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高中数学必修四指数与指数幂的运算(1)教案 知识点总结 典型例题 练习


指数与指数幂的运算(1)
教学重点:分数指数幂和根式概念的理解,掌握并运用分数指数幂的运算性质; 教学难点:运用有理指数幂性质进行化简、求值,有理指数幂性质的灵活应用

一、知识要点归纳讲解 1、n 次方根
【问题思考】 : (1)什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个,立方根呢? (2)如 x4=a,x5=a,x6=a 根据上面的结论我们又能得到什么呢? (3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗? (4)可否用一个式子表达呢? 【解答】 : 2 (1)若 x =a,则 x 叫做 a 的平方根,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如:4 3 的平方根为±2,负数没有平方根,同理,若 x =a,则 x 叫做 a 的立方根,一个数的立 方根只有一个,如:-8 的立方根为-2. (2)类比平方根、立方根的定义,一个数的四次方等于 a,则这个数叫 a 的四次方 根.一个数的五次方等于 a,则这个数叫 a 的五次方根.一个数的六次方等于 a,则 这个数叫 a 的六次方根. (3)类比(2)得到一个数的 n 次方等于 a,则这个数叫 a 的 n 次方根. (4)用一个式子表达是,若 xn=a,则 x 叫 a 的 n 次方根. 【n 次方根的意义】 :一般地,如果 xn=a,那么 x 叫 a 的 n 次方根(n-throot),其中 n>1 且 n∈N*.可以看出数的平方根、立方根的概念是 n 次方根的概念的特例.

2、n 次方根的性质
【问题思考】 : (1)你能根据 n 次方根的意义求出下列数的 n 次方根吗? ①4 的平方根; ②±8 的立方根; ③16 的 4 次方根; ④32 的 5 次方根; ⑤-32 6 的 5 次方根;⑥0 的 7 次方根;⑦a 的立方根. (2)平方根,立方根,4 次方根,5 次方根,7 次方根,分别对应的方根的指数是什么 数,有什么特点?4,±8,16,-32,32,0,a6 分别对应什么性质的数,有什么特点? (3)问题 (2) 中,既然方根有奇次的也有偶次的,数 a 有正有负,还有零,结论有一 个的,也有两个的,你能否总结一般规律呢? (4)任何一个数 a 的偶次方根是否存在呢? 【解答】 : (1)因为±2 的平方等于 4,±2 的立方等于 8,±2 的 4 次方等于 16,2 的 5 次方 等于 32,-2 的 5 次方等于-32,0 的 7 次方等于 0,a2 的立方等于 a6,所以 4 的平方 根,±8 的立方根,16 的 4 次方根,32 的 5 次方根,-32 的 5 次方根,0 的 7 次方根,a6 的立方根分别是±2,±2,±2,2,-2,0,a2. (2)方根的指数是 2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数.总之,这些数包括正数,负 数和零. (3)一个数 a 的奇次方根只有一个,一个正数 a 的偶次方根有两个,是互为相反

数.0 的任何次方根都是 0. (4)任何一个数 a 的偶次方根不一定存在,如负数的偶次方根就不存在,因为没 有一个数的偶次方是一个负数. 类比平方根、立方根,结合刚才的讨论,归纳出一般情形,得到 n 次方根的性 质: ①当 n 为偶数时,a 的 n 次方根有两个,是互为相反数,正的 n 次方根用 n a 表 示,如果是负数,负的 n 次方根用 ? n a 表示,正的 n 次方根与负的 n 次方根合并写 成± n a (a>0). ②n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数,这 时 a 的 n 次方根用符号 n a 表示. ③负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是零. 上面的文字语言可用下面的式子表示: a
? n 为奇数 , a 的 n 次方根有一个为 ? 为正数: ? ? n 为偶数 , a 的 n 次方根有两个为 ?
n

a,
n

?

a.

a 为负数: ?

? ? n 为奇数 , a 的 n 次方根只有一个为 ? n 为偶数 , a 的 n 次方根不存在 ? .

n

a,

零的 n 次方根为零,记为 n 0 =0. 可以看出数的平方根、立方根的性质是 n 次方根的性质的特例. 【问题思考】 :根据 n 次方根的性质能否举例说明上述几种情况? 【解答】(答案不唯一),比如,64 的立方根是 4,16 的四次方根为±2,-27 的 5 : 次方根为 5 ? 27 ,而-27 的 4 次方根不存在等.其中 5 ? 27 也表示方根,它类似于
n

a

的形式,现在我们给式子 n a 一个名称——根式.

