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广东省揭阳市岐山中学2014-2015学年高二上学期第一次月考数学试卷(理科)


广东省揭阳市岐山中学 2014-2015 学年高二上学期第一次月考数 学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. ) 1. (5 分)设全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,2},B={2,3,5},则(?UA)∪B=() A.{3,5} B.{3,4,5} C.{2,3,4,5} D.{1,2,3,4} 2. (5 分)

在如图所示的算法流程图中,输出 S 的值为()

A.11

B.12

C.13

D.15

3. (5 分)如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是()

A.9π 4. (5 分)要得到 A.向左平移 C. 向左平移

B.10π

C.11π

D.12π

的图象,只需将 y=3sin2x 的图象() B. 向右平移 D.向右平移
2 2 2

个单位 个单位

个单位 个单位

5. (5 分)在△ ABC 中,a ﹣c +b =ab,则角 C 的大小为() A.30° B.45° C.60°

D.120°

6. (5 分)在△ ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°, A. B. C.

,则 AC=() D.

7. (5 分)已知 m、n 是不重合的直线,α、β 是不重合的平面,有下列命题: ①若 m?α,n∥α,则 m∥n; ②若 m∥α,m∥β,则 α∥β; ③若 α∩β=n,m∥n,则 m∥α 且 m∥β; ④若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β. 其中真命题的个数是() A.0 B. 1 C. 2 D.3 8. (5 分)已知{an}为等差数列,若 a3+a4+a8=9,则 S9=() A.24 B.27 C.15

D.54

二.填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. (5 分)设{an}是首项 a1=1,公差 d=3 的等差数列,如果 an=2008,则序号 n 等于. 10. (5 分)在等差数列{an}中,a3=19,a15=6,则 a4+a14 的值为. 11. (5 分)设 Sn 是等差数列{an}(n∈N )的前 n 项和,且 a1=1,a4=7,则 S5=. 12. (5 分)在△ ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边分别是 a,b,c 且满足 a:b:c=5:7:8, 则∠B=. 13. (5 分)在三角形 ABC 中,A=120°,AB=5,BC=7,则 的值为.
+

14. (5 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a= A=.

,b=

,B=60°,则

三.解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15. (12 分)在△ ABC 中,AB= (1)求 sinA 的值; (2)求 AC. 16. (12 分)从某学校 2015 届高三年级 800 名学生中随机抽取 50 名测量身高,据测量被抽取 的学生的身高全部介于 155cm 和 195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组,图 是按上述分组方法得到的条形图. ,BC=1,cosC= .

(1)根据已知条件填写下面表格: 组 别 1 2 3 4 5 6 7 8 样本数 (2)估计这所学校 2015 届高三年级 800 名学生中身高在 180cm 以上(含 180cm)的人数; (3)在样本中,若第二组有 1 人为男生,其余为女生,第七组有 1 人为女生,其余为男生, 在第二组和第七组中各选一名同学组成实验小组,问:实验小组中恰为一男一女的概率是多 少? 17. (14 分)圆 C:x +y =8 内一点 P(﹣1,2) ,过点 P 的直线 l 的倾斜角为 α,直线 l 交圆 于 A,B 两点. (1)求当 时,弦 AB 的长;
2 2

(2)当弦 AB 被点 P 平分时,求直线 l 的方程; (3)在(2)的情况下,已知直线 l′与圆 C 相切,并且 l′⊥l,求直线 l′的方程. 18. (14 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面为正方形,侧棱 PA⊥底面 ABCD,且 PA=AD=2, E,F,H 分别是线段 PA,PD,AB 的中点. (Ⅰ)求证:PB∥平面 EFH; (Ⅱ)求证:PD⊥平面 AHF; (Ⅲ)求二面角 H﹣EF﹣A 的大小.

19. (14 分)在等差数列{an}中,a16+a17+a18=a9=﹣36,其前 n 项为 Sn. (1)求 Sn 的最小值,并求出 Sn<0 时 n 的最大值; (2)求 Tn=|a1|+|a2|+…+|an|.

