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天津市和平区2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析


天津市和平区 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷
一、选择题(共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分) 3 1. (4 分)一个空间集合体的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何体的体积(单位:m )

为() A.4 B. C. 3 D.

2. (4 分)过点(﹣2,0) ,且与直线 3x﹣y+1=0 平行

的直线方程式() A.y=3x﹣6 B.y=3x+6 C.y=3x﹣2 D.y=﹣3x﹣6 3. (4 分)直线 3x﹣2y﹣6=0 在 x 轴上的截距为 a,在 y 轴上的截距为 b,则() A.a=2,b=3 B.a=﹣2,b=﹣3 C.a=﹣2,b=3 D.a=2,b=﹣3 4. (4 分)直线 a?平面 α,直线 b?平面 α,M∈a,N∈b,且 M∈l,N∈l,则() A.l?α B.l?α C.l∩α=M D.l∩α=N 5. (4 分)已知过点 A(a,4)和 B(﹣2,a)的直线与直线 2x+y﹣1=0 垂直,则 a 的值为() A.0 B . ﹣8 C. 2 D.10 6. (4 分)已知四棱锥 S﹣ABCD 的侧棱长与底面边长都是 2,且 SO⊥平面 ABCD,O 为底面 的中心,则侧棱与底面所成的角为() A.75° B.60° C.45° D.30° 7. (4 分)不共面的四个定点到平面 α 的距离都相等,这样的平面 α 共有() A.3 个 B. 4 个 C. 6 个 D.7 个 8. (4 分)由直线 y=x+1 上的点向圆(x﹣3) +(y+2) =1 引切线,则切线长的最小值为() A. B. C. D. 9. (4 分)如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,O 是底面 ABCD 的中心,E、F 分别是 CC1、AD 的中点,那么异面直线 OE 和 FD1 所成的角的余弦值等于()
2 2

A.

B.
2 2 2

C.
2 2

D.
2

10. (4 分)若圆 O1:x +y ﹣2mx+m ﹣4=0 与圆 O2:x +y +2x﹣4my+4m ﹣8=0 相切,则实 数 m 的取值集合是() A.{﹣ ,2} B.{﹣ ,0} C.{﹣ ,﹣ ,2} D.{﹣ ,﹣ ,0,2}

二、填空题(共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分) 11. (4 分)已知空间直角坐标系中,A(1,3,﹣5) ,B(4,﹣2,3) ,则|AB|=. 12. (4 分)已知 A(﹣5,6)关于直线 l 的对称点为 B(7,﹣4) ,则直线 l 的方程是. 13. (4 分)设 P 是 60°的二面角 α﹣l﹣β 内一点,PA⊥平面 α,PB⊥平面 β,A,B 为垂足, PA=4,PB=2,则 AB 的长为. 14. (4 分)圆 x +y ﹣2x+2y=0 上的动点 P 到直线 y= x+2 的距离的最小值为.
2 2

15. (4 分)如图,正三棱锥 S﹣ABC 的高 SO=2,侧棱与底面成 45°角,则点 C 到侧面 SAB

的距离是.

三、解答题(共 5 小题,满分 40 分)

16. (6 分)如图,已知一个正三棱锥 P﹣ABC 的底面棱长 AB=3,高 PO=

,求这个正三棱

锥的表面积. 17. (8 分)根据下列条件写出直线的方程,并且化成一般式. (1)经过点 P(﹣ ,2)且倾斜角 α=120°; (2)经过点 A(﹣1,0)和 B(2,﹣3) . 18. (8 分)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=AC,D、E 分别是棱 BC、CC1 上的点 (点 D 不在 BC 的端点处) ,且 AD⊥DE,F 为 B1C1 的中点. (Ⅰ)求证:平面 ADE⊥平面 B1BCC1; (Ⅱ)求证:A1F∥平面 ADE.

