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2015-2016学年浙江省杭州市富阳市场口中学高二(上)12月质检数学试卷


2015-2016 学年浙江省杭州市富阳市场口中学高二(上)12 月质 检数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一个符合题目要求的) 1.双曲线 的渐近线方程是( )

A.y=±x

B.

C.

D. 垂直,则 a 的

值是( )

2.已知直线 l1:x+ay+1=0 与直线 A.2 B.﹣2 C. D.

3.如果 ac<0,bc<0,那么直线 ax+by+c=0 不通过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.若直线 l∥平面 α,直线 m? α,则 l 与 m 的位置关系是( A.l∥m B.l 与 m 异面 C.l 与 m 相交 D.l 与 m 没有公共点 5.已知椭圆 E:



的右焦点为 F(3,0) ,过点 F 的直线交椭圆 E 于 A、 )

B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,﹣1) ,则 E 的方程为( A. B.

C.

D.

6.若椭圆

+

=1(a>b>0)和圆 x2+y2=( +c)2, (c 为椭圆的半焦距) ,有四个不同的 ) D. ,则 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值

交点,则椭圆的离心率 e 的取值范围是( A. B. C.

7.如图 ABCD﹣A1B1C1D1 是正方体,B1E1=D1F1= 是( )

-1-

A.

B.

C.

D.

8. 0) 0) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知△ABC 顶点 A (﹣4, 和C (4, , 顶点 B 在椭圆

上,则 A. B.

=( C.

) D.

9.已知点 A(2,﹣3) 、B(﹣3,﹣2)直线 l 过点 P(1,1) ,且与线段 AB 相交,则直线 l 的斜率 k 的取值范围是( ) A. 或 k≤﹣4 B. 或 C. D. )

10.若直线 y=kx+4+2k 与曲线 A.[1,+∞)

有两个交点,则 k 的取值范围是(

B.[﹣1,﹣ ) C. ( ,1] D. (﹣∞,﹣1]

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.已知一个几何体的三视图及其尺寸如图所示(单位 cm) ,则它的体积为

cm3.

12.已知圆 x2﹣4x﹣4+y2=0 上的点 P(x,y) ,求 x2+y2 的最大值 . 2 2 13.已知圆 x +y =4 和圆外一点 P(﹣2,﹣3) ,则过点 P 的圆的切线方程为 . 14.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 为 BC1 的中点,则 DE 与面 BCC1B1 所成角的 正切值为 .

-2-

15.如果对任何实数 k,直线(3+k)x+(1﹣2k)y+1+5k=0 都过一个定点 A,那么点 A 的坐 标是 . 16.空间四个点 P、A、B、C 在同一球面上,PA、PB、PC 两两垂直,且 PA=PB=PC=a,那 么这个球面的面积是 . 17.如图,已知 F1,F2 是椭圆 C: (a>b>0)的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上, .

线段 PF2 与圆 x2+y2=b2 相切于点 Q,且点 Q 为线段 PF2 的中点,则椭圆 C 的离心率为

三、解答题(本题有 4 小题,总共 42 分,请写出必要的解答过程. ) 18.如图, PD=DC=2, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD⊥底面 ABCD, E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明:PA∥平面 EDB; (2)证明:PB⊥平面 EFD.

19.已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线 4x+3y﹣29=0 相切. (Ⅰ)求圆的方程; (Ⅱ)设直线 ax﹣y+5=0(a>0)与圆相交于 A,B 两点,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数 a,使得弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P(﹣2,4) ,若 存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由.

-3-

20.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,底面是等腰直角三角形,AC=BC=2,∠ACB=90°, 侧棱 AA1=2,D 是 CC1 的中点. (1)求二面角 D﹣AB﹣C 的平面角的正切值; (2)求 A1B 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值.

21.已知椭圆

=1(a>b>0)的离心率 e=

,左、右焦点分别为 F1、F2,点

,点 F2 在线段 PF1 的中垂线上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 交于 M、N 两点,直线 F2M 与 F2N 的倾斜角分别为 α,β, 且 α+β=π,求证:直线 l 过定点,并求该定点的坐标.