20. (14 分)已知函数 f(x)=( ) ,x∈,函数 g(x)=f (x)﹣2af(x)+3 的最小值为 h (a) . (1)求 h(a)的解析式; (2)是否存在实数 m,n 同时满足下列两个条件:①m>n>3;②当 h(a)的定义域为时, 值域为?若存在,求出 m,n 的值;若不存在,请说明理由.

x

2

广东省揭阳市岐山中学 2014-2015 学年高二上学期第一次 月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. ) 1. (5 分)设全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,2},B={2,3,5},则(?UA)∪B=() A.{3,5} B.{3,4,5} C.{2,3,4,5} D.{1,2,3,4} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 根据全集 U 及 A,求出 A 的补集,找出 A 补集与 B 的并集即可. 解答: 解:∵全集 U={1,2,3,4, 5},集合 A={1,2},B={2,3,5}, ∴?UA={3,4,5}, 则(?UA)∪B={2,3,4,5}. 故选 C 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 2. (5 分)在如图所示的算法流程图中,输出 S 的值为()

A.11 考点: 程序框图.

B.12

C.13

D.15

专题: 图表型. 分析: 据程序框图的流程,写出前 8 次循环得到的结果,直到满足判断框中的条件,结束 循环,输出结果. 解答: 解:通过第一次循环得到 s=3,i=4 通过第二次循环得到 s=7,i=5 通过第三次循环得到 s=12,i=6 此时满足判断框中的条件 i>5,执行输出 s=12, 故选 B. 点评: 解决程序框图中的循环结构时,常采用写出前几次循环的结果,找规律. 3. (5 分)如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是()

A.9π 考点: 专题: 分析: 解答:
2

B.10π

C.11π

D.12π

由三视图求面积、体积. 计算题. 由题意可知,几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的,依次求表面积即可. 解:从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的,其表面为
2

S=4π×1 +π×1 ×2+2π×1×3=12π 故选 D. 点评: 本题考查学生的空间想象能力,是基础题.

4. (5 分)要得到 A.向左平移 C. 向左平移 个单位 个单位

的图象,只需将 y=3sin2x 的图象() B. 向右平移 D.向右平移 个单位 个单位

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题. 分析: 根据左加右减的原则进行左右平移即可. 解答: 解:∵ ∴只需将 y=3sin2x 的图象向左平移 个单位 ,

故选 C. 点评: 本题主要考查三角函数的平移.三角函数进行平移时的原则是左加右减上加下减.

5. (5 分)在△ ABC 中,a ﹣c +b =ab,则角 C 的大小为() A.30° B.45° C.60°

2

2

2

D.120°

考点: 余弦定理. 专题: 计算题. 分析: 利用余弦定理表示出 cosC, 将已知的等式代入求出 cosC 的值, 由 C 为三角形的内角, 利用特殊角的三角函数值即可求出 C 的度数. 解答: 解:∵a ﹣c +b =ab, ∴cosC= = = ,
2 2 2

又 C 为三角形的内角, 则 C=60°. 故选 C 点评: 此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关 键. 6. (5 分)在△ ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°, A. B. C. ,则 AC=() D.

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 结合已知,根据正弦定理, 解答: 解:根据正弦定理, , 可求 AC



故选 B 点评: 本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,属于基础试题 7. (5 分)已知 m、n 是不重合的直线,α、β 是不重合的平面,有下列命题: ①若 m?α,n∥α,则 m∥n; ②若 m∥α,m∥β,则 α∥β; ③若 α∩β=n,m∥n,则 m∥α 且 m∥β; ④若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β. 其中真命题的个数是() A.0 B. 1 C. 2 D.3 考点: 平面与平面平行的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 综合题.

