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江苏省徐州市2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试卷(扫描版)


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2014—2015 学年度第一学期期末抽测

/>高二数学(理)试题参考答案
一、填空题: 1. 1 10. 0 2.60 3.5 4.80 5. 2 是自然数 6. 4 2 7.

6 7

8.36

9.2

11. 144

12. 3

13. 2n3

14. ? ?6,16 ?

二、解答题: 15.⑴由 ? z ? 2 ? i ? ?3 ? i ,得 zi ? ?3 + i ,……………………………………………2 分

?3 + i ? 1 + 3i .…………………………………………………………………6 分 i ⑵因为 z ? 1 + 3i ,
所以 z ? 所以

x + i x + i ? x + i ??1 ? 3i ? 1 ? ? ? ? ? x + 3? + ?1 ? 3x ? i ? ? ,…………………………10 分 z 1 + 3i 10 10 ?

因为

x+i 1 ? x + 3 ? 0, 对应的点在第一象限,所以 ? 解得 ?3 ? x ? . z 3 ?1 ? 3 x ? 0, 1 3

所以,实数 x 的取值范围是 (?3, ) .……………………………………………………14 分 16.⑴展开式的第 r + 1 项为:

Tr +1 ? C

r n

? x?

n?r

2 n ?3r 1 ? ? r ?1? r 4 ? ? ? 1 C x ? ? ? r ? 0,1, 2, n ? ? ? 4 ? ?2? ? 2 x?

r

r

, n ? .……………………4 分

当 r ? 4 时,

2n ? 3r ? 0 ,即 2n ? 12 ? 0 ,所以 n ? 6 .………………………………8 分 4
r 12 ? 3 r 4

r ?1? r ⑵因为 Tr +1 ? ? ?1? ? ? Cn x 2 ? ?

? r ? 0,1, 2,

,6 ? .……………………………………10 分

12 ? 3r 为整数,…………………………………………………12 分 4 15 所以,有理项为 T1 ? x 3 , T5 ? .……………………………………………………14 分 16
当且仅当 r ? 0 , 4 时,
1? ?2 ?3 ? 2? 17. ⑴ A ? ? ? .…………………………………………………………………2 分 ?? 1 1 ? ? 3 2 ? ? ?
?1

? ?3 ?3 ?3 3 ? ⑵矩阵 A ? ? 的特征多项式为 f (? ) ? ? ? 2 ? 7? ? 6 , ? 2 4 ? 2 ? ? 4 ? ?
令 f (? ) ? 0 ,得到 A 的特征值为 ?1 ? 6 , ?2 ? 1 .………………………………4 分
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?(? ? 3) x ? 3 y ? 0, 将 ?1 ? 6 代入方程组 ? 解得 x ? y , ??2 x ? (? ? 4) y ? 0,
?1? 所以矩阵 A 的属于特征值 6 的一个特征向量为 ?1 ? ? ? .………………………6 分 ?1?

?(? ? 3) x ? 3 y ? 0, 再将 ?2 ? 1 代入方程组 ? 解得 2 x ? ?3 y , ??2 x ? (? ? 4) y ? 0,
? 3? 所以矩阵 A 的属于特征值 1 的一个特征向量为 ? 2 ? ? ? .……………………8 分 ? ?2 ?

⑶设 ? x0 , y0 ? 是圆 x 2 + y 2 ? 1 上任意一点,它在经过矩阵 A 对应的变换后得到点 ? x, y ? , 由? ? ?? ? ,得 ? y ? 2 x + 4 y , …………………………12 分 ?? ? ? ? ? y ? ? 2 4 ? ? y0 ? ? 2 x0 + 4 y0 ? 0 0 ?

? x?

? 3 3 ? ? x0 ?

? 3x0 + 3 y0 ?

? x ? 3x0 + 3 y0 ,

4x ? 3y ? x ? , ? ? 0 6 解得 ? ? y ? ?2 x + 3 y , 0 ? 6 ?
2 2 代入 x0 + y0 ? 1 ,整理得 10 x 2 + 9 y 2 ? 18 xy ? 18 ? 0 ,即为所求.…………………14 分

18.⑴曲线 C 的普通方程为

x2 y 2 + ? 1? a ? 0, b ? 0 ? ,………………………………3 分 a 2 b2

直线 E 的直角坐标方程为 x + y ? 8 ? 0 .…………………………………………………6 分 ⑵当 a ? b 时,曲线 C 的方程为 x 2 + y 2 ? a 2 ? a ? 0 ? ,表示圆. 当曲线 C 与直线 E 相切时, a ?

