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竞赛专题讲座04 平面几何证明


竞赛专题讲座 04 -平面几何证明
[竞赛知识点拨] 1. 线段或角相等的证明 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 利用全等△或相似多边形; 利用等腰△; 利用平行四边形; 利用等量代换; 利用平行线的性质或利用比例关系 利用圆中的等量关系等。

2. 线段或角的和差倍分的证明 (1) 转化为相等问题。如要证明 a=b±c,可以先作出线段

p=b±c,再去证 明 a=p,即所谓“截长补短”,角的问题仿此进行。 (2) 直接用已知的定理。例如:中位线定理,Rt△斜边上的中线等于斜边 的一半;△的外角等于不相邻的内角之和;圆周角等于同弧所对圆心角的一半等等。 3. 两线平行与垂直的证明 (1) (2) 明垂直。 (3) 利用两线平行与垂直的判定定理。 利用平行四边形的性质可证明平行;利用等腰△的“三线合一”可证

利用比例关系可证明平行;利用勾股定理的逆定理可证明垂直等。

【竞赛例题剖析】 【例 1】从⊙O 外一点 P 向圆引两条切线 PA、PB 和割线 PCD。从 A 点作弦 AE 平行于 CD,连结 BE 交 CD 于 F。求证:BE 平分 CD。 【分析 1】构造两个全等△。

连结 ED、AC、AF。 CF=DF←△ACF≌△EDF←

← ←∠PAB=∠AEB=∠PFB 【分析 2】利用圆中的等量关系。连结 OF、OP、OB。

←∠PFB=∠POB←

← 注:连结 OP、OA、OF,证明 A、O、F、P 四点共圆亦可。

【例 2】 △ABC 内接于⊙O,P 是弧 AB 上的一点,过 P 作 OA、OB 的垂线,与 AC、BC 分别交于 S、T,AB 交于 M、 N。求证:PM=MS 充要条件是 PN=NT。

【分析】只需证

, PM?PN=MS?NT。

(∠1=∠2,∠3=∠4)→△APM∽△PBN



→PM?PN=AM?BN

(∠BNT=∠AMS,∠BTN=∠MAS)→△BNT∽△SMA



→MS?NT=AM?BN

【例 3】已知 A 为平面上两半径不等的圆 O1 和 O2 的一个交点, 两外公切线 P1P2、Q1Q2 分别切两圆于 P1、P2、Q1、Q2,M1、M2 分 别为 P1Q1、P2Q2 的中点。求证:∠O1AO2=∠M1AM2。 【分析】设 B 为两圆的另一交点,连结并延长 BA 交 P1P2 于 C, 交 O1O2 于 M,则 C 为 P1P2 的中 点,且 P1M1∥CM∥P2M2,故 CM 为 M1M2 的中垂线。 在 O1M 上截取 MO3=MO2,则 ∠M1AO3=∠M2AO2。 故只需证∠O1AM1=∠O3AM1,即

证 由△P1O1M1∽P2O2M2,M1O3=M2O2,O1P1=O1A,O2P2=O2A 可得。



【例 4】在△ABC 中,AB>AC,∠A 的外角平分线交△ABC 的外接圆于 D,DE⊥AB 于 E,

求证:AE=



【分析】方法 1、2AE=AB-AC ← 在 BE 上截取 EF=AE,只需证 BF=AC,连结 DC、DB、DF,从而只需证△DBF≌△DCA ← DF=DA,∠DBF=∠DCA,∠DFB=∠DAC ←∠DFA=∠DAF=∠DAG。 方法 2、延长 CA 至 G,使 AG=AE,则只需证 BE=CG ← 连结 DG、DC、DB,则只需证△DBE≌△DCG

← DE=DG,∠DBE=∠DCG,∠DEB=∠DGC=Rt∠。 【例 5】 ∠ABC 的顶点 B 在⊙O 外, BA、 BC 均与⊙O 相交, 过 BA 与圆的交点 K 引∠ABC 平分线的垂线,交⊙O 于 P,交 BC 于 M。 求证:线段 PM 为圆心到 ∠ABC 平分线距离的 2 倍。 【分析】若角平分线过 O, 则 P、M 重合,PM=0,结论 显然成立。 若角平分线不过 O, 则延长 DO 至 D‘,使 OD’=OD,则 只需证 DD‘=PM。连结 D’P、DM,则只需证 DMPD‘为平行四边形。 过 O 作 m⊥PK,则 D D’,K P,