分析: 要求解本题,根据平面与平面平行的判定与直线与平面平行的判定进行判定需要寻 找特例,进行排除即可. 解答: 解:①若 m?α,n∥α,则 m 与 n 平行或异面,故不正确; ②若 m∥α,m∥β,则 α 与 β 可能相交或平行,故不正确; ③若 α∩β=n,m∥n,则 m∥α 且 m∥β,m 也可能在平面内,故不正确; ④若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β,垂直与同一直线的两平面平行,故正确 故选:B 点评: 本题主要考查了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理,也蕴含 了对定理公理综合运用能力的考查,属中档题 8. (5 分)已知{an}为等差数列,若 a3+a4+a8=9,则 S9=() A.24 B.27 C.15

D.54

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据等差数列的通项公式,我们根据 a3+a4+a8=9,易求也 a5=3,由等差数列的前 n 项和公式,我们易得 S9= ,结合等差数列的性质“当 2q=m+n 时,2aq=am+an”,

得(a1+a9=2a5) ,即可得到答案. 解答: 解:设等差数列{an}的公差为 d, ∵a3+a4+a8=9 ∴(a1+2d)+(a1+3d)+(a1+7d)=9 即 3(a1+4d)=9 ∴a1+4d=3 即 a5=3 又∵S9= =9a5=27

故选 B 点评: 本题考查的知识点是等差数列的性质,等差数列的前 n 项和,其中利用等差数列的 性质“当 2q=m+n 时,2aq=am+an”,是解答本题的关键. 二.填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. (5 分)设{an}是首项 a1=1,公差 d=3 的等差数列,如果 an=2008,则序号 n 等于 670. 考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意结合等差数列的通项公式可得 n 的方程,解方程可得. 解答: 解:∵{an}是首项 a1=1,公差 d=3 的等差数列,且 an=2008, ∴1+3(n﹣1)=2008,解得 n=670 故答案为:670 点评: 本题考查等差数列的通项公式,属基础题. 10. (5 分)在等差数列{an}中,a3=19,a15=6,则 a4+a14 的值为 25.

考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的性质可得 a4+a14=a3+a15,代值计算可得. 解答: 解:∵在等差数列{an}中,a3=19,a15=6, ∴由等差数列的性质可得 a4+a14=a3+a15=19+6=25 故答案为:25 点评: 本题考查等差数列的性质,属基础题. 11. (5 分)设 Sn 是等差数列{an}(n∈N )的前 n 项和,且 a1=1,a4=7,则 S5=25. 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 先由 d= 求出公差 d,然后代入等差数列的求和公式即可求解
+

解答: 解:∵a1=1,a4=7, ∴d= ∴ =2 =25

故答案为:25 点评: 本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用,属于基础试题 12. (5 分)在△ ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边分别是 a,b,c 且满足 a:b:c=5:7:8, 则∠B=60°. 考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 根据题意设 a=5k, b=7k, c=8k, 利用余弦定理表示出 cosB, 把设出三边代入求出 cosB 的值,即可确定出 B 的度数. 解答: 解:设 a=5k,b=7k,c=8k, ∴cosB= = = ,

∵B 为三角形内角, ∴∠B=60°, 故答案为:60° 点评: 此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关 键.

13. (5 分)在三角形 ABC 中,A=120°,AB=5,BC=7,则

的值为 .

考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 先通过余弦定理及题设中的条件求出 AC 的值,再根据正弦定理得出结果. 解答: 解:根据余弦定理 cosA= ∴AC=3 或 AC=﹣8(排除) 根据正弦定理 ∴ = ,即 = =﹣

故答案为 点评: 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用.在解决三角形的问题中,常通过这连 个定理完成边和角的互化. 14. (5 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a= A=45°. ,b= ,B=60°,则

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用正弦定理列出关系式,将 a,b 及 sinB 的值代入计算,求出 sinA 的值,即可确 定出 A 的度数. 解答: 解:∵a= ,b= ,B=60°, ∴由正弦定理 = 得:sinA= = = ,

∵a<b,∴A<B, ∴A=45°. 故答案为:45° 点评: 此题考查了正弦定理,熟练掌握正弦定理是解本题的关键. 三.解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15. (12 分)在△ ABC 中,AB= (1)求 sinA 的值; (2)求 AC. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 计算题. 分析: (1) 利用同角三角函数基本关系, 根据 cosC, 求得 sinC, 进而利用正弦定理求得 sinA. (2)在三角形中根据已知的边与角,进而判断出能够利用余弦定理求得 b. 解答: 解: (1)在△ ABC 中,因为 , ,BC=1,cosC= .