3、根式
【根式的概念】 :式子 n a 叫根式,其中 a 叫被开方数,n 叫根指数.如 3 ? 27 中,3 叫根指数,-27 叫被开方数. 【问题思考】 n a n 表示 an 的 n 次方根,等式 n a n =a 一定成立吗?如果不一定成 : 立,那么 n a n 等于什么? 〔如 3 ( ? 3 ) 3 = 3 ? 27 =-3, 4 ( ? 8 ) 4 =|-8|=8〕. 【解答】 :根据 n 次方根的意义,可得:( n a )n=a.

通过探究得到:n 为奇数, n a n =a. 因此我们得到 n 次方根的运算性质:

n 为偶数, n a n =|a|= ?

?a, ?? a,

a ? 0, a ? 0.

①( n a )n=a.先开方,再乘方(同次),结果为被开方数. ②n 为奇数, n a n =a.先奇次乘方,再开方(同次),结果为被开方数. n 为偶数, n a n =|a|=a, ? 开方数的绝对值.
?a, ?? a, a ? 0, a ? 0.

先偶次乘方,再开方(同次),结果为被

二、应用例题
【例 1】 :求下列各式的值: (1) 3 ( ? 8 ) 3 ;(2) ( ? 10 ) 2 ;(3) 4 ( 3 ? ? ) 4 ;(4) ( a ? b ) 2 (a>b).

·变式训练 1:求出下列各式的值: (1) 7 ( ? 2 ) 7 ; (2) 3 ( 3 a ? 3 ) 3 (a≤1); (3) 4 ( 3 a ? 3 ) 4 .

【例 2】 :下列各式中正确的是( (1) 4 a 4 =a; (2) 6 ( ? 2 ) 2 = 3 ? 2 ;

) (3)a0=1; (4) 10 ( 2 ? 1) 5 = ( 2 ? 1) .

·变式训练 2:若 a 2 - 2a ? 1 =a-1,求 a 的取值范围.

【例 3】 3 ? 2 2 + 3 ? 2 2 =_________ : ·变式训练 3:

1.以下说法正确的是(
C.0 的任何次方根都是零 n∈N*). 2.化简下列各式:

) B.负数的 n 次方根是一个负数 D.a 的 n 次方根用 n a 表示(以上 n>1 且

A.正数的 n 次方根是一个正数

(1) 6 64 ;(2) 4 ( ? 3 ) 2 ;(3) 4 x 8 ;(4) 6 x 6 y 3 ;(5) (x - y) 2 .

3.计算 7 ? 40 ? 7 ? 40 =__________.

·拓展提升:
【例 4】 n a n =a 与( n a )n=a : (n>1,n∈N) 哪一个是恒等式,为什么?请举例说明. 对 a 是正数和零,n 为偶数时,n 为奇数时讨论一下.再对 a 是负数,n 为偶数时,n 为奇数时讨论一下,就可得到相应的结论.

三、课堂小结
1.如果 xn=a,那么 x 叫 a 的 n 次方根,其中 n>1 且 n∈N*.用式子 n a 表示,式子 n a 叫根式,其中 a 叫被开方数,n 叫根指数. (1)当 n 为偶数时,a 的 n 次方根有两个,是互为相反数,正的 n 次方根用 n a 表示, 如果是负数,负的 n 次方根用- n a 表示,正的 n 次方根与负的 n 次方根合并写成 ± n a (a>0). (2)n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数,这时 a 的 n 次方根用符号 n a 表示. (3)负数没有偶次方根.0 的任何次方根都是零. 2.掌握两个公式:n 为奇数时,( n a )n=a,n 为偶数时, n a n =|a|= ?
?a, ?? a, a ? 0, a ? 0.

· 【知识要点归纳】
1、n 次方根 【问题思考】 : (1)什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个,立方根呢? (2)如 x4=a,x5=a,x6=a 根据上面的结论我们又能得到什么呢?