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2015-2016 学年浙江省杭州市富阳市场口中学高二(上) 12 月质检数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一个符合题目要求的) 1.双曲线 的渐近线方程是( )

A.y=±x

B.

C.

D.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】求出双曲线的 a,b 结合双曲线的渐近线方程进行求解即可. 【解答】解:由双曲线的方程得 a2=1,b2=3, 即 a=1,b= ,则双曲线的渐近线方程为 y=± x=± =0,得 y2=3x2, x,

法 2,令 1 为 0,则由 x2﹣ 即 y=± x, 故选:C.

2.已知直线 l1:x+ay+1=0 与直线 A.2 B.﹣2 C. D.

垂直,则 a 的值是(



【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系. 【分析】根据直线 l2 的斜率以及两直线垂直的性质可得直线 l1 的斜率的值,待定系数法求出 a 的值. 【解答】解:∵直线 l2 的斜率为 ,直线 l1:x+ay+1=0 与直线 ∴直线 l1 的斜率等于﹣2,即 ∴a= , 故选 C. 3.如果 ac<0,bc<0,那么直线 ax+by+c=0 不通过( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系. ) =﹣2, 垂直,

-5-

【分析】先把直线 ax+by+c=0 化为 y=﹣ 数形结合即可获取答案. 【解答】解:∵直线 ax+by+c=0 可化为 y=﹣ ac<0,bc<0 ∴ab>0, ∴﹣ <0,﹣ >0, ∴直线过一、二、四象限,不过第三象限. 故答案选 C.

再由 ac<0,bc<0 得到﹣ <0,﹣ >0,



4.若直线 l∥平面 α,直线 m? α,则 l 与 m 的位置关系是( A.l∥m B.l 与 m 异面 C.l 与 m 相交 D.l 与 m 没有公共点



【考点】空间中直线与直线之间的位置关系. 【分析】由线面平行的定义可判断 l 与 α 无公共点,直线 m 在平面 α 内,故 l∥m,或 l 与 m 异面. 【解答】解:∵直线 l∥平面 α,由线面平行的定义知 l 与 α 无公共点, 又直线 m 在平面 α 内, ∴l∥m,或 l 与 m 异面, 故选 D.

5.已知椭圆 E:

的右焦点为 F(3,0) ,过点 F 的直线交椭圆 E 于 A、 )

B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,﹣1) ,则 E 的方程为( A. B.

C.

D.

【考点】椭圆的标准方程.

【分析】设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,代入椭圆方程得

,利用“点差法”可得

.利用中点坐标公式可得 x1+x2=2,y1+y2=﹣2,利用斜率计算

-6-

公式可得

=

= .于是得到

,化为 a2=2b2,再利用

c=3=

,即可解得 a2,b2.进而得到椭圆的方程.

【解答】解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,

代入椭圆方程得



相减得







∵x1+x2=2,y1+y2=﹣2,

=

= .



, ,解得 a2=18,b2=9.

化为 a2=2b2,又 c=3=

∴椭圆 E 的方程为 故选 D.



6.若椭圆

+

=1(a>b>0)和圆 x2+y2=( +c)2, (c 为椭圆的半焦距) ,有四个不同的 ) D.

交点,则椭圆的离心率 e 的取值范围是( A. B. C.

【考点】圆与圆锥曲线的综合. 4c2>b2, , 得 2c>b, 再平方,

【分析】 由题设知

, 由

; 由



得 b+2c<2a,

.综上所述,



-7-

【解答】解:∵椭圆 心都在原点, 且它们有四个交点,

和圆

为椭圆的半焦距)的中

∴圆的半径





,得 2c>b,再平方,4c2>b2,

在椭圆中,a2=b2+c2<5c2, ∴ 由 ; ,得 b+2c<2a,

再平方,b2+4c2+4bc<4a2, ∴3c2+4bc<3a2, ∴4bc<3b2, ∴4c<3b, ∴16c2<9b2, ∴16c2<9a2﹣9c2, ∴9a2>25c2, ∴ ,



. .

综上所述, 故选 A.

7.如图 ABCD﹣A1B1C1D1 是正方体,B1E1=D1F1= 是( )

,则 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值

-8-

A.

