把某个区间[a,b]上的矩形累加 起来,所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积.实际上,定积分的上下限就是区间的 两个端点 a、b. 我们可以看到,定积分的本质是把图象无限细分,再累加起来,而积分的本质是求一个函 数的原函数.它们看起来没有任何的联系,那么为什么定积分写成积分的形式呢? 定积分与积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有 了本质的密切关系.把一个图形无限细分再累加,这似乎是不可能的事情,但是由于这个理论, 可以转化为计算积分.这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式,它的内容是: 若 F'(x)=f(x) 那么∫f(x) dx (上限 a 下限 b)=F(a)-F(b) 牛顿-莱布尼兹公式用文字表述,就是说一个定积分式的值,就是上限在原函数的值与下 限在原函数的值的差. 正因为这个理论,揭示了积分与黎曼积分本质的联系,可见其在微积分学以至更高等的数 学上的重要地位,因此,牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理. 3、微积分 积分是微分的逆运算,即知道了函数的导函数,反求原函数.在应用上,积分作用不仅如此, 它被大量应用于求和,通俗的说是求曲边三角形的面积,这巧妙的求解方法是积分特殊的性质 决定的。一个函数的不定积分(亦称原函数)指另一族函数,这一族函数的导函数恰为前一 函数.其中:[F(x) + C]' = f(x)。一个函数在区间[a,b]上的定积分,是一个实数.它等于该函数的 一个原函数在 b 的值减去在 a 的值. 几何意义: 设 Δx 是曲线 y = f(x)上的点 M 的在横坐标上的增量,Δy 是曲线在点 M 对应 Δx 在纵坐标 上的增量,dy 是曲线在点 M 的切线对应 Δx 在纵坐标上的增量.当|Δx|很小时,|Δy-dy|比|Δy|

要小得多(高阶无穷小),因此在点 M 附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段. 多元微分:同理,当自变量为多个时,可得出多元微分得定义. 运算法则:dy=f'(x)dx d(u+v)=du+dv d(u-v)=du-dv d(uv)=du· v+dv· u d(u/v)=(du· v-dv· u)/v^2 1、定积分 说明: (1)定积分的值是一个常数,可正、可负、可为零; (2)用定义求定积分的四个基本步骤:①分割;②近似代替;③求和;④取极限. 2、微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式) 如果 F ?( x) ? f ( x) ,且 f ( x) 在 [ a, b] 上可积,则

?
3、常用定积分公式 ⑴ ? 0dx ? c( c 为常数) ⑷ ?

b

a

f ( x)dx ? F ( x) a ? F (b) ? F (a) ,

b

? 【其中 F ( x) 叫做 f ( x) 的一个原函数,因为 ? F ( x) ? C ? ? F ?( x) ? f ( x) 】

⑵ ? 1dx ? x ? c
x

⑶ ? x dx ? ⑸ ? e dx ? e ? c
x

?

x? ?1 ? c (? ? ?1) ? ?1


1 dx ? ln x ? c x

? a x dx ?

ax ? c (a ? 0, a ? 1) ln a
⑻ ? cos xdx ? sin x ? c ⑽ ? cos axdx ?

⑺ ? sin xdx ? ? cos x ? c ⑼ ? sin axdx ? ?

1 cos ax ? c (a ? 0) a
b

1 sin ax ? c (a ? 0) a
b b

4、定积分的性质 ⑴

? kf ( x)dx ? k ?
a
b c a a

b

a

f ( x)dx (k 为常数) ;
b c



?

b

a

f ( x) ? g ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx ;
a a

⑶ ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx (其中 a ? c ? b ) ; ⑷利用函数的奇偶性求定积分:若 f ( x) 是 [?a, a] 上的奇函数,则 ? f ( x )dx ? 0 ;若 f ( x) 是
?a a

[?a, a] 上的偶函数,则 ? f (x)dx ? 2? f (x)dx .
?a 0

a

a

5、定积分的几何意义 定积分

?

b

a

f ( x)dx 表示在区间 [a, b] 上的曲线 y ? f ( x) 与直线 x ? a 、 x ? b 以及 x 轴所

围成的平面图形(曲边梯形)的面积的代数和。 6、求曲边梯形面积的方法与步骤 ⑴画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像; ⑵借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限; ⑶写出定积分表达式;