(3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗? (4)可否用一个式子表达呢? 【解答】 : (1)若 x2=a,则 x 叫做 a 的平方根,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如:4 的平方根为±2,负数没有平方根,同理,若 x3=a,则 x 叫做 a 的立方根,一个数的立 方根只有一个,如:-8 的立方根为-2. (2)类比平方根、立方根的定义,一个数的四次方等于 a,则这个数叫 a 的四次方 根.一个数的五次方等于 a,则这个数叫 a 的五次方根.一个数的六次方等于 a,则 这个数叫 a 的六次方根. (3)类比(2)得到一个数的 n 次方等于 a,则这个数叫 a 的 n 次方根. (4)用一个式子表达是,若 xn=a,则 x 叫 a 的 n 次方根. 【n 次方根的意义】 :一般地,如果 xn=a,那么 x 叫 a 的 n 次方根(n-throot),其中 n>1 且 n∈N*.可以看出数的平方根、立方根的概念是 n 次方根的概念的特例. 2、n 次方根的性质 【问题思考】 : (1)你能根据 n 次方根的意义求出下列数的 n 次方根吗? ①4 的平方根; ②±8 的立方根; ③16 的 4 次方根; ④32 的 5 次方根; ⑤-32 的 5 次方根;⑥0 的 7 次方根;⑦a6 的立方根. (2)平方根,立方根,4 次方根,5 次方根,7 次方根,分别对应的方根的指数是什么 数,有什么特点?4,±8,16,-32,32,0,a6 分别对应什么性质的数,有什么特点? (3)问题 (2) 中,既然方根有奇次的也有偶次的,数 a 有正有负,还有零,结论有一 个的,也有两个的,你能否总结一般规律呢? (4)任何一个数 a 的偶次方根是否存在呢? 【解答】 : (1)因为±2 的平方等于 4,±2 的立方等于 8,±2 的 4 次方等于 16,2 的 5 次方 等于 32,-2 的 5 次方等于-32,0 的 7 次方等于 0,a2 的立方等于 a6,所以 4 的平方 根,±8 的立方根,16 的 4 次方根,32 的 5 次方根,-32 的 5 次方根,0 的 7 次方根,a6 的立方根分别是±2,±2,±2,2,-2,0,a2. (2)方根的指数是 2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数.总之,这些数包括正数,负

数和零. (3)一个数 a 的奇次方根只有一个,一个正数 a 的偶次方根有两个,是互为相反 数.0 的任何次方根都是 0. (4)任何一个数 a 的偶次方根不一定存在,如负数的偶次方根就不存在,因为没 有一个数的偶次方是一个负数. 类比平方根、立方根,结合刚才的讨论,归纳出一般情形,得到 n 次方根的性 质: ①当 n 为偶数时,a 的 n 次方根有两个,是互为相反数,正的 n 次方根用 n a 表 示,如果是负数,负的 n 次方根用 ? n a 表示,正的 n 次方根与负的 n 次方根合并写 成± n a (a>0). ②n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数,这 时 a 的 n 次方根用符号 n a 表示. ③负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是零. 上面的文字语言可用下面的式子表示: a
? n 为奇数 , a 的 n 次方根有一个为 ? 为正数: ? ? n 为偶数 , a 的 n 次方根有两个为 ?
n

a,
n

?

a.

a 为负数: ?

? n 为奇数 , a 的 n 次方根只有一个为 ? ? n 为偶数 , a 的 n 次方根不存在 ? .

n

a,

零的 n 次方根为零,记为 n 0 =0. 可以看出数的平方根、立方根的性质是 n 次方根的性质的特例. 【问题思考】 :根据 n 次方根的性质能否举例说明上述几种情况? 【解答】(答案不唯一),比如,64 的立方根是 4,16 的四次方根为±2,-27 的 5 : 次方根为 5 ? 27 ,而-27 的 4 次方根不存在等.其中 5 ? 27 也表示方根,它类似于
n

a

的形式,现在我们给式子 n a 一个名称——根式.