19. (8 分)已知点 P(﹣4,0)及圆 C:x +y +6x﹣4y+4=0. (Ⅰ)当直线 l 过点 P 且与圆心 C 的距离为 l 时,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设过点 P 的直线与圆 C 交于 A、B 两点,当|AB|取得最小值时,求以线段 AB 为直径的 圆的方程. 20. (10 分)如图,在三棱锥 P﹣ABC 中, 面 PAB⊥平面 ABC. (Ⅰ)求证:PA⊥BC; (Ⅱ)求 PC 的长度; (Ⅲ)求二面角 P﹣AC﹣B 的大小. ,PA⊥PB,AB⊥BC,∠BAC=30°,平

2

2

天津市和平区 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分) 1. (4 分)一个空间集合体的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何体的体积(单位:m )
3

为() A.4 B. C. 3 D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由三视图可知:该几何体是一个以主视图为底面的柱体,求出底面面积和高,进而 可得该几何体的体积. 解答: 解:由三视图可知:该几何体是一个以主视图为底面的棱柱, 底面面积 S=1×1+ ×(1+3)×1=3, 棱柱的高 h=1, 故棱柱的体积 V=Sh=3, 故选:C 点评: 本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积或表面积,由三视图正确恢复原几何 体是解题的关键. 2. (4 分)过点(﹣2,0) ,且与直线 3x﹣y+1=0 平行的直线方程式() A.y=3x﹣6 B.y=3x+6 C.y=3x﹣2 D.y=﹣3x﹣6 考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. 分析: 首先根据所求直线与已知直线平行可得所求直线的斜率, 再根据所求直线经过点 (﹣ 2,0) ,进而利用直线的点斜式方程可得答案. 解答: 解:∵直线 3x﹣y+1=0 的斜率为 3,并且所求直线与直线 3x﹣y+1=0 平行, ∴所求直线斜率为 3. 又因为所求直线过点(﹣2,0) , 所以所求直线的方程为 y﹣0=3(x+2) ,即 3x﹣y+6=0. 故选:B.

点评: 本题注意考查直线平行与直线斜率的关系,以及直线的点斜式方程,是基础题. 3. (4 分)直线 3x﹣2y﹣6=0 在 x 轴上的截距为 a,在 y 轴上的截距为 b,则() A.a=2,b=3 B.a=﹣2,b=﹣3 C.a=﹣2,b=3 D.a=2,b=﹣3 考点: 直线的一般式方程. 专题: 直线与圆. 分析: 分别令 x=0 和 y=0 代入直线方程求出对应的截距即可. 解答: 解:由题意得,直线方程为:3x﹣2y﹣6=0, 令 x=0 代入得,y=﹣3, 令 y=0 代入得,x=2, 所 a=2,b=﹣3, 故选:D. 点评: 本题考查由直线方程的一般式求截距问题,属于基础题. 4. (4 分)直线 a?平面 α,直线 b?平面 α,M∈a,N∈b,且 M∈l,N∈l,则() A.l?α B.l?α C.l∩α=M D.l∩α=N 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由已知得 M∈平面 α,N∈平面 α,由 M∈l,N∈l,利用公理二得 l?α. 解答: 解:∵直线 a?平面 α,直线 b?平面 α,M∈a,N∈b, ∴M∈平面 α,N∈平面 α, ∵M∈l,N∈l, ∴l?α. 故选:A. 点评: 本题考查点、直线、平面间的位置关系的判断与应用,是基础题,解题时要注意公 理二的合理运用. 5. (4 分)已知过点 A(a,4)和 B(﹣2,a)的直线与直线 2x+y﹣1=0 垂直,则 a 的值为() A.0 B . ﹣8 C. 2 D.10 考点: 专题: 分析: 解答: ∴ 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 直线与圆. 由两点式求出直线 AB 的斜率,然后由直线垂直斜率的关系列式求得 a 的值. 解:∵A(a,4) ,B(﹣2,a) , ,

又直线 2x+y﹣1=0 的斜率为﹣2, ∴ ,

解得:a=2. 故选:C. 点评: 本题考查了直线的一般方程和直线垂直的关系,是基础题.