⑷求出曲边梯形的面积和,即各积分的绝对值的和. 一、选择题 2 3 1.(2010·山东理,7)由曲线 y=x ,y=x 围成的封闭图形面积为( ) 1 1 1 7 A. B. C. D. 12 4 3 12 3 2.由三条直线 x=0、x=2、y=0 和曲线 y=x 所围成的图形的面积为( ) 4 18 A.4 B. C. D.6 3 5 3.曲线 y=cosx(0≤x≤2π )与直线 y=1 所围成的图形面积是( ) 3π A.2π B.3π C. D.π 2 4.函数 F(x)=∫t(t-4)dt 在[-1,5]上( ) 32 A.有最大值 0,无最小值 B.有最大值 0 和最小值- 3 32 C.有最小值- ,无最大值 D.既无最大值也无最小值 3 1 2 5.已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn=2n +n,函数 f(x)=∫ dt,若 f(x)<a3,则 x 的取

t

值范围是( ) ? 3 ? A.? ,+∞? ?6 ?

B.(0,e )

21

C.(e

-11

,e)

D.(0,

e )
6.(2010·福建厦门一中)如图所示,在一个长为π ,宽为 2 的矩形 OABC 内,曲线 y= sinx(0≤x≤π )与 x 轴围成如图所示的阴影部分,向矩形 OABC 内随机投一点(该点落 在矩形 OABC 内任何一点是等可能的),则所投的点落在阴影部分的概率是( )

11

A.

1 π

B.

2 π

C.

3 π

D.

π 4 的图象与 x 轴所围成的图形

x +2 2≤x<0 ? ? 7.(2010·吉林质检)函数 f(x)=? π 2cosx 0≤x≤ ? 2 ?

面积 S 为( ) 3 1 A. B.1 C.4 D. 2 2 8. (2010· 沈阳二十中)设函数 f(x)=x-[x], 其中[x]表示不超过 x 的最大整数, 如[- 1.2]=-2,[1.2]=1,[1]=1.又函数 g(x)=- ,f(x)在区间(0,2)上零点的个数 3 记为 m,f(x)与 g(x)的图象交点的个数记为 n,则∫g(x)dx 的值是( ) 5 4 5 7 A.- B.- C.- D.- 2 3 4 6 9. (2010· 江苏盐城调研)甲、 乙两人进行一项游戏比赛, 比赛规则如下: 甲从区间[0,1] 上随机等可能地抽取一个实数记为 b,乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数 2 记为 c(b、c 可以相等),若关于 x 的方程 x +2bx+c=0 有实根,则甲获胜,否则乙 获胜,则在一场比赛中甲获胜的概率为( )

x

1 2 1 3 B. C. D. 3 3 2 4 10.(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为 O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1), 2 曲线 y=x (x≥0)与 x 轴, 直线 x=1 构成区域 M, 现将一个质点随机地投入正方形中, 则质点落在区域 M 内的概率是( ) 1 1 1 2 A. B. C. D. 2 4 3 5 二、填空题 2 11.(2010·芜湖十二中)已知函数 f(x)=3x +2x+1,若∫f(x)dx=2f(a) 成立,则 a=________. π 1 6 2 12.已知 a=∫ 0(sinx+cosx)dx,则二项式(a x- ) 的展开式中含 x 项的系 2 x A. 数是________. 2 13.抛物线 y =2x 与直线 y=4-x 围成的平面图形的面积为________. 4 2 14.(2010·安徽合肥质检)抛物线 y =ax(a>0)与直线 x=1 围成的封闭图形的面积为 , 3 若直线 l 与抛物线相切且平行于直线 2x-y+6=0,则 l 的方程为______. 3 2 15.(2010·福建福州市)已知函数 f(x)=-x +ax +bx(a,b∈R)的图象如图所示,它 与 x 轴在原点处相切,且 x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的 1 面积为 ,则 a 的值为________. 12

17.用 S 表示图中阴影部分的面积,则 S 的值是( A.?cf(x)dx

)

?a

B.|?cf(x)dx|

?a
c

C.?bf(x)dx+?cf(x)dx

?a ?b

?b ?a

D.? f(x)dx-?bf(x)dx

18.设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等的实根,且 f′(x)=2x-2. (1)求 y=f(x)的表达式; (2)求 y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积. 1 1 19.由直线 x= ,x=2,曲线 y= 及 x 轴所围成图形的面积为( ) 2 x 15 17 A. B. 4 4