B.

C.

D.

【考点】异面直线及其所成的角. 【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点 E1,得到的锐角或直角就是异面直线 所成的角,在三角形中再利用余弦定理求出此角即可. 【解答】解:如图 先将 F1D 平移到 AF,再平移到 E1E, ∠EE1B 为 BE1 与 DF1 所成的角 设边长为 4 则,E1E=E1B= ,BE=2 cos∠EE1B= ,故选 A

8. 0) 0) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知△ABC 顶点 A (﹣4, 和C (4, , 顶点 B 在椭圆

上,则 A. B.

=( C.

) D.

【考点】椭圆的简单性质;正弦定理的应用. C 是椭圆的两个焦点, AB+BC=2a=10, AC=8, 【分析】 由椭圆的性质得到 A、 由椭圆的定义知, 再利用正弦定理得 = ,从而求出结果.

【解答】解:椭圆 个焦点,

中.a=5,b=3,c=4,故 A(﹣4,0)和 C(4,0)是椭圆的两

∴AB+BC=2a=10,AC=8,由正弦定理得 ∴ 故选 D. = = = = ,

=

=

=2r,

9.已知点 A(2,﹣3) 、B(﹣3,﹣2)直线 l 过点 P(1,1) ,且与线段 AB 相交,则直线 l 的斜率 k 的取值范围是( )

-9-

A.

或 k≤﹣4

B.



C.

D.

【考点】直线的斜率. 【分析】画出图形,由题意得 所求直线 l 的斜率 k 满足 k≥kPB 或 k≤kPA,用直线的斜率公 式求出 kPB 和 kPA 的值, 解不等式求出直线 l 的斜率 k 的取值范围. 【解答】解:如图所示:由题意得,所求直线 l 的斜率 k 满足 k≥kPB 或 k≤kPA, 即 k≥ 或 k≤4 故选:A.

10.若直线 y=kx+4+2k 与曲线 A.[1,+∞)

有两个交点,则 k 的取值范围是(



B.[﹣1,﹣ ) C. ( ,1] D. (﹣∞,﹣1]

【考点】直线与圆锥曲线的关系. 【分析】将曲线方程变形判断出曲线是上半圆;将直线方程变形据直线方程的点斜式判断出 直线过定点;画出图形,数形结合求出满足题意的 k 的范围. 【解答】解:曲线 即 x2+y2=4, (y≥0)

表示一个以(0,0)为圆心,以 2 为半径的位于 x 轴上方的半圆,如图所示: 直线 y=kx+4+2k 即 y=k(x+2)+4 表示恒过点(﹣2,4)斜率为 k 的直线 结合图形可得 ,



解得

∴要使直线与半圆有两个不同的交点,k 的取值范围是 故选 B

- 10 -

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.已知一个几何体的三视图及其尺寸如图所示(单位 cm) ,则它的体积为 12π

cm3.

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图判断几何体为一底面圆的直径为 6,母线长为 5 的圆锥,求出圆锥的高,代 入圆锥的体积公式计算可得答案. 【解答】解:由三视图判断几何体为圆锥,其底面圆的直径为 6,母线长为 5, ∴底面圆的半径为 3,高为 ∴体积 V= π×32×4=12π. 故答案是 12π. 12.已知圆 x2﹣4x﹣4+y2=0 上的点 P(x,y) ,求 x2+y2 的最大值 . 【考点】点与圆的位置关系. 【分析】利用圆的方程求出 x 的范围,然后整理出 x2+y2 的表达式,即可求出最大值. 【解答】解:因为圆 x2﹣4x﹣4+y2=0 化为(x﹣2)2+y2=8,所以(x﹣2)2≤8, 解得 2﹣2 ≤x≤2+2 , 圆上的点 P(x,y) , 2 2 所以 x +y =4x+4≤ . 故答案为: . 13.已知圆 x2+y2=4 和圆外一点 P(﹣2,﹣3) ,则过点 P 的圆的切线方程为 x=﹣2 或 5x﹣ 12y﹣26=0 . =4,

- 11 -

【考点】圆的切线方程. 【分析】圆 x2+y2=4 的圆心坐标为(0,0) ,半径 r=2,当过 P 的切线方程斜率不存在时,x= ﹣2 为圆的切线;当过 P 的切线方程斜率存在时,设切线方程为 kx﹣y+2k﹣3=0,圆心到切线 的距离 d= =r=2,由此能求出切线方程.