所以

, 可得:
2 2 2

又由正弦定理:

. ,

(2)由余弦定理:AB =AC +BC ﹣2AC?BC?cosC 得: 所以整理可得: 解得 b=2 或 (舍去) , ,

所以 AC=2. 点评: 本题主要考查了正弦定理的应用,一元二次方程的解法,解题过程要灵活运用余弦 定理,属于基础题. 16. (12 分)从某学校 2015 届高三年级 800 名学生中随机抽取 50 名测量身高,据测量被抽取 的学生的身高全部介于 155cm 和 195cm 之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组,图 是按上述分组方法得到的条形图.

(1)根据已知条件填写下面表格: 组 别 1 2 3 4 5 6 7 8 样本数 (2)估计这所学校 2015 届高三年级 800 名学生中身高在 180cm 以上(含 180cm)的人数; (3)在样本中,若第二组有 1 人为男生,其余为女生,第七组有 1 人为女生,其余为男生, 在第二组和第七组中各选一名同学组成实验小组,问:实验小组中恰为一男一女的概率是多 少? 考点: 频率分布直方图. 专题: 计算题. 分析: (1)由频率分布直方图分析可得各数据段的频率,再由频率与频数的关系,可得频 数. (2) 从图得到身高在 180cm 以上的人数, 由此估计 2015 届高三年级 800 名学生中身高在 180cm 以上(含 180cm)的人数即可. (3)第三问是属于古典概型的问题,可通过基本事件列表法算出,如果一个事件有 n 种可能, 而且这些事件的可能性相同,其中事件 A 出现 m 种结果,那么事件 A 的概率 P(A)= . 解答: 解: (1) 由条形图得第七组频率为 1﹣ (0.04×2+0.08×2+0.2×2+0.3) =0.06, 0.06×50=3.

∴第七组的人数为 3 人. 组 别 1 2 3 4 5 6 7 8 样本数 2 4 10 10 15 4 3 2 (2)由条形图得前五组频率为(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82,后三组频率为 1﹣ 0.82=0.18. 估计这所学校 2015 届高三年级身高在 180cm 以上 (含 180cm) 的人数 800×0.18=144 (人) . (3)第二组四人记为 a、b、c、d,其中 a 为男生,b、c、d 为女生,第七组三人记为 1、2、 3,其中 1、2 为男生,3 为女生,基本事件列表如下: a b c 1 1 1a 1b 1c 1d 2 2a 2b 2c 2d 3 3a 3b 3c 3d 所以基本事件有 12 个,恰为一男一女的事件有 1b,1c,1d,2b,2c,2d,3a 共 7 个,因此实 验小组中,恰为一男一女的概率是 .

点评: 本题属于统计内容,考查分析频数分布直方图和频率的求法.解本题要懂得频率分 布直分图的意义,了解频率分布直分图是一种以频数为纵向指标的条形统计图. 17. (14 分)圆 C:x +y =8 内一点 P(﹣1,2) ,过点 P 的直线 l 的倾斜角为 α,直线 l 交圆 于 A,B 两点. (1)求当 时,弦 AB 的长;
2 2

(2)当弦 AB 被点 P 平分时,求直线 l 的方程; (3)在(2)的情况下,已知直线 l′与圆 C 相切,并且 l′⊥l,求直线 l′的方程. 考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 直线与圆. 分析: (1)由直线 l 的倾斜角的正切值,求出直线 l 的斜率,由 P 坐标与斜率即可写出 AB 的方程,利用点到直线的距离公式求出圆心到直线 AB 的距离 d,再由半径 r,利用垂径定理 及勾股定理即可求出弦 AB 的长; (2)当弦 AB 被点 P 平分时,此时过 P 的直径所在的直线与弦 AB 所在的直线垂直,由圆心 与 P 的坐标求出过 P 直径所在直线的斜率,利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1 求出直线 l 的 斜率,由 P 的坐标与求出的斜率写出直线 l 的方程即可. (3)若 l′⊥l,则 l′的斜率为﹣2,设 l′的方程为 2x+y+C=0,结合直线 l′与圆 C 相切,可得: 圆心(0,0)到 l′距离等于半径,进而求出直线 l′的方程. 解答: 解: (1)由直线 l 的倾斜角为 a= ,得到直线 l 斜率为﹣1,