1 C. ln2 2

D.2ln2

x+1 (-1≤x<0) ? ? 11.函数 f(x)=? π cosx (0≤x≤ ) ? 2 ?
( ) A. 3 2 B.1 1 D. 2

的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为

C.2 第一节 交流电的产生和变化规律

第二节一、交变电流:
大小和方向都随时间作周期性变化的电流叫做交变电流, 简称交流。 如图 15-1 所示 ( b) 、 (c) 、 (e)所示电流都属于交流,其中按正弦规律变化的交流叫正弦交流。如图(b)所示。 而(a) 、(d)为直流其中(a)为恒定电流。
i i i i o i

o

t

o

t

t d o

t

o

t

(a )

( b)

(c)
图1 5
1

(d )

( e)

二、正弦交流的产生及变化规律。 1、产生:当线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的轴匀速转动时,线圈中产生的交流 是随时间按正弦规律变化的。即正弦交流。 2、中性面:匀速旋转的线圈,位于跟磁感线垂直的平面叫做中性面。这一位置穿过线 圈的磁通量最大,但切割边都未切割磁感线,或者说这时线圈的磁通量变化率为零,线圈中 无感应电动势。 3、规律: (1) 、函数表达式:从中性面开始计时,则 e=NBSω sinω t 。用ε M 表示峰值ε M=NBS ω 则 e=ε
Msinω

t 在纯电阻电路中,电流 I=

e ?m ? sinω t=I m sinω t,电压 u=U m sinω t 。 R R

4、交流发电机 (1)发电机的基本组成:①用来产生感应电动势的线圈(叫电枢)②用来产生磁场的磁极 (2)发电机的基本种类①旋转电枢式发电机(电枢动磁极不动)②旋转磁极式发电机(磁 极动电枢不动)无论哪种发电机,转动的部分叫转子,不动的部分叫定子

第二节 表征交变电流的物理量 1、表征交变电流大小物理量 ①瞬时值:对应某一时刻的交流的值

用小写字母 x 表示,e i u

②峰值:即最大的瞬时值 用大写字母表示,Um Im ε m ε m= nsBω Im=ε m/ R 注意: 线圈在匀强磁场中绕垂直于磁感线方向的轴匀速转动时, 所产生感应电动势的峰值 为 ε
m =NBSω

,即仅由匝数 N,线圈面积 S,磁感强度 B 和角速度ω 四个量决定。与

轴的具体位置,线圈的形状及线圈是否闭合都是无关的。 ③有效值: ⅰ、意义:描述交流电做功或热效应的物理量 ⅱ、定义:跟交流热效应相等的恒定电流的值叫做交流的有效值。 ⅲ、正弦交流的有效值与峰值之间的关系是ε =

?m 2

I=

Im 2

U=

Um 2



注意: 正弦交流的有效值和峰值之间具有ε =

?m U I , U= m I ? m 的关系, 非正弦 (或 2 2 2

余弦)交流无此关系,但可按有效值的定义进行推导,如对于正负半周最大值 相等的方波电流,其热效应和与其最大值相等的恒定电流是相同的,因而其有 效值即等于其最大值。即 I=I m 。 ⅳ、 交流用电器的额定电压和额定电流指的是有效值; 交流电流表和交流电压表的读数 是有效值。对于交流电若没有特殊说明的均指有效值。 ⅴ、在求交流电的功、功率或电热时必须用交流电的有效值。 ④、峰值、有效值、平均值在应用上的区别。 峰值是交流变化中的某一瞬时值,对纯电阻电路来说,没有什么应用意义。若对含 电容电路, 在判断电容器是否会被击穿时, 则需考虑交流的峰值是否超过电容器的耐压 值。 交流的有效值是按热效应来定义的, 对于一个确定的交流来说, 其有效值是一定的。 而平均值是由公式 ? ? n

?? 确定的,其值大小由某段时间磁通量的变化量来决定,在不同 ?t

的时间段里是不相同的。如对正弦交流,其正半周或负半周的平均电动势大小 为? ?