∴∠D‘PK=∠DKP BL 平分∠ABC,MK⊥BL→BL 为 MK 的中垂线→∠DKB=∠DMK ∴∠D’PK=∠DMK,∴D‘P∥DM。而 D’ D∥PM, ∴DMPD‘为平行四边形。 【例 6】 在△ABC 中, AP 为∠A 的平分线, AM 为 BC 边上的中线, 过 B 作 BH⊥AP 于 H, AM 的延长线交 BH 于 Q,求证:PQ∥AB。 【分析】 方法 1、 结 合中线和 角平分线 的性质, 考虑用比 例证明平 行。 倍长中 线:延长

AM 至 M’,使 AM=MA‘,连结 BA’,如图 6-1。

PQ∥AB←





← ∠A‘BQ=180°-(∠HBA+∠BAH+∠CAP)= 180°-90°-∠CAP=90°-∠BAP=∠ABQ 方法 2、结合角平分线和 BH⊥AH 联想对称知识。 延长 BH 交 AC 的延长线于 B’, 如图 6-2。 则 H 为 BB‘的中点, 因为 M 为 BC 的中点, / 连结 HM, 则 HM∥B C。 延长 HM 交 AB 于 O, 则 O 为 AB 的中点。 延长 MO 至 M’, 使 OM‘=OM, 连结 M’A、M‘B,则 AM’BM 是平行四边形,

∴MP∥AM‘,QM∥BM’。于是,

,所以 PQ∥AB。

【例 7】 菱形 ABCD 的内切圆 O 与各边分别切于 E、F、G、H,在 EF 与 GH 上分 别作⊙O 的切线交 AB 于 M,交 BC 于 N,交 CD 于 P,交 DA 于 Q。 求证:MQ∥NP。(95 年全国联赛二试 3) 【分析】由 AB∥CD 知:要证 MQ∥NP,只需证∠AMQ=∠CPN,

结合∠A=∠C 知,只需证△AMQ∽△CPN←

,AM?CN=AQ?CP。

连结 AC、BD,其交点为内切圆心 O。设 MN 与⊙O 切于 K,连结 OE、OM、OK、ON、OF。 记∠ABO=φ ,∠MOK=α ,∠KON=β ,则

∠EOM=α ,∠FON=β ,∠EOF=2α +2β =180°-2φ 。 ∴∠BON=90°-∠NOF-∠COF=90°-β -φ =α ∴∠CNO=∠NBO+∠NOB=φ +α =∠AOE+∠MOE=∠AOM

又∠OCN=∠MAO,∴△OCN∽△MAO,于是 ∴AM?CN=AO?CO 同理,AQ?CP=AO?CO。



【例 8】ABCD 是圆内接四边形,其对角线交于 P,M、N 分别是 AD、BC 的中点,过 M、 N 分别作 BD、AC 的垂线交于 K。求证:KP⊥AB。 【分析】延长 KP 交 AB 于 L,则只需证 ∠PAL+∠APL=90°, 即只需证∠PDC+∠KPC=90°,只需证 ∠PDC=∠PKF, 因为 P、F、K、E 四点共圆,故只需证 ∠PDC=∠PEF,即 EF∥DC。





←△DME∽△CNF

【例 9】以△ABC 的边 BC 为直径作半圆,与 AB、AC 分别交于点 D、E。过 D、E 作 BC 的垂线,垂足分别是 F、G,线段 DG、EF 交于点 M。求证:AM⊥BC。 【分析】连结 BE、 CD 交于 H,则 H 为垂心,故 AH⊥BC。 (同一法) 设 AH⊥BC 于 O, DG、AH 交于 M1, EF、AH 交于 M2。 下面证 M1、M2 重 合。

OM1∥DF→

→OM1=



OM2∥EG→

→OM2=









OG· DF=EG· OF





←Rt△ OEG∽Rt△ ODF←∠DOF=∠DHB=∠EHC=∠EOG。


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