则直线 AB 的解析式为 y﹣2=﹣(x+1) ,即 x+y﹣1=0, ∴圆心到直线 AB 的距离 d= 又圆的半径 r=2 则弦 AB 的长为 2 , = = ,

(2)由圆的方程得到圆心坐标为(0,0) ,

∵P(﹣1,2) , ∴过 P 的直径所在直线的斜率为﹣2, 根据垂径定理得到直线 l 方程斜率为 , 则直线 l 方程为 y﹣2= (x+1) , 即 x﹣2y+5=0. (3)若 l′⊥l,则 l′的斜率为﹣2, 设 l′的方程为 2x+y+C=0, 由直线 l′与圆 C 相切, 则圆心(0,0)到 l′距离等于半径, 即 ,

故 C=± , 故 l′的方程为 2x+y+± =0. 点评: 此题考查了直线与圆相交的性质,涉及的知识有:点到直线的距离公式,垂径定理, 勾股定理,两直线垂直时斜率满足的关系,以及直线的点斜式方程,当直线与圆相交时,常常 根据垂径定理由垂直得中点,然后利用勾股定理来解决问题. 18. (14 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面为正方形,侧棱 PA⊥底面 ABCD,且 PA=AD=2, E,F,H 分别是线段 PA,PD,AB 的中点. (Ⅰ)求证:PB∥平面 EFH; (Ⅱ)求证:PD⊥平面 AHF; (Ⅲ)求二面角 H﹣EF﹣A 的大小.

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 分析: (Ⅰ)要证 PB∥平面 EFH,须证 PB 平行平面 EFH 内的一条直线即可. (Ⅱ)要证 PD⊥平面 AHF,须证 PD 垂直面内两条相交直线即可. (Ⅲ)求二面角 H﹣EF﹣A 的大小.必须找出二面角的平面角,求解即可. 解答: 解法一: (Ⅰ)证明:∵E,H 分别是线段 PA,AB 的中点, ∴EH∥PB. 又∵EH?平面 EFH,PB?平面 EFH, ∴PB∥平面 EFH.

(Ⅱ)解:∵F 为 PD 的中点,且 PA=AD,∴PD⊥AF, 又∵PA⊥底面 ABCD,BA?底面 ABCD,∴AB⊥PA. 又∵四边形 ABCD 为正方形,∴AB⊥AD. 又∵PA∩AD=A,∴AB⊥平面 PAD. 又∵PD?平面 PAD,∴AB⊥PD. 又∵AB∩AF=A,∴PD⊥平面 AHF. (Ⅲ)∵PA⊥平面 ABCD,PA?平面 PAB,∴平面 PAB⊥平面 ABCD, ∵AD?平面 ABCD,平面 PAB∩平面 ABCD=AB,AD⊥AB,∴AD⊥平面 PAB, ∵E,F 分别是线段 PA,PD 的中点,∴EF∥AD,∴EF⊥平面 PAB. ∵EH?平面 PAB,EA?平面 PAB,∴EF⊥EH,∴EF⊥EA, ∴∠HEA 就是二面角 H﹣EF﹣A 的平面角. 在 Rt△ HAE 中, 所以二面角 H﹣EF﹣A 的大小为 45°. 解法二:建立如图所示的空间直角坐标系 A﹣xyz, ∴A(0,0,0) ,B(2,0,0) ,C(2,2,0) ,D(0,2,0) , P(0,0,2) ,E(0,0,1) ,F(0,1,1) ,H(1,0,0) . (Ⅰ)证明:∵ ∴ , , , ,∴∠AEH=45°,

∵PB?平面 EFH,且 EH?平面 EFH, ∴PB∥平面 EFH. (Ⅱ)解: , , . ∴PD⊥AF,PD⊥AH, 又∵AF∩AH=A,∴PD⊥平面 AHF. (Ⅲ)设平面 HEF 的法向量为 因为 , , , , ,







又因为平面 AEF 的法向量为



所以







所以二面角 H﹣EF﹣A 的大小为 45°.