n ? 2 Bs 2nBs? , 而一周期内的平均电动势却为零。 在计算交流通过电阻产生的热 ? T ? 2

功率时,只能用有效值,而不能用平均值。在计算通过导体的电量时,只能用平均值, 而不能用有效值。 在实际应用中,交流电器铭牌上标明的额定电压或额定电流都是指有效值,交流电 流表和交流电压表指示的电流、电压也是有效值,解题中,若题示不加特别说明,提到 的电流、电压、电动势时,都是指有效值。 φm 2、表征交变电流变化快慢的物理量 ①、周期 T:电流完成一次周期性变化所用的时间。单位:s . o
( a)

t

εm
o t

②、频率 f:一秒内完成周期性变化的次数。单位:HZ. ③、角频率ω :就是线圈在匀强磁场中转动的角速度。单位:rad/s. ④、角速度、频率、周期,的关系 ω =2 ? f=

2? T

3、疑难辨析 交流电的电动势瞬时值和穿过线圈面积的磁通量的变化率成正 比。 当线圈在匀强 磁场中匀速转动时,线圈磁通量也是按正弦(或余弦)规律变化的,若从中性面开始计 时,t=0 时,磁通量最大,φ 应为余弦函数,此刻变化率为零(切线斜率为零) ,t=

T 时, 4
t。

磁通量为零,此刻变化率最大(切线斜率最大) ,因此从中性面开始计时,感应电动势 的瞬时表达式是正弦函数,如图 15-2(a) (b)所示分别是φ =φ m cosω t 和 e=ε
m sinω

第三节 电感和电容对交对电流的作用 1.电感对交流有阻碍作用。电感对电流阻碍作用的大小用感抗来表示。感抗的大小与线圈 的自感系数和交变电流的频率有关,线圈的感系数越大,电流的频率越大。电感对交变电流 的阻碍作用就越大,感抗也就越大。 低频扼流圈和高频扼流圈 低频扼流圈 高频扼流圈 构造:线圈绕在铁心上,匝数多,电阻小 线圈绕在铁氧体上,匝数少 作用: “通直流、阻交流” 通过低频,阻高频 2.电容器能通交流 电容器有“通交流,隔直流”的作用。电容器对交流有阻碍作用。电容器对交流阻碍 作用的大小用容抗来表示。影响容抗大小的因素:C 和 f 电容器的电容越大,电流频率越大,容抗越小。

第四节 变压器
1.变压器的构造 原线圈、 副线圈、 铁心 2.变压器的工作原理 在原、副线圈上由于有交变电流而发生的互相感应现象,叫做互感现象,互感现象是变 压器工作的基础。 3.理想变压器 磁通量全部集中在铁心内,变压器没有能量损失,输入功率等于输出功率。 4.理想变压器电压跟匝数的关系: U1/U2= n1/n2 说明:对理想变压器各线圈上电压与匝数成正比的关系,不仅适用于原、副圈只有一 个的情况,而且适用于多个副线圈的情况。即有

U1 U 2 U 3 ? ? =??。这是因为理想变 n1 n2 n3

压器的磁通量全部集中在铁心内。 因此穿过每匝线圈的磁通量的变化率是相同的, 每匝线 圈产生相同的电动势,因此每组线圈的电动势与匝数成正比。在线圈内阻不计的情况下, 每组线圈两端的电压即等于电动势,故每组电压都与匝数成正比。 5.理想变压器电流跟匝数的关系 I1/I2= n2/n1 (适用于只有一个副线圈的变压器)

说明: 原副线圈电流和匝数成反比的关系只适用于原副线圈各有一个的情况, 一旦有 多个副线圈时,反比关系即不适用了,可根据输入功率与输出功率相等的关系推导出:U1I1= U2I2+ U3I3+U4I4+??再根据 U2= n1I1=n2I2+ n3I3+ n4I4+?? 6.注意事项 (1) 当变压器原副线圈匝数比(

n2 U1 n1

U3=

n3 U1 n1

U4=

n4 U4??可得出: n1

n1 )确定以后,其输出电压 U2 是由输入电压 U1 决定的(即 n2

U2=

n2 U1)但若副线圈上没有负载 , 副线圈电流为零输出功率为零 , 则输入 功率为零, n1

原线圈电流也为零,只有副线圈接入一定负载,有了一定的电流,即有了一定的输出功率, 原 线圈上才有了相应的电流(I1=

n2 I2) ,同时有了相等的输入功率, (P 入=P 出)所以说:变 n1

压器上的电压是由原线圈决定的,而电流和功率是由副线圈上的负载来决定的。 第五节 电能的输送 2 2 1.输电线上损失的电功率 P=I2R=(P 输入 /U 输入 )R 2.远距离输电示意图