?8 2

? 4 2 .…………………………………………10 分

⑶当 a ? 3 , b ? 4 时.曲线 C 为椭圆

x2 y 2 + ?1. 9 16

设 P ? 3cos ? , 4sin ? ? 是椭圆 C 上一点, P 到直线 E 的距离

d?

3cos ? + 4sin ? ? 8 2 3 2 ?

?

8 ? 5sin ?? + ? ? 2

,…………………………………………14 分

所以 d min ?

3 2 .…………………………………………………………………16 分 2

19.⑴4 种颜色的小球放置在 5 个不同的盒子中,共有 45 种放法.……………………2 分 满足条件的发放分为两类: ①每个盒子中颜色都相同,共有 4 种;
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2 ②由两种颜色组成,共有 C2 4 ? C5 ? 2 ? 120 种.

所以,所求概率为 P ?

4 + 120 31 ? .…………………………………………………6 分 45 256

⑵ X 的可能取值为 2, 3,4,5.
3 2 1 1 2 C1 75 4 ? A 5 + C 4 ? C 2 ? C5 ? C 4 , ? 5 4 128 C1 ? C3 ? 32 45 , P ? X ? 3? ? 4 55 ? 4 128 4 1 C1 15 4 ? C5 ? C3 , P ? X ? 4? ? ? 5 4 256 4 1 P ? X ? 5? ? 5 ? . 4 256 所以, X 的概率分布为: 3 X 2 4 75 45 15 P 128 128 256

则 P ? X ? 2? ?

5

1 256
……………………………………14 分

所以 E ? X ? ? 2 ?

75 45 15 1 635 + 3? + 4? + 5? ? .……………………………16 分 128 128 256 256 256

20.⑴ an ? 2 + 22 + 23 +

+ 2n ? 2n +1 ? 2 .………………………………………………2 分
,则 f n +1 ? x ? ? 1 + an ?1 x + bn ?1 x 2 + . ,

⑵设 f n ? x ? ? 1 + an x + bn x 2 + 又 f n +1 ? x ? ? 1 + an x + bn x 2 +

?

??1 + 2

n +1

x ? ? 1 + ? an + 2n +1 ? x + ? bn + 2n +1 an ? x 2 +

所以 bn ?1 ? bn + 2n +1 an .………………………………………………………………………6 分 ⑶假设存在常数 a , b ,使 bn ?

8 n ?1 ? 2 ? 1?? 2n a + b ? 对一切 n ≥ 2 且 n ? N* 恒成立,则 3 8 3 b2 ? ? 2 ? 1? ? 22 a + b ? ,即 4a + b ? b2 ,① 3 8 8 1 b3 ? ? 22 ? 1?? 23 a + b ? ,即 8a + b ? b3 ,② 3 8

由 f 2 ? x ? ? 1 + 6 x + 8 x 2 ,得 a2 ? 6 , b2 ? 8 ,从而 b3 ? 56 , 代入①、②,解得 a ? 1 , b ? ?1 .

8 n ?1 .………………………………10 分 ? 2 ? 1?? 2n ? 1? ( n ≥ 2 且 n ? N* ) 3 证明:①当 n ? 2 时,由前面推导知,等式成立; 8 ②假设 n ? k ( k ≥ 2 , k ? N* )时等式成立,即 bk ? ? 2k ?1 ? 1?? 2k ? 1? .………………… 3
所以,猜想 bn ? 12 分

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则当 n ? k + 1 时, bk ?1 ? bk + 2k +1 ak ?

8 k ?1 ? 2 ? 1?? 2k ? 1? + 2k +1 ? 2k +1 ? 2 ? 3 8 8 ? ? 22 k +1 ? 3 ? 2k + 1? ? ? 2k ? 1?? 2k +1 ? 1? 3 3 8 ? k +1? ?1 ? k +1 ? ? 2 ? 1? ? 2 ? 1? , 3? 8 n ?1 2 ? 1?? 2n a + b ? 对一切 n ≥ 2 ,且 n ? N* 恒成 ? 3

所以 n ? k + 1 时等式成立. 由①②可知,存在 a ? 1 , b ? ?1 ,使 bn ?

立.…………………………………………………………………………………………16 分

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