6. (4 分)已知四棱锥 S﹣ABCD 的侧棱长与底面边长都是 2,且 SO⊥平面 ABCD,O 为底面 的中心,则侧棱与底面所成的角为() A.75° B.60° C.45° D.30° 考点: 棱锥的结构特征. 专题: 空间角. 分析: 由题意可知,∠SAO 即为侧棱与底面所成的角,然后直接由已知条件解直角三角形 得答案. 解答: 解:如图, ∵SO⊥平面 ABCD,O 为底面的中心, ∴∠SAO 即为侧棱与底面所成的角, ∵四棱锥 S﹣ABCD 的侧棱长与底面边长都是 2, ∴AO= , 在 Rt△ SOA 中, ∴∠SAO=45°. 故选:C. ,

点评: 本题考查了棱锥的结构特征,考查了直线和平面所成角的求法,是基础题. 7. (4 分)不共面的四个定点到平面 α 的距离都相等,这样的平面 α 共有() A.3 个 B. 4 个 C. 6 个 D.7 个 考点: 平面的基本性质及推论. 专题: 压轴题;数形结合;分类讨论. 分析: 根据题意画出构成的几何体,根据平面两侧的点的个数进行分类,利用三棱锥的结 构特征进行求解. 解答: 解:空间中不共面的四个定点构成三棱锥,如图:三棱锥 D﹣ABC, ①当平面一侧有一点,另一侧有三点时,即对此三棱锥进行换底,则三棱锥有四种表示形式, 此时满足条件的平面个数是四个, ②当平面一侧有两点,另一侧有两点时,即构成的直线是三棱锥的相对棱,因三棱锥的相对 棱有三对,则此时满足条件的平面个数是三个, 所以满足条件的平面共有 7 个, 故选 D.

点评: 本题考查了三棱锥的结构特征的应用,根据题意画出对应的几何体,再由题意和结 构特征进行求解,考查了空间想象能力. 8. (4 分)由直线 y=x+1 上的点向圆(x﹣3) +(y+2) =1 引切线,则切线长的最小值为() A. B. C. D. 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题. 分析: 要使切线长最小,需直线 y=x+1 上的点和圆心之间的距离最短,求出圆心到直线 y=x+1 的距离 d, 切线长的最小值为 .
2 2

解答: 解:要使切线长最小,需直线 y=x+1 上的点和圆心之间的距离最短,此最小值即为 圆心(3,﹣2)到直线 y=x+1 的距离 d, d= =3 ,故切线长的最小值为 = = ,

故选 A. 点评: 本题考查点到直线的距离公式的应用以及直线和圆的位置关系,求切线长的方法. 9. (4 分)如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,O 是底面 ABCD 的中心,E、F 分别是 CC1、AD 的中点,那么异面直线 OE 和 FD1 所成的角的余弦值等于()

A.

B.

C.

D.

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 计算题. 分析: 先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点,得到的锐角或直角就是异面直线所 成的角,在三角形中再利用余弦定理求出此角即可.

解答: 解:取 BC 的中点 G.连接 GC1∥FD1,再取 GC 的中点 H,连接 HE、OH,则∠OEH 为异面直线所成的角. 在△ OEH 中,OE= ,HE= ,OH= . .

由余弦定理,可得 cos∠OEH=

故选 B. 点评: 本题主要考查了异面直线及其所成的角,以及余弦定理的应用,属于基础题. 10. (4 分)若圆 O1:x +y ﹣2mx+m ﹣4=0 与圆 O2:x +y +2x﹣4my+4m ﹣8=0 相切,则实 数 m 的取值集合是() A.{﹣ ,2} B.{﹣ ,0} C.{﹣ ,﹣ ,2} D.{﹣ ,﹣ ,0,2}
2 2 2 2 2 2

考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 直线与圆. 分析: 求出两个圆的圆心与半径,通过圆心距与半径和与差相等求出 m 的值即可. 解答: 解:圆 O1:x +y ﹣2mx+m ﹣4=0 的圆心(m,0) ,半径为:2. 2 2 2 与圆 O2:x +y +2x﹣4my+4m ﹣8=0 的圆心(﹣1,2m) ,半径为:3. 圆心距为: 两个圆相外切: 两个圆相内切: 解得 m=﹣ ,﹣ ,0,2. ,﹣ ,0,2}. , =5, =1,
2 2 2