I2=I 线=I3

U2=U 线+U3

P2=P 线+P3

输电电压提高到原来的 n 倍输电线上损失的电功率降为原来的 1/n2

高中物理力的合成分解
1 下列物体的运动状态保持不变的是 ( ) A.匀速行驶的列车 B.地球同步卫星 C.自由下落的小球 D.在水面上浮动的木块 2. 有关加速度的说法,正确的是 ( ) A.物体加速度的方向与物体运动的方向不是同向就是反向 B.物体加速度方向与物体所受合外力的方向总是相同的 C.当物体速度增加时,它的加速度也就增大 D.只要加速度为正值,物体一定做加速运动 3.下面关于惯性的说法中,正确的是 ( ) A. 运动速度大的物体比速度小的物体难以停下来,所以运动速度大的物体具有较大的惯性 B. 物体受的力越大,要它停下来就越困难,所以物体受的推力越大,则惯性越大 C. 物体的体积越大,惯性越大 D. 物体含的物质越多,惯性越大

4.在粗糙水平面上放着一个箱子,前面的人用水平方向成仰角 θ 1 的力 F1 拉箱子,同时后 面的人用与水平方向成俯角 θ 2 的推力 F2 推箱子,如图所示,此时箱子的加速度为 a,如果 此时撤去推力 F2,则箱子的加速度 ( ) A.一定增大 B.一定减小 C.可能不变 D.不是增大就是减小,不可能不变 5.如图单所示,有两个物体质量各为 m1、m2,m1 原来静止,m2 以速度 vo 向右运动,如果它们 加上完全相同的作用力 F,在下述条件下,哪些可使它们的速度有达到相同的 时刻 ( ) A.F 方向向右 m1>m2 B.F 方向向右 m1<m2 C.F 方向向左 ml>m2 D.F 方向任意 m1=m2 6.如图,质量为 m1 的粗糙斜面上有一质量为 m 的木块匀减速下滑,则地 面受到的正压力应当是 ( ). A.等于(ml+m2)g B.大于(ml+m2)g C.小于(ml+m2)g D. 以上结论都不对 7.在验证“牛顿第二定律”的实验中,打出的纸带如图单所示,相邻计 数点间的时间间隔为 0.1s,由此可算出小车的加速度 a=______,若实验中交流电频率变为 40Hz,但计算中仍引用 50Hz,这样测定的加速度将变_______(填“大”或“小”),该实验 中,为验证小车质量 M 不变时,a 与 F 成正比,小车质量 M 和砂及桶质量 m 分别选取下列四 组值.

A、M=500g,m 分别为 50g、70g、100g、125g B、M=500g,m 分别为 20g、30g、 40g、 50g C、M=200g,m 分别为 50g、70g、100g、125g D、M=200g,m 分别为 30g、40g、 50g、 60g 若其它操作正确,那么在选用__________组值测量时所画出的 a 一 F 的图线较准确. 9.质量为 m 的物体放在倾角为 a 的斜面上,物体和斜面间的动摩擦因数为 ?,如沿水平方 向加一个力 F, 使物体沿斜面向上以加速度 a 做匀加速直线运动(如图) ,求 F=?

10.如图所示,一质量为 M 的楔形木块放在水平桌面上,它的顶角为 90°,两底角为 ɑ 和 β ;a,b 为两个位于斜面上质量均为 m 的小木块.已知所有接触面都是光滑的。现发现 a、b 沿斜面下滑,而楔形木块静止不动,这时楔形木块对水平桌面的压力等于 ( ) A.Mg+mg B.Mg+2mg C.Mg+mg(sinα +sinβ ) D. Mg+mg(cosα +cosβ )

11.如图质量为 m 的小球用水平弹簧系住,并用倾角为 30°的光滑木板 AB 托住,小球恰好 处于静止状态.当木板 AB 突然向下撤离的瞬间,小球的加速度 ( ) A. 2 3 B.大小为 g,方向竖直向下 3 2 3 C.大小为 g,方向垂直于木板向下 3 D.大小为 3 g,方向水平向右 3

课后跟踪练习: 2 1.A 2.B 3.D 4.C 5.BC 6.B 7.a=0.69m/s 大 B 8.B 9.(mgsinα +μ mgcosα +ma)/(cosα -μ sinα ) 10. A 11.C


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