【解答】解:由圆 x2+y2=4,得到圆心坐标为(0,0) ,半径 r=2, 当过 P 的切线方程斜率不存在时,x=﹣2 为圆的切线; 当过 P 的切线方程斜率存在时, 设斜率为 k,p(﹣2,﹣3) , ∴切线方程为 y+3=k(x+2) ,即 kx﹣y+2k﹣3=0, ∵圆心到切线的距离 d= =r=2,

解得:k=



此时切线方程为 5x﹣12y﹣26=0, 综上,切线方程为 x=﹣2 或 5x﹣12y﹣26=0. 故答案为:x=﹣2 或 5x﹣12y﹣26=0. 14.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 为 BC1 的中点,则 DE 与面 BCC1B1 所成角的 正切值为 .

【考点】直线与平面所成的角. 【分析】以 D 为原点,以 DA 为 x 轴,以 DC 为 y 轴,以 DD1 为 z 轴,建立空直角坐标系, 利用向量法能求出 DE 与面 BCC1B1 所成角的正切值. 【解答】解:设正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 2, 以 D 为原点,以 DA 为 x 轴,以 DC 为 y 轴, 以 DD1 为 z 轴,建立空直角坐标系, ∵E 为 BC1 的中点, ∴D(0,0,0) ,E(1,2,1) , ∴ =(1,2,1) , 设 DE 与面 BCC1B1 所成角的平面角为 θ, ∵面 BCC1B1 的法向量 =(0,1,0) , ∴sinθ=|cos< ∴cosθ= ∴tanθ= , . , >|=| |= ,

- 12 -

故答案为:



15.如果对任何实数 k,直线(3+k)x+(1﹣2k)y+1+5k=0 都过一个定点 A,那么点 A 的坐 标是 (﹣1,2) . 【考点】恒过定点的直线. 【分析】由(3+k)x+(1﹣2k)y+1+5k=0 可得 3x+y+1+k(x﹣2y+5)=0,进而有 x﹣2y+5=0 且 3x+y+1=0,由此即可得到结论. 【解答】解:由(3+k)x+(1﹣2k)y+1+5k=0 可得 3x+y+1+k(x﹣2y+5)=0 ∴x﹣2y+5=0 且 3x+y+1=0 ∴x=﹣1,y=2 ∴对任何实数 k,直线(3+k)x+(1﹣2k)y+1+5k=0 都过一个定点 A(﹣1,2) 故答案为: (﹣1,2) 16.空间四个点 P、A、B、C 在同一球面上,PA、PB、PC 两两垂直,且 PA=PB=PC=a,那 么这个球面的面积是 3πa2 . 【考点】球内接多面体. 【分析】PA、PB、PC 可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱,所以过空间四个点 P、A、 B、C 的球面即为棱长为 a 的正方体的外接球,球的直径即是正方体的对角线,求出对角线长, 即可求出球的表面积. A、 B、 C 在同一球面上, PA、 PB、 PC 两两垂直, 【解答】 解: 空间四个点 P、 且 PA=PB=PC=a, 则 PA、PB、PC 可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱,所以过空间四个点 P、A、B、C 的球面即为棱长为 a 的正方体的外接球,球的直径即是正方体的对角线,长为 ,所以这 个球面的面积 故答案为:3πa2 .