3、根式 【根式的概念】 :式子 n a 叫根式,其中 a 叫被开方数,n 叫根指数.如 3 ? 27 中,3

叫根指数,-27 叫被开方数. 【问题思考】 n a n 表示 an 的 n 次方根,等式 n a n =a 一定成立吗?如果不一定成 : 立,那么 n a n 等于什么? 〔如 3 ( ? 3 ) 3 = 3 ? 27 =-3, 4 ( ? 8 ) 4 =|-8|=8〕. 【解答】 :根据 n 次方根的意义,可得:( n a )n=a. 通过探究得到:n 为奇数, n a n =a. 因此我们得到 n 次方根的运算性质: ①( n a )n=a.先开方,再乘方(同次),结果为被开方数. ②n 为奇数, n a n =a.先奇次乘方,再开方(同次),结果为被开方数. n 为偶数, n a n =|a|=a, ? 开方数的绝对值.
?a, ?? a, a ? 0, a ? 0.

n 为偶数, n a n =|a|= ?

?a, ?? a,

a ? 0, a ? 0.

先偶次乘方,再开方(同次),结果为被

· 【应用例题】
【例 1】 :求下列各式的值: (1) 3 ( ? 8 ) 3 ;(2) ( ? 10 ) 2 ;(3) 4 ( 3 ? ? ) 4 ;(4) ( a ? b ) 2 (a>b). 分析: 求下列各式的值实际上是求数的方根,可按方根的运算性质来解,首先要搞 清楚运算顺序,目的是把被开方数的符号定准,然后看根指数是奇数还是偶数,如 果是奇数,无需考虑符号,如果是偶数,开方的结果必须是非负数. 解 : (1)
3

(? 8)

3

=-8;

(2)

( ? 10 )

2

=10;

(3)

4

(3 ? ? )

4

=π -3;

(4) ( a ? b ) 2 =a-b(a>b). 点评:不注意 n 的奇偶性对式子 n a n 的值的影响,是导致问题出现的一个重要原 因,要在理解的基础上,记准,记熟,会用,活用. ·变式训练 1:求出下列各式的值: (1) 7 ( ? 2 ) 7 ; 解 : (1) (2) 3 ( 3 a ? 3 ) 3 (a≤1);
7

(3) 4 ( 3 a ? 3 ) 4 . (2)
3

(?2)

7

=-2,

(3 a ? 3)

3

(a≤1)=3a-3,

(3) 4 ( 3 a ? 3 ) 4 = ?

? 3 a ? 3 , a ? 1, ?3 ? 3a , a ? 1 .

点评:本题易错的是第(3)题,往往忽视 a 与 1 大小的讨论,造成错解. 【例 2】 :下列各式中正确的是( ) (1) 4 a 4 =a; (2) 6 ( ? 2 ) 2 = 3 ? 2 ; (3)a0=1; (4) 10 ( 2 ? 1) 5 = ( 2 ? 1) .

分析:本题考查 n 次方根的运算性质,应首先考虑根据方根的意义和运算性质来 解,既要考虑被开方数,又要考虑根指数,严格按求方根的步骤,体会方根运算的 实质,学生先思考哪些地方容易出错,再回答. 解:(1) 4 a 4 =a,考查 n 次方根的运算性质,当 n 为偶数时,应先写 n a n =|a|,故本 题错. (2) 6 ( ? 2 ) 2 = 3 ? 2 ,本质上与上题相同,是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也 应如此,结论为 6 ( ? 2 ) 2 = 3 2 ,故本题错. (3)a0=1 是有条件的,即 a≠0,故本题也错. (4)是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也应如此,故本题正确.所以答案选 (4). 点评: 本题由于考查 n 次方根的运算性质与运算顺序,有时极易选错,选四个答案 的情况都会有,因此解题时千万要细心. ·变式训练 2:若 a 2 - 2a ? 1 =a-1,求 a 的取值范围. 解:因为 a 2 - 2a ? 1 =a-1,而 a 2 - 2a ? 1 = ( a ? 1) 2 =|a-1|=a-1, 即 a-1≥0,所以 a≥1. 点评:利用方根的运算性质转化为去绝对值符号,是解题的关键. 【例 3】 3 ? 2 2 + 3 ? 2 2 =_________ : 分析: 这里是带有双重根号的式子,去掉一层根号,根据方根的运算求出结果是解 题的关键,因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了,从何处入 手?需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式. 解: 3 ? 2 2 = 1 ? 2 2 ? ( 2 ) 2 = (1 ? 2 ) 2 = 2 +1.
3?2 2

= ( 2 ) 2 ? 2 2 ? 1 = ( 2 ? 1) 2 = 2 -1.

