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(导学教程)2012届高三数学(理)二轮复习试题:专题五第三讲综合验收评估(北师大版)


一、选择题 x2 y2 1.以椭圆16+ 4 =1 内的点 M(1,1)为中点的弦所在直线的方程为 A.4x-y-3=0 C.4x+y-5=0 解析 B.x-4y+3=0 D.x+4y-5=0

设弦的两个端点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),

x2 y2 1 1 则有16+ 4 =1,① x2 y2 2 2 + 16 4 =1.

② ②-①得 整理得 ?x2+x1??x2-x1? ?y2+y1??y2-y1? + =0, 16 4

y2-y1 4 x2+x1 4 2 1 =-16· =-16×2=-4, x2-x1 y2+y1

1 即斜率 k=-4, 1 所以所求直线方程为 y-1=-4(x-1), 整理得 x+4y-5=0. 答案 D

x2 y2 2.已知椭圆 4 + 3 =1,若此椭圆上存在不同的两点 A、B 关于直线 y=4x+m 对称,则实数 m 的取值范围是 ? 2 13 2 2? ? A.?- 13 , 13 ? ? ? 2 2 13? ? C.?- , 13 13 ? ? 解析 ? 2 13 2 13? ? B.?- 13 , 13 ? ? ? 2 3 2 3? D.?- , 13 ? ? 13 ? y2-y1 1 =-4, x2-x1

设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点 M(x,y),kAB=

2 x1+x2=2x,y1+y2=2y,3x2 1+4y1=12① 2 3x2 +4y2 2=12② 2 2 2 ①②两式相减得 3(x2 2-x1)+4(y2-y1)=0,

即 y1+y2=3(x1+x2), 即 y=3x,与 y=4x+m 联立得 x=-m,y=-3m, 而 M(x,y)在椭圆的内部, m2 9m2 2 13 2 13 则 4 + 3 <1,即- 13 <m< 13 . 答案 B

3.(2011· 四平模拟)在 y=2x2 上有一点 P,它到 A(1,3)的距离与它到焦点的距 离之和最小,则点 P 的坐标是 A.(-2,1) C.(2,1) 解析 B.(1,2) D.(-1,2)

如图所示,直线 l 为抛物线 y=2x2 的准线,F 为其焦点,

PN⊥l,AN1⊥l,由抛物线的定义知,|PF|=|PN|, ∴|AP|+|PF|=|AP|+|PN|≥|AN1|, 当且仅当 A、P、N 三点共线时取等号. ∴P 点的横坐标与 A 点的横坐标相同即为 1, 则可排除 A、C、D,故选 B. 答案 B

x2 y2 4.已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60° 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 A.[1,2] C.[2,+∞) 解析 B.(1,2) D.(2,+∞)

x2 y2 因为双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,过点 F 且倾斜角为

60° 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,所以该直线的斜率的绝对值小于等
2 2 b b c2 a +b 于此双曲线渐近线的斜率的绝对值a,即a≥ 3.因为 e2=a2= a2 ,所以 e≥2,

故选 C. 答案 C

→ ⊥AB → 时,椭圆的离心 5.如图,椭圆的中心在坐标原点,F 为其左焦点,当FB 率为 5-1 2 ,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金

双曲线”的离心率 e 等于

A.

5+1 2

5 B. 2 D. 5+1

C. 5-1 解析 如图,依题意知,

在 Rt△ABF 中,FB⊥AB, ∴BF2+AB2=AF2,BF= c2+b2, AB= a2+b2=c,AF=a+c, 即有 c2+b2+c2=(a+c)2, 化简得 c2-a2=ac, 即 e2-e-1=0,∴e= 答案 A 5+1? 1- 5 ? ? ? 2 ?e= 2 舍去?.

6.动点 P 到点 A(0,2)的距离比它到直线 l:y=-4 的距离小 2,则动点 P 的 轨迹方程为 A.y2=4x C.x2=4y 解析 B.y2=8x D.x2=8y

等价于点 P 到点 A 的距离和到直线 y=-2 的距离相等,

根据抛物线定义,动点的轨迹是以点 A 为焦点,

直线 y=-2 为准线的抛物线,焦参数 p=4, 故所求的抛物线方程为 x2=8y. 答案 D

二、填空题 b2+1 x2 y2 7.若双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为 60° ,则 a 的 最小值是________. 解析 b 根据a= 3,即 b= 3a,

b2+1 3a2+1 1 ∴ a = a =3a+a≥2 3, 1 3 当且仅当 3a=a,即 a= 3 时等号成立. 答案 2 3

8.(2011· 南昌模拟)已知点 F(1,0),直线 l:x=-1,P 为平面上的动点,过 P →· → =FP →· → ,则动点 P 的轨迹 C 的方程是 作直线 l 的垂线,垂足为点 Q,且QP QF FQ ________. 解析 设点 P(x,y),则 Q(-1,y),

→· → =FP →· → ,得 由QP QF FQ (x+1,0)· (2,-y)=(x-1,y)· (-2,y), 化简,得 y2=4x.故填 y2=4x. 答案 y2=4x

x2 y2 →· → =0(O 9.已知曲线 a - b =1 与直线 x+y-1=0 相交于 P、Q 两点,且OP OQ 1 1 为原点),则 - 的值为________. a b 解析 x2 y2 将 y=1-x 代入 a - b =1,

得(b-a)x2+2ax-(a+ab)=0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2), a+ab 2a 则 x1+x2= ,x1x2= . a-b a-b

→ → OP· OQ=x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)(1-x2) =2x1x2-(x1+x2)+1. 所以 2a+2ab 2a - +1=0,即 2a+2ab-2a+a-b=0, a-b a-b

1 1 即 b-a=2ab,所以a-b=2. 答案 2

三、解答题 10.(2011· 天津)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(a,b)(a>b>0)为动点,F1, x2 y2 F2 分别为椭圆a2+b2=1 的左,右焦点.已知△F1PF2 为等腰三角形. (1)求椭圆的离心率 e; →· →= (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A, B 两点, M 是直线 PF2 上的点, 满足AM BM -2,求点 M 的轨迹方程. 解析 (1)设 F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).