实数 m 的取值集合是{﹣

故选:D. 点评: 本题考查两个圆的位置关系的应用,圆的一般方程的应用,考查计算能力. 二、填空题(共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分) 11. (4 分)已知空间直角坐标系中,A(1,3,﹣5) ,B(4,﹣2,3) ,则|AB|= 考点: 空间向量的数量积运算. 专题: 空间向量及应用. 分析: 利用向量的坐标运算、向量的模的计算公式即可得出. 解答: 解:∵ ∴ = =(3,﹣5,8) , = .



故答案为: . 点评: 本题考查了向量的坐标运算、向量的模的计算公式,属于基础题.

12. (4 分)已知 A(﹣5,6)关于直线 l 的对称点为 B(7,﹣4) ,则直线 l 的方程是 6x﹣5y ﹣1=0. 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由题意可得直线 l 为线段 AB 的中垂线,求得 AB 的中点为(1,1) ,求出 AB 的斜率 可得直线 l 的斜率,由点斜式求得直线 l 的方程,化简可得结果. 解答: 解:∵已知 A(﹣5,6)关于直线 l 的对称点为 B(7,﹣4) ,故直线 l 为线段 AB 的 中垂线. 求得 AB 的中点为(1,1) ,AB 的斜率为 =﹣ ,故直线 l 的斜率为 ,

故直线 l 的方程为 y﹣1= (x﹣1 ) ,化简可得 6x﹣5y﹣1=0. 故答案为:6x﹣5y﹣1=0. 点评: 本题主要考查两条直线垂直的性质,斜率公式的应用,用点斜式求直线的方程,属 于中档题. 13. (4 分)设 P 是 60°的二面角 α﹣l﹣β 内一点,PA⊥平面 α,PB⊥平面 β,A,B 为垂足, PA=4,PB=2,则 AB 的长为 . 考点: 与二面角有关的立体几何综合题. 专题: 空间角. 分析: 设平面 PAB 与二面角的棱 l 交于点 Q,连结 AQ、BQ 得直线 l⊥平面 PAQB,由题意 知∠AQB 是二面角 α﹣l﹣β 的平面角,由此利用余弦定理能求出 AB. 解答: 解:设平面 PAB 与二面角的棱 l 交于点 Q, 连结 AQ、BQ 得直线 l⊥平面 PAQB, ∵P 是 60°的二面角 α﹣l﹣β 内一点,PA⊥平面 α,PB⊥平面 β, ∴∠AQB 是二面角 α﹣l﹣β 的平面角,∴∠AQB=60°, ∴△PAB 中,∠APB=180°﹣60°=120°,PA=4,PB=2, 由余弦定理得: 2 2 2 AB =PA +PB ﹣2PA?PAcos120° =4 +2 ﹣2×4×2×(﹣ )=28, ∴AB= =2 故答案为: . .
2 2

点评: 本题考查直线与平面垂直的判定和二面角的概念,是中档题,解题时要注意利用正、 余弦定理解三角形的灵活运用.
2 2

14. (4 分)圆 x +y ﹣2x+2y=0 上的动点 P 到直线 y= x+2 的距离的最小值为 3﹣



考点: 点到直线的距离公式. 专题: 直线与圆. 分析: 由圆的一般方程求出圆心坐标和半径,求出圆心到直线的距离,则答案可求. 2 2 2 2 解答: 解:由 x +y ﹣2x+2y=0,得(x﹣1) +(y+1) =2, 2 2 ∴圆 x +y ﹣2x+2y=0 的圆心为(1,﹣1) ,半径为 . 由 y= x+2,得 3x﹣4y+8=0, 点(1,﹣1)到直线 3x﹣4y+8=0 的距离为
2 2

=3.