所以 3 ? 2 2 + 3 ? 2 2 =2 2 . 点评:不难看出 3 ? 2 2 与 3 ? 2 2 形式上有些特点,即是对称根式,是
A?2 B

形式的式子,我们总能找到办法把其化成一个完全平方式.

思考:上面的例 2 还有别的解法吗? 去根号常常利用完全平方公式,有时平方差公式也可,同学们观察两个式子 的特点,具有对称性,再考虑并交流讨论,一个是+,一个是-,去掉一层根号后,相 加正好抵消.同时借助平方差,又可去掉根号,因此把两个式子的和看成一个整体, 两边平方即可,探讨得另一种解法. 另解:利用整体思想,x= 3 ? 2 2 + 3 ? 2 2 ,两边平方得: x2=3+2 x=2 2 . 点评:对双重二次根式,特别是 A ? 2 B 形式的式子,我们总能找到办法将根号 下面的式子化成一个完全平方式,问题迎刃而解,另外对 A ? 2 B ?
A?2 B
2

+3-2 2 +2( 3 ? 2 2 )( 3 ? 2 2 )=6+2 3 2 ? ( 2 2 ) 2 =6+2=8, 所 以

的式子,我们可以把它们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解.

·变式训练 3

1.以下说法正确的是(
C.0 的任何次方根都是零 n∈N*). 2.化简下列各式:

)

答案:C B.负数的 n 次方根是一个负数 D.a 的 n 次方根用 n a 表示(以上 n>1 且

A.正数的 n 次方根是一个正数

(1) 6 64 ;(2) 4 ( ? 3 ) 2 ;(3) 4 x 8 ;(4) 6 x 6 y 3 ;(5) (x - y) 2 .

答案:(1)2;(2) 9 ;(3)x2;(4)|x| y ;(5)|x-y|. 3.计算 7 ? 40 ? 7 ? 40 =__________. 解: 7 ? 40 ? 7 ? 40 = ( 5)2 ? 2 5 ? 2 ? ( 2)2 ? ( 5)2 ? 2 5 ? 2 ? ( 2)2 = ( 5 ? 2)2 ? ( 5 ? 2)2 = 5+ 2+ 5- ?2

=2 5 .

·拓展提升:
【例 4】 n a n =a 与( n a )n=a : (n>1,n∈N) 哪一个是恒等式,为什么?请举例说明. 对 a 是正数和零,n 为偶数时,n 为奇数时讨论一下.再对 a 是负数,n 为偶数时,n 为奇数时讨论一下,就可得到相应的结论. 解答:①( n a )n=a(n>1,n∈N). 如果 xn=a(n>1,且 n∈N)有意义,则无论 n 是奇数或偶数,x= n a 一定是它的一 个 n 次方根,所以( n a )n=a 恒成立.例如: 4 3 )4=3, ( 3 ? 5 ) 3 =-5. ( ②n an =?
? a , 当 n 为奇数 , ? | a |, 当 n 为偶数 .

当 n 为奇数时,a∈R, n a n =a 恒成立.例如: 5 2 5 =2, 5 ( ? 2 ) 5 =-2. 当 n 为偶数时,a∈R,an≥0, n a n 表示正的 n 次方根或 0,所以如果 a≥0,那么
n

a

n

=a.例如 4 3 4 =3,

4

0

=0;如果 a<0,那么 n a n =|a|=-a,如 (-3)

2

= 3 2 =3.

即( n a na)n=a(n>1,n∈N)是恒等式, n a n =a(n>1,n∈N)是有条件的. 点评:实质上是对 n 次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解.

· 【课后作业】
1.化简下列各式: (1) 6 81 ; (2) 15 ? 32 ; (3) 4 x 8 ; (4) 6 a 2 b 4 .

2.若 5<a<8,则式子 ( a ? 5 ) 2 ? ( a ? 8 ) 2 的值为__________.

3. 5 ? 2 6 ? 5 ? 2 6 =__________.


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