17.如图,已知 F1,F2 是椭圆 C:

(a>b>0)的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,

线段 PF2 与圆 x2+y2=b2 相切于点 Q, 且点 Q 为线段 PF2 的中点, 则椭圆 C 的离心率为



- 13 -

【考点】圆与圆锥曲线的综合. 【分析】本题考察的知识点是平面向量的数量积的运算,及椭圆的简单性质,由 F1、F2 是椭 圆 (a>b>0)的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF2 与圆 x2+y2=b2 相切

于点 Q,且点 Q 为线段 PF2 的中点,连接 OQ,F1P 后,我们易根据平面几何的知识,根据切 线的性质及中位线的性质得到 PF2⊥PF1,并由此得到椭圆 C 的离心率. 【解答】解:连接 OQ,F1P 如下图所示: 则由切线的性质,则 OQ⊥PF2, 又由点 Q 为线段 PF2 的中点,O 为 F1F2 的中点 ∴OQ∥F1P ∴PF2⊥PF1, 故|PF2|=2a﹣2b, 且|PF1|=2b,|F1F2|=2c, 则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2 得 4c2=4b2+4(a2﹣2ab+b2) 解得:b= a 则 c= 故椭圆的离心率为: 故答案为: .

三、解答题(本题有 4 小题,总共 42 分,请写出必要的解答过程. ) 18.如图, PD=DC=2, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD⊥底面 ABCD, E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明:PA∥平面 EDB;

- 14 -

(2)证明:PB⊥平面 EFD.

【考点】直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 【分析】 (1)由题意连接 AC,AC 交 BD 于 O,连接 EO,则 EO 是中位线,证出 PA∥EO, 由线面平行的判定定理知 PA∥平面 EDB; (2)由 PD⊥底面 ABCD 得 PD⊥DC,再由 DC⊥BC 证出 BC⊥平面 PDC,即得 BC⊥DE, 再由 ABCD 是正方形证出 DE⊥平面 PBC,则有 DE⊥PB,再由条件证出 PB⊥平面 EFD. 【解答】解: (1)证明:连接 AC,AC 交 BD 于 O.连接 EO. ABCD ∵底面 是正方形,∴点 O 是 AC 的中点. ∴在△PAC 中,EO 是中位线,∴PA∥EO, ∵EO? 平面 EDB,且 PA?平面 EDB, ∴PA∥平面 EDB. (2)证明:∵PD⊥底面 ABCD,且 DC? 底面 ABCD,∴PD⊥BC. ∵底面 ABCD 是正方形,∴DC⊥BC, ∴BC⊥平面 PDC.∵DE? 平面 PDC,∴BC⊥DE. 又∵PD=DC,E 是 PC 的中点,∴DE⊥PC.∴DE⊥平面 PBC. ∵PB? 平面 PBC,∴DE⊥PB.又∵EF⊥PB,且 DE∩EF=E, ∴PB⊥平面 EFD.

19.已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线 4x+3y﹣29=0 相切. (Ⅰ)求圆的方程;

- 15 -

(Ⅱ)设直线 ax﹣y+5=0(a>0)与圆相交于 A,B 两点,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数 a,使得弦 AB 的垂直平分线 l 过点 P(﹣2,4) ,若 存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由. 【考点】直线和圆的方程的应用;圆的标准方程. 【分析】 (Ⅰ)设圆心为 M(m,0) (m∈Z) .由于圆与直线 4x+3y﹣29=0 相切,且半径为 5, 所以 ,由此能求了圆的方程.

(Ⅱ)把直线 ax﹣y+5=0 代入圆的方程,得(a2+1)x2+2(5a﹣1)x+1=0,由于直线 ax﹣y+5=0 交圆于 A,B 两点,故△=4(5a﹣1)2﹣4(a2+1)>0,由此能求出实数 a 的取值范围. (Ⅲ)设符合条件的实数 a 存在,则直线 l 的斜率为 ,l 的方程为 ,由于 使得过点 P(﹣2,

l 垂直平分弦 AB,故圆心 M(1,0)必在 l 上,由此推导出存在实数 4)的直线 l 垂直平分弦 AB. 【解答】 (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)设圆心为 M(m,0) (m∈Z) . 由于圆与直线 4x+3y﹣29=0 相切,且半径为 5, 所以 ,

即|4m﹣29|=25.因为 m 为整数,故 m=1. 故所求圆的方程为(x﹣1)2+y2=25. … (Ⅱ)把直线 ax﹣y+5=0,即 y=ax+5, 代入圆的方程,消去 y, 整理,得(a2+1)x2+2(5a﹣1)x+1=0, 由于直线 ax﹣y+5=0 交圆于 A,B 两点, 故△=4(5a﹣1)2﹣4(a2+1)>0, 即 12a2﹣5a>0, 由于 a>0,解得 a> , ) .