∴圆 x +y ﹣2x+2y=0 上的动点 P 到直线 y= x+2 的距离的最小值为 3﹣



故答案为: . 点评: 本题考查了圆的一般方程,考查了点到直线的距离公式,是基础题. 15. (4 分)如图,正三棱锥 S﹣ABC 的高 SO=2,侧棱与底面成 45°角,则点 C 到侧面 SAB

的距离是



考点: 点、线、面间的距离计算. 专题: 综合题;空间位置关系与距离.

分析: 由题意底面高为 3,底面边长为 2 ,面积为 3 ,侧棱长为 2 由体积计算公式求出点 C 到侧面 SAB 的距离. 解答: 解: 由题意底面高为 3, 底面边长为 2 , 面积为 3 , 侧棱长为 2 由体积计算公式得 ×3 故答案为: . ×2= × ×h,得 h= .

,侧面积为 , 侧面积为

, ,

点评: 本题考查点、线、面间的距离计算,考查体积公式的运用,属于中档题. 三、解答题(共 5 小题,满分 40 分) 16. (6 分)如图,已知一个正三棱锥 P﹣ABC 的底面棱长 AB=3,高 PO=

,求这个正三棱

锥的表面积. 考点: 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 连接 AO,确定正三棱锥 P﹣ABC 的四个面是全等的等边三角形,即可求这个正三棱 锥的表面积. 解答: 解:连接 AO,在等边三角形 ABC 中,由 AB=3,可得 AO= 在 Rt△ AOP 中,AP= =3, ∴正三棱锥 P﹣ABC 的四个面是全等的等边三角形, ∴S 表面积=4× =9 . = ,

点评: 本题主要考查基本运算,考查三棱锥的全面积,属于中档题. 17. (8 分)根据下列条件写出直线的方程,并且化成一般式. (1)经过点 P(﹣ ,2)且倾斜角 α=120°; (2)经过点 A(﹣1,0)和 B(2,﹣3) . 考点: 直线的一般式方程. 专题: 直线与圆. 分析: (1)先求出直线的斜率,代入点斜式化简为一般式方程即可; (2)根据题意代入两点式化简为一般式方程. 解答: 解: (1)由题意得,直线倾斜角 α=120°,则斜率 k=tan120°=﹣ 又经过点 P(﹣ ,2) ,代入点斜式得,y﹣2= 即 , 所以直线的一般式方程是 ; (x+ ) ,



(2)因为经过点 A(﹣1,0)和 B(2,﹣3) ,代入两点式得, ,即 x+y+1=0, 所以直线的一般式方程是 x+y+1=0. 点评: 本题考查直线方程的点斜式、两点式、一般式方程的应用,注意根据条件选择恰当 的直线方程. 18. (8 分)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=AC,D、E 分别是棱 BC、CC1 上的点 (点 D 不在 BC 的端点处) ,且 AD⊥DE,F 为 B1C1 的中点. (Ⅰ)求证:平面 ADE⊥平面 B1BCC1; (Ⅱ)求证:A1F∥平面 ADE.

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ) 先证明 AD⊥平面 B1BCC1, 然后, 得到平面和平面垂直; (Ⅱ) 首先, 根据 (Ⅰ) 得 AD⊥平面 B1BCC1,连接 DF,得 DF∥AA1,且 DF=AA1,即可得到相应的结论. 解答: 解: (Ⅰ)证明:在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,CC1⊥平面 ABC,AD 平面 ABC, ∴AD⊥CC1,∵AD⊥DE,且 DE∩CC1=D, ∴AD⊥平面 B1BCC1, ∵AD?平面 ADE,∴平面 ADE⊥平面 B1BCC1, (Ⅱ)根据(Ⅰ)得 AD⊥平面 B1BCC1,∵BC?平面 B1BCC1, ∴AD⊥BC, 在△ ABC 中,AB=AC,∴D 为 BC 的中点, 连接 DF,得 DF∥AA1,且 DF=AA1,即四边形 AA1FD 为平行四边形,∴A1F∥AD, ∵AD?平面 ADE,A1F?平面 ADE, A1F∥平面 ADE.

