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2015人教A版高三数学(理)二轮复习 大题分类规范练2


规范练?二? 数列 3+?-1?n 1. 已知 n∈N*, 数列{dn}满足 dn= , 数列{an}满足 an=d1+d2+d3+…… 2 +d2n;数列{bn}为公比大于 1 的等比数列,且 b2,b4 为方程 x2-20x+64=0 的两个不相等的实根. (1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式; (2)将数列{bn}中的第 a1 项,第 a2 项,第 a3 项,……,第 an 项,……删去后 剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{cn},求数列{cn}的前 2 015 项和. 解 3+?-1?n (1)∵dn= , 2 3×2n ∴an=d1+d2+d3+…+d2n= 2 =3n. 因为 b2,b4 为方程 x2-20x+64=0 的两个不相等的实数根. 所以 b2+b4=20,b2· b4=64, 解得:b2=4,b4=16,所以:bn=2n. (2)由题知将数列{bn}中的第 3 项、第 6 项、第 9 项……删去后构成的新数列 {cn}中的奇数项与偶数项仍成等比数列,首项分别是 b1=2,b2=4,公比均 是 8, T2 015=(c1+c3+c5+…+c2 015)+(c2+c4+c6+…+c2 014). 2×?1-81 008? 4×?1-81 007? 20×81 007-6 = + = . 7 1-8 1-8 2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an+n2-1,数列{bn}满足 3nbn+1=(n+1)an+1- nan,且 b1=3. (1)求 an,bn; (2)设 Tn 为数列{bn}的前 n 项和,求 Tn,并求满足 Tn<7 时 n 的最大值. 解 (1)n≥2 时,Sn=an+n2-1,Sn-1=an-1+(n-1)2-1, 两式相减,得 an=an-an-1+2n-1, ∴an-1=2n-1. ∴an=2n+1, 4n+3 ∴3n· bn+1=(n+1)(2n+3)-n(2n+1)=4n+3,∴bn+1= 3n , 1 4n-1 ∴当 n≥2 时,bn= n-1 ,又 b1=3 适合上式, 3 4n-1 ∴bn= n-1 . 3 (2)由(1)知,bn= 4n-1 , 3n-1 ① ② 4n-5 4n-1 3 7 11 ∴Tn=1+3+ 32 +…+ n-2 + n-1 , 3 3 4n-5 4n-1 1 3 7 11 T n= + 2+ 3 +…+ n-1 + 3 3 3 3 3n , 3 4n-1 2 4 4 4 ①-②,得3Tn=3+3+32+…+ n-1- 3n 3 1 1 3?1-3n-1? 4n-1 4n+5 =3+4· - n =5- 1 3 3n . 1-3 15 4n+5 ∴Tn= 2 - n-1 . 2· 3 4?n+1?+5 4n+5 -?4n+3? Tn-Tn+1= - n-1 = <0. 2· 3n 3n 2· 3 ∴Tn<Tn+1,即{Tn}为递增数列. 59 64 又 T3= 9 <7,T4= 9 >7, ∴Tn<7 时,n 的最大值为 3. 3.数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n∈N*),等差数列{bn}满足 b3=3,b5=9. (1)分别求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设 cn= (1)解 bn+2 1 (n∈N*),求证:cn+1<cn≤3. an+2 ① ② 由 an+1=2Sn+1, 得 an=2Sn-1+1(n≥2), ①-②得 an+1-an=2(Sn-Sn-1)=2an an+1 ∴an

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