所以实数 a 的取值范围是( (Ⅲ)设符合条件的实数 a 存在, 则直线 l 的斜率为 l 的方程为 , ,

即 x+ay+2﹣4a=0 由于 l 垂直平分弦 AB,故圆心 M(1,0)必在 l 上, 所以 1+0+2﹣4a=0,解得 由于 .

,故存在实数

使得过点 P(﹣2,4)的直线 l 垂直平分弦 AB.…

- 16 -

20.如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,底面是等腰直角三角形,AC=BC=2,∠ACB=90°, 侧棱 AA1=2,D 是 CC1 的中点. (1)求二面角 D﹣AB﹣C 的平面角的正切值; (2)求 A1B 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面所成的角. 【分析】 (Ⅰ)取 AB 中点 E,连接 DE,CE,证明∠DEC 即为二面角 D﹣AB﹣C 的平面角, 即可求二面角 D﹣AB﹣C 的平面角的正切值; (2)连接 BC1,证明∠A1BC1 即为 A1B 与平面 BB1C1C 所成角,即可求 A1B 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值. 【解答】解: (Ⅰ)取 AB 中点 E,连接 DE,CE 因为直棱柱,CC1⊥面 ABC,所以 CC1⊥AB, 又因为△ABC 为等腰直角三角形, 所以 CE⊥AB,所以 AB⊥面 DEC,即 AB⊥DE, 所以∠DEC 即为二面角 D﹣AB﹣C 的平面角 因为 CD=1,CE= ,

(II)连接 BC1. 因为直棱柱,所以 CC1⊥AC,且 AC∥A1C1,所以 CC1⊥A1C1. 而由于 AC⊥BC,所以 A1C1⊥B1C1, 所以 A1C1⊥面 BB1C1C, 所以∠A1BC1 即为 A1B 与平面 BB1C1C 所成角. 因为 A1C1=2,BC1= ,所以 sin∠A1BC1= .

21.已知椭圆

=1(a>b>0)的离心率 e=

,左、右焦点分别为 F1、F2,点

,点 F2 在线段 PF1 的中垂线上.

- 17 -

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 交于 M、N 两点,直线 F2M 与 F2N 的倾斜角分别为 α,β, 且 α+β=π,求证:直线 l 过定点,并求该定点的坐标. 【考点】椭圆的标准方程;恒过定点的直线;直线与圆锥曲线的综合问题. 【分析】 (1)根据椭圆的离心率求得 a 和 c 的关系,进而根据椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1 (﹣c,0) ,F2(c,0)又点 F2 在线段 PF1 的中垂线上推断|F1F2|=|PF2|,进而求得 c,则 a 和 b 可得,进而求得椭圆的标准方程. (2)设直线 MN 方程为 y=kx+m,与椭圆方程联立消去 y,设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,根 据韦达定理可表示出 x1+x2 和 x1x2,表示出直线 F2M 和 F2N 的斜率,由 α+β=π 可推断两直线 斜率之和为 0, 把 x1+x2 和 x1x2 代入即可求得 k 和 m 的关系, 代入直线方程进而可求得直线过 定点. 【解答】解: (1)由椭圆 C 的离心率 得 ,其中 ,

椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1(﹣c,0) ,F2(c,0)又点 F2 在线段 PF1 的中垂线上 ∴|F1F2|=|PF2|,∴ ∴ . 解得 c=1,a2=2,b2=1,

(2)由题意,知直线 MN 存在斜率,设其方程为 y=kx+m.由 消去 y,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2﹣2=0.设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 2 2 2 则△=(4km) ﹣4(2k +1) (2m ﹣2)≥0 2 2 即 2k ﹣m +1≥0 则 ,且

由已知 α+β=π,得 化简,得 2kx1x2+(m﹣k) (x1+x2)﹣2m=0 ∴ 整理得 m=﹣2k.



∴直线 MN 的方程为 y=k(x﹣2) ,因此直线 MN 过定点,该定点的坐标为(2,0)

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2016 年 11 月 17 日

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