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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(87)


加试模拟训练题(87) 1求证:四条直线两两相 交所构成的四个三角形 的外接圆相交于一点, 且由该点向四条 直线所作垂线的垂足在 一条直线上; 2.已知整数列{a0,a1,a2,…}满足: (1)an+1=3an-3an-1+an-2,n=2,3,…; (2)2a1=a0+a2-2; (3)对任意自然数 m,在数列{a0,a1,a2,…}中必有相继的 m 项 ak,ak+1,…,ak+m-1 都是完全平方数. 求证: {a0,a1,a2,…)的所有项都是完全平方数. 3.有 24 个面积为 S 的全等小矩形,把所有这些小矩形拼成一个与小矩形相似的大矩形,问 小矩形的边长各是多少? 4. 设 a1 ? 0, 2an ?1 ? 3an ? 5an ? 4 ? n ? 1, 2, 2 ? ,证明对于 an 不可能有某一正整数 N , 使 a2 N 能被 1989 整除.(P.185,32) 加试模拟训练题(87) 1求证:四条直线两两相 交所构成的四个三角形 的外接圆相交于一点, 且由该点向四条 直线所作垂线的垂足在 一条直线上; 证明:如图,设四条直 线AB、BC、CD、AD中, AB交CD于点E,BC交AD于点F, 圆BCE与圆CDF的另一个交点为 G ? ?BGF ? ?BGC ? ?CGF ? ?BEC ? ?CDA ? ?BGF ? ?A ? 180?,即圆ABF过点G 同理圆AED也过点G ?圆BCE、圆CDF、圆ABF、圆AED交于同一点G 若点G向AB、BC、CD、DA所作垂线的垂足分别为 E、L、M、N、P, 由西姆松定理可知 L、M、N在一条直线上, M、N、P在一条直线上, 故L、M、N、P在同一条直线上 2.已知整数列{a0,a1,a2,…}满足: (1)an+1=3an-3an-1+an-2,n=2,3,…; (2)2a1=a0+a2-2; (3)对任意自然数 m,在数列{a0,a1,a2,…}中必有相继的 m 项 ak,ak+1,…,ak+m-1 都是完全平方数. 求证: {a0,a1,a2,…)的所有项都是完全平方数. 【题说】1992 年中国数学奥林匹克题 6. 【证】令 dn=an-an-1,则由(1) dn+1-dn=dn-dn-1=…=d2-d1 所以{dn}是等差数列,从而 由(2) ,d2-d1=a2-2a1+a0=2,所以 an=n2+bn +c,b、c∈Z 若 b 为奇数 2t+1,则在 n 充分大时, 大于(n+t)2,小于(n+t+1)2(=(n+t)2+2n+2t+1) ,因而 an 不是 平方数.而由(3) , {an}有任意大的平方数,矛盾!所以 b 为偶数 2t,从 而 an=(n+ t)2+c-t2 在 c-t2>0 时,对于充分大的 n,an 介于(n+ t)2 与(n+t+1)2 之间, 与(3)矛盾.同 样 c-t2<0 也导出矛盾(考虑连续平方数(n+t-1)2 与(n+t)2) .所 2 2 以 c-t =0,an=(n+ t) . 【注】 (3)可减弱为{an}中有任意大的平方数,即{an}中有无穷多 个平方数. 3.有 24 个面积为 S 的全等小矩形,把所有这些小矩形拼成一个与小矩形相似的大矩形,问 小矩形的边长各是多少? 【题说】 1980 年北京市赛题 6. 【解】 设小矩形边长为 a、b(不妨令 a>b).因大矩形与小矩 形长边包含 x1 个小矩形的长边与 x2 个小矩形短边(x1、x2 均为非负整数),而大矩形短边包含 y1 个小矩形的长边与

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