点评: 本题重点考查了空间中直线与平面平行、垂直,直线与直线平行的判定等知识,属 于中档题,难度中等,解题关键是准确判断平行和垂直的判定和性质. 19. (8 分)已知点 P(﹣4,0)及圆 C:x +y +6x﹣4y+4=0. (Ⅰ)当直线 l 过点 P 且与圆心 C 的距离为 l 时,求直线 l 的方程;
2 2

(Ⅱ)设过点 P 的直线与圆 C 交于 A、B 两点,当|AB|取得最小值时,求以线段 AB 为直径的 圆的方程. 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ)把圆的方程变为标准方程后,分两种情况①斜率 k 存在时,因为直线经过点 P,设出直线的方程,利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离 d,让 d 等于 1 列出关于 k 的方程,求出方程的解即可得到 k 的值,根据 k 的值和 P 的坐标写出直线 l 的方程 即可;②当斜率不存在时显然得到直线 l 的方程为 x=﹣4; (Ⅱ)点 P(﹣4,0)为 AB 的中点时,|AB|取得最小值,从而写出所求圆的标准方程即可. 2 2 解答: 解: (Ⅰ)由题意知,圆的标准方程为: (x﹣3) +(y+2) =9, ①设直线 l 的斜率为 k(k 存在) 则方程为 y﹣0=k(x+4)即 kx﹣y+4k=0 又⊙C 的圆心为(3,﹣2) ,r=3, 由 =1,得 k=

所以直线方程为 3x﹣4y+12=0; ②当 k 不存在时,直线 l 的方程为 x=﹣4. 综上,直线 l 的方程为 3x﹣4y+6=0 或 x=﹣4; (Ⅱ)点 P(﹣4,0)为 AB 的中点时,|AB|取得最小值, ∵|PC|= ,r=3, ∴|AB|min=2 =4,
2 2

∴以线段 AB 为直径的圆的方程为: (x+4) +y =4. 点评: 此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值,灵活运用垂径定理及韦达定 理化简求值,会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程,是一道中档题. 20. (10 分)如图,在三棱锥 P﹣ABC 中, 面 PAB⊥平面 ABC. (Ⅰ)求证:PA⊥BC; (Ⅱ)求 PC 的长度; (Ⅲ)求二面角 P﹣AC﹣B 的大小. ,PA⊥PB,AB⊥BC,∠BAC=30°,平

考点: 空间中直线与直线之间的位置关系;与二面角有关的立体几何综合题. 专题: 计算题;证明题.

分析: (1)证明由面面垂直的性质 BC⊥PA,又 AB⊥BC,得到 BC⊥平面 PAB,进而证明 PA⊥BC; (2)先求 AB,再求 BC,用勾股定理计算 PC 的长度; (3)作 PO⊥AB 于点 O,OM⊥AC 于点 M,证明,∠PMO 是二面角 P﹣AC﹣B 的平面角, 在 Rt△ AMO 中,求出 PO 和 OM,可求∠PMO 的正切值. 解答: 解: (Ⅰ)证明:∵平面 PAB⊥平面 ABC,平面 PAB∩平面 ABC=AB, 且 BC⊥AB,

∴BC⊥平面 PAB. (3 分) ∵PA?平面 PAB,∴PA⊥BC. (4 分) (Ⅱ)∵ ,PA⊥PB,∴ . ∵AB⊥BC,∠BAC=30°,∴BC=AB?tan30°=2. (7 分) ∵BC⊥平面 PAB,∴BC⊥PB,∴ . (9 分)

(Ⅲ)作 PO⊥AB 于点 O,OM⊥AC 于点 M,连接 PM.∵平面 PAB⊥平面 ABC, ∴PO⊥平面 ABC, 根据三垂线定理得 PM⊥AC, ∴∠PMO 是二面角 P﹣AC﹣B 的平面角. (12 分) 在 Rt△ AMO 中, 易知 AO=PO, ∴ , (13 分) ,

即二面角 P﹣AC﹣B 的大小是 arctan2(14 分) 点评: 本题考查空间 2 条直线的位置关系,二面角的平面角的求法.


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