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2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题


2011 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上) 1. 复数 (1 ? i)4 ? (1 ? i)4 ? .

2. 已知直线 x ? my ? 1 ? 0 是圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 5 ? 0 的一条对称轴,则实数

r />m?

.

3. 某班共有 30 名学生,若随机抽查两位学生的作业,则班长或团支书的作业被抽中的 概率是 4. 已知 cos4? ? (结果用最简分数表示) .

1 ,则 sin 4 ? ? cos 4 ? ? 5



5. 已知向量 a,b 满足 a ? b ? 2, ? a, b ?? 为邻边的平行四边形的面积为

π ,则以向量 2a ? b 与 3a ? b 表示的有向线段 3


6. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若{Sn}是首项及公比都为 2 的等比数列,则数列{an3} 的前 n 项和等于 . .

7. 设函数 f ( x) ? x2 ? 2 .若 f(a)=f(b),且 0<a<b,则 ab 的取值范围是 8. 设 f(m)为数列{an}中小于 m 的项的个数,其中 an ? n2 , n ? N * , 则 f [ f (2011)] ? .

9. 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的正三棱柱的三条侧棱上,则此直角 三角形的斜边长是 .

10.已知 m 是正整数,且方程 2 x ? m 10 ? x ? m ? 10 ? 0 有整数解,则 m 所有可能的值 是 .

二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) 11.已知圆 x2 ? y 2 ? 1 与抛物线 y ? x 2 ? h 有公共点,求实数 h 的取值范围.

2 12 . 设 f ( x) ? x ? bx? c ( b , c ? R ). 若 x ≥ 2 时 ,

A

f ( x )≥ 0,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大值为

1,求 b2 ? c 2 的最大值和最小值.

P

B

C

13.如图,P 是 ? ABC 内一点.

1 (1)若 P 是 ? ABC 的内心,证明: ?BPC ? 90? ? ?BAC ; 2

1 1 (2)若 ?BPC ? 90? ? ?BAC 且 ?APC ? 90? ? ?ABC ,证明:P 是 ? ABC 的内心. 2 2

14.已知 ? 是实数,且存在正整数 n0,使得 n0 ? ? 为正有理数. 证明:存在无穷多个正整数 n,使得 n ? ? 为有理数.

2011 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题 答案及点评
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上) 1. 复数 (1 ? i)4 ? (1 ? i)4 ? 答案:-8 .

2. 已知直线 x ? my ? 1 ? 0 是圆 C : x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 5 ? 0 的一条对称轴,则实数

m?
答案: ?

.

3 2

3. 某班共有 30 名学生,若随机抽查两位学生的作业,则班长或团支书的作业被抽中的 概率 是 答案: (结果用最简分数表示) .

19 145 1 ,则 sin 4 ? ? cos 4 ? ? 5


4. 已知 cos4? ? 答案:

4 5 π ,则以向量 2a ? b 与 3a ? b 表示的有向线段 3


5. 已知向量 a,b 满足 a ? b ? 2, ? a, b ?? 为邻边的平行四边形的面积为 答案: 10 3

6. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.若{Sn}是首项及公比都为 2 的等比数列,则数列{an3} 的前 n 项和等于 .

1 答案: (8n ? 48) 7
7. 设函数 f ( x) ? x2 ? 2 .若 f(a)=f(b),且 0<a<b,则 ab 的取值范围是 答案:(0,2) 8. 设 f(m)为数列{an}中小于 m 的项的个数,其中 an ? n2 , n ? N * , 则 f [ f (2011)] ? 答案:6 9. 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的正三棱柱的三条侧棱上,则此直角 三角 形的斜边长是 . . .

答案:4 3 10.已知 m 是正整数,且方程 2 x ? m 10 ? x ? m ? 10 ? 0 有整数解,则 m 所有可能的值 是 答案:3,14,30 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) 11.已知圆 x2 ? y 2 ? 1 与抛物线 y ? x 2 ? h 有公共点,求实数 h 的取值范围. 解:设公共点(cosθ,sinθ) ,代入抛物线方程, .

1 5 得 h ? sin ? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? sin ? ? 1 ? (sin ? ? )2 ? 2 4 ? 5 ? 因为 sin ? ? ? ?1,1? ,所以 h ? ? ? ,1? ? 4 ?
12.设 f ( x) ? x2 ? bx ? c( b, c? R ) .若 x ≥ 2 时, f ( x ) ≥ 0 ,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最 大值为 1,求 b2 ? c 2 的最大值和最小值. 解:由题意函数图象为开口向上的抛物线,且 f ( x) 在区间 ? 2,3? 上的最大值只能在闭端点 取得, 故有 f (2) ≤ f (3) ? 1,从而 b ≥ ?5 且 c ? ?3b ? 8 . 若 f ( x) ? 0 有实根,则 ? ? b2 ? 4c ≥ 0 ,
4 ? ? b≤? , ? ? f ( ?2) ≥ 0, 4 ? 2 b ? c ≥ 0, ? 5 ? ? ? 在区间 ? ?2,2? 有 ? f (2) ≥ 0, 即 ? 4 ? 2b ? c ≥ 0, 消去 c,解出 ?b ≤ ?4, ? ? ?4 ≤ b ≤ 4, ? ?4 ≤ b ≤ 4, b ? ?2 ≤ ≤ 2, ? ? ? 2 ?

即 b ? ?4 ,这时 c ? 4 ,且 ? ? 0 . 若 f ( x) ? 0 无实根,则 ? ? b2 ? 4c ? 0 ,将 c ? ?3b ? 8 代入解得 ?8 ? b ? ?4 . 综上 ?5 ≤ b ≤ ?4 . 所以 b2 ? c2 ? b2 ? (?3b ? 8)2 ? 10b2 ? 48b ? 64 ,单调递减 故 (b2 ? c2 )min ? 32,(b2 ? c2 )max ? 74 .

13.如图,P 是 ? ABC 内一点.

1 (1)若 P 是 ? ABC 的内心,证明: ?BPC ? 90? ? ?BAC ; 2 1 1 (2)若 ?BPC ? 90? ? ?BAC 且 ?APC ? 90? ? ?ABC ,证明:P 是 ? ABC 的内心. 2 2

1 1 1 证明: (1) ?BPC ? 180? ? (?ABC ? ?ACB) ? 180? ? (180? ? ?BAC) ? 90? ? ?BAC 2 2 2
A

P

B

C

14.已知 ? 是实数,且存在正整数 n0,使得 n0 ? ? 为正有理数. 证明:存在无穷多个正整数 n,使得 n ? ? 为有理数. 证明:设 n0 ? ? ?
q q2 ,其中 p,q 为互质的正整数,则 n0 ? ? ? 2 . p p

设 k 为任意的正整数,构造 n ? p2 k 2 ? 2qk ? n0 ,

则 n ?? ?

p 2 k 2 ? 2qk ? n0 ? ? ?

p 2 k 2 ? 2qk ?

q2 q ? pk ? ? Q . p2 p


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