点评: 本题考查空间直线与平面之间的位置关系,平面与平面之间的位置关系,是中档题. 19. (14 分)在等差数列{an}中,a16+a17+a18=a9=﹣36,其前 n 项为 Sn. (1)求 Sn 的最小值,并求出 Sn<0 时 n 的最大值; (2)求 Tn=|a1|+|a2|+…+|an|. 考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由已知条件求出 a17=﹣12,从而得到 d=3,由此求出前 n 项和,利用配方法能 求出 Sn 的最小值.由 Sn<0 得 (n ﹣41n)<0,解得即可. (2)数列{an}中,前 20 项小于 0,第 21 项等于 0,以后各项均为正数,所以当 n≤21 时,Tn= ﹣Sn,当 n>21 时,Tn=Sn﹣2S21,由此利用分类讨论思想能求出 Tn. 解答: 解: (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, ∵a16+a17+a18=3a17=﹣36,∴a17=﹣12, ∴d= = =3,
2

∴a9=a1+8×3=﹣36,解得 a1=﹣60, ∴Sn=﹣60n+ ×3= (n ﹣41n)= (n﹣
2

)﹣

2



∴当 n=20 或 n=21 时,Sn 取最小值﹣630. ∵Sn= (n ﹣41n)<0 ∴n<41, ∴n 的最大值为 40. (2) )∵a1=﹣60,d=3, ∴an=﹣60+(n﹣1)×3=3n﹣63, 由 an=3n﹣63≥0,得 n≥21,
2

∵a20=3×20﹣63=﹣3<0,a21=3×21﹣63=0, ∴数列{an}中,前 20 项小于 0,第 21 项等于 0,以后各项均为正数, 当 n≤21 时,Tn=﹣Sn=﹣ 当 n>21 时,Tn=Sn﹣2S21= =﹣ n +
2

n.
2

﹣2S21= n ﹣

n+1260.

综上,Tn=



点评: 本题考查数列的前 n 项和的最小值的求法,考查数列的各项的绝对值的和的求法, 是中档题,解题时要注意分类讨论思想的合理运用. 20. ( 14 分)已知函数 f(x)=( ) ,x∈,函数 g(x)=f (x)﹣2af(x)+3 的最小值为 h (a) . (1)求 h(a)的解析式; (2)是否存在实数 m,n 同时满足下列两个条件:①m>n>3;②当 h(a)的定义域为时, 值域为?若存在,求出 m,n 的值;若不存在,请说明理由. 考点: 函数单调性的性质;函数最值的应用. 分析: (1)g(x)为关于 f(x)的二次函数,可用换元法,转化为二次函数在特定区间上 的最值问题,定区间动轴; (2)由(1)可知 a≥3 时,h(a)为一次函数且为减函数,求值域,找关系即可. 解答: 解: (1)由 已知 令 设 f(x)=t,则 g(x)=y=t ﹣2at+3,则 g(x)的对称轴为 t=a,故有: ①当 时,g(x)的最小值 h(a)=
2 x 2

, ,

②当 a≥3 时,g(x)的最小值 h(a)=12﹣6a ③当 时,g(x)的最小值 h(a)=3﹣a
2

综上所述,

(2)当 a≥3 时,h(a)=﹣6a+12,故 m>n>3 时,h(a)在上为减函数, 所以 h(a)在上的值域为.

由题意,则
2

?
2



两式相减得 6n﹣6m=n ﹣m , 又 m≠n,所以 m+n=6,这与 m>n>3 矛盾, 故不存在满足题中条件的 m,n 的值. 点评: 本题主要考查一次二次函数的值域问题,二次函数在特定区间上的值域问题一般结 合图象和单调性处理,“定轴动区间”、“定区间动轴”.


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