由题意,可得|PF2|=|F1F2|,即 ?a-c?2+b2=2c, ? c? c 整理得 2?a?2+a-1=0, ? ? c c 1 1 得a=-1(舍去)或a=2.所以 e=2. (2)由(1)知 a=2c,b= 3c,可得椭圆方程为 3x2+4y2=12c2,直线 PF2 的方程 为 y= 3(x-c).
2 2 2 ?3x +4y =12c , A,B 两点的坐标满足方程组? 消去 y 并整理,得 5x2-8cx ?y= 3?x-c?.

?x1=0, 8 =0.解得 x1=0,x2=5c,得方程组的解? ?y1=- 3c, ?8 3 3 ? ?,B(0,- 3c). 不妨设 A? c, 5 c? ?5

8 ? ?x2=5c, ? 3 3 ? ?y2= 5 c.

8 3 3 ? → =? ?x- c,y- ?, 设点 M 的坐标为(x,y),则AM 5 c? ? 5

→ BM=(x,y+ 3c). 3 由 y= 3(x-c),得 c=x- 3 y. 8 3 3 8 3 3 ? → → =? ? 于是AM y-5x,5y- 5 x?,BM=(x, 3x). ? 15 ? →· → =-2, 由AM BM ?8 3 3 ? ?8 3 3 ? ?· 3x=-2, 即? x+? y- y-5x?· 15 5 x? ? ? ?5 化简得 18x2-16 3xy-15=0. 18x2-15 10x2+5 3 将 y= 代入 c=x- 3 y,得 c= 16x >0. 16 3x 所以 x>0. 因此,点 M 的轨迹方程是 18x2-16 3xy-15=0(x>0). x2 y2 11.如图所示,椭圆a2+b2=1(a>b>0)和圆 O:x2+y2=b2,过椭圆上一点 P 引圆 O 的两条切线,切点分别为 A、B.

(1)①若圆 O 过椭圆的两个焦点,求椭圆的离心率 e; ②若椭圆上存在点 P,使得∠APB=90° ,求椭圆离心率 e 的取值范围. a2 b2 (2)设直线 AB 与 x 轴,y 轴分别交于点 M,N,求证:|ON|2+|OM|2为定值. 解析 2 e= 2 . ②由∠APB=90° 及圆的性质,可得|OP|= 2b, ∴|OP|2=2b2≤a2,∴a2≤2c2, 1 2 ∴e2≥2,即 2 ≤e<1. (2)证明 设 P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2). (1)①∵圆 O 过椭圆的焦点,圆 O:x2+y2=b2,∴b=c,∴a2=2c2,∴

由 PA⊥OA 得

y0-y1 x1 =-y , x0-x1 1

2 整理得 x0x1+y0y1=x1 +y2 1, 2 2 2 ∵x1 +y2 1=b ,∴PA 的方程为 x1x+y1y=b .

同理 PB 的方程为 x2x+y2y=b2. PA、PB 都过点 P(x0,y0), ∴x1x0+y1y0=b2 且 x2x0+y2y0=b2, ∴直线 AB 的方程为 x0x+y0y=b2. b2 令 x=0,得|ON|=|y|=|y |,
0

b2 令 y=0,得|OM|=|x|=|x |,
0 2 2 2 2 a2y2 a2 b2 a2 0+b x0 a b ∴|ON|2+|OM|2= = b4 =b2. b4

a2 b2 a2 ∴|ON|2+|OM|2为定值,定值是b2. → ||MP →| 12.已知两点 M(-2,0),N(2,0),点 P 为坐标平面内的动点,且满足|MN → → +MN· NP=0. (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)设过点 N 的直线 l 斜率为 k,且与曲线 C 相交于点 S、T,若 S、T 两点只在 第二象限内运动,线段 ST 的垂直平分线交 x 轴于 Q 点,求 Q 点横坐标的取值范 围. 解析 (1)设点 P(x,y),根据题意则有:

→ =(4,0),|MN → |=4,|MP → |= ?x+2?2+y2,NP → =(x-2,y), MN → ||MP → |+MN →· → =0 得 4 ?x+2?2+y2+4(x-2)=0, 代入|MN NP 整理得点 P 的轨迹 C 的方程 y2=-8x. (2)设 S(x1,y1),T(x2,y2), 由题意得 ST 的方程为 y=k(x-2)(显然 k≠0), 与 y2=-8x 联立消元得 ky2+8y +16k=0, 8 则有 y1+y2=-k ,y1y2=16,

因为直线 l 交轨迹 C 于两点,则 Δ=64-64k2>0, 8 再由 y1>0,y2>0,则-k >0,故-1<k<0, 4? ? 4 可求得线段 ST 中点 B 的坐标为?-k2+2,-k?, ? ? 4 所以线段 ST 的垂直平分线方程为 y+k 4 1? ? =- k?x+k2-2?, ? ? 4 令 y=0 得点 Q 的横坐标为 xQ=-2-k2<-6, 所以 Q 点横坐标的取值范围为(-∞,-6).

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