2017江西单招数学模拟试题

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一 填空题 1 、已知直线 l1 ： x ? 2 y ? 1 ? 0 ，直线 l2 ： ax ? by ? 1 ? 0 ，

其中 a ， b ??1,2,3,4,5,6? ．则直线 l1 ? l2 ? ? 的概率为．

2、函数 y ? tan ? x? ? 的部分 4 2 图像如图所示，
??? ? ??? ? ??? ? 则 OA ? OB ? AB ? .

?

?

y
1

?

?

B B A x

O
3、若双曲线经过点 (3, 2) ，

1 且渐近线方程是 y ? ? x ，则 3
这条双曲线的方程是.

第2题

4、下右图是一个算法的程序框图， 该算法所输出的结果是.

5、从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩，统计如下表， 则这 100 人成绩的标准差为. 分数 人数 5 20 4 10 3 30 2 30 1 10

6、若数列 {an } 满足

an ? 2 an ?1 ? ? k （ k 为常数），则称数列 {an } 为等比和数列，k 称为 an ?1 an

公比和．已知数列 {an } 是以 3 为公比和的等比和数列，其中 a1 ? 1, a2 ? 2 ，则 a 2009 ? .

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?x ? y ? 2 ? 0 ? 7、动点 P(a, b) 在不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域内部及其边界上运动，则 ? y?0 ?

w?

a ?b?3 的取值范围是. a ?1
2009 x ?1 ? 2007 ? sin x( x ? [?a, a]) 的最大值为 M ，最小值 2009 x ? 1

8、已知 a ? 0 ，设函数 f ( x) ? 为 N ，那么 M ? N ? .

9、已知 P 为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,过 P 的直线 l 与抛物线交与 A,B 两点，若 Q 在直线 ??? ? ??? ? ???? ??? ? l 上,且满足 | AP || QB |?| AQ || PB | ，则点 Q 总在定直线 x ? ?1 上．试猜测如果 P 为
x2 y2 ? ? 1 的左焦点，过 P 的直线 l 与椭圆交与 A,B 两点，若 Q 在直线 l 上, 25 9 ??? ? ??? ? ???? ??? ? 且满足 | AP || QB |?| AQ || PB | ，则点 Q 总在定直线上．

椭圆

10、 曲边梯形由曲线 y ? e x , y ? 0, x ? 1, x ? 5 所围成，过曲线 y ? e x , x ?[1,5] 上一点 P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，这时点 P 的坐标是. 二解答题 11、已知关于 x 的一元二次函数 f ( x) ? ax2 ? 4bx ? 1 . （1）设集合 P={1，2， 3}和 Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合 P 和 Q 中随机取一 个数作为 a 和 b ，求函数 y ? f ( x) 在区间[ 1,??) 上是增函数的概率； （2）设点（ a ， b ）是区域 ? ?x ? 0 数的概率.
?x ? y ? 8 ? 0 ?y ? 0 ?

内的随机点，求 y ? f ( x)在区间[1, ??) 上是增函

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12、 已知长方形 ABCD, AB ? 2 2, BC ? 1 ，以 AB 的中点

O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系 xOy .
(Ⅰ)求以 A 、 B 为焦点，且过 C 、 D 两点的椭圆的标准方程; 。(Ⅱ)过点 P(0,2) 的直线 l 交(Ⅰ)中椭圆于 M , N 两点, 判断 是否存在直线 l ,使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点，并说明理由.

参考答案
一 填空题 1、．

1 2、 6 18

3、 y 2 ?

x2 3 ? 1 4、 4 9
8、. 4016

5、.3 9、． x ? ?

6、 21004 二解答题

7、. ? ??， ? 2? ? ?2， ? ??

25 4

10、

11、解：（1） （2）

1 3

1 3

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12、 (Ⅰ)求以

x2 y2 ? ?1. 4 2

(Ⅱ)假设满足条件的直线 l 存在，方程为 y ? 2 x ? 2 或 y ? ? 2 x ? 2 .

(参考答案)
一 填空题 1、已知直线 l1 ： x ? 2 y ? 1 ? 0 ，直线 l2 ： ax ? by ? 1 ? 0 ，其中 a ，

b ??1,2,3,4,5,6? ．则直线 l1 ? l2 ? ? 的概率为▲．

1 18

??? ? ??? ? ??? ? 2、函数 y ? tan ? x? ? 的部分图像如图所示，则 OA ? OB ? AB ? 4 2

?

?

?

?

▲

.6

1 3、若双曲线经过点 (3, 2) ，且渐近线方程是 y ? ? x ，则这条双曲线的方程是 3
▲

x2 ?1 .y ? 9
2

4、下右图是一个算法的程序框图，该算法所输出的结果是

▲

.

3 4

y
1

B B A x

O

第2题

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5、从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩，统计如下表，则这 100 人成绩的标准 差为 ▲ .3 分数 人数 6、若数列 {an } 满足 5 20 4 10 3 30 2 30 1 10

an ? 2 an ?1 ? ? k （ k 为常数），则称数列 {an } 为等比和数列，k 称为 an ?1 an

公比和．已知数列 {an } 是以 3 为公比和的等比和数列，其中 a1 ? 1, a2 ? 2 ，则

a2009 ?

▲

. 21004

?x ? y ? 2 ? 0 ? 7、动点 P(a, b) 在不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域内部及其边界上运动，则 ? y?0 ?

w?

a ?b?3 的取值范围是 a ?1

▲

. ? ??， ? 2? ? ?2， ? ??

8、已知 a ? 0 ，设函数 f ( x) ? 为 N ，那么 M ? N ?

2009 x ?1 ? 2007 ? sin x( x ? [?a, a]) 的最大值为 M ，最小值 2009 x ? 1 ▲ . 4016

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9、已知 P 为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,过 P 的直线 l 与抛物线交与 A,B 两点，若 Q 在直线 ??? ? ??? ? ???? ??? ? l 上,且满足 | AP || QB |?| AQ || PB | ，则点 Q 总在定直线 x ? ?1 上．试猜测如果 P 为
x2 y2 ? ? 1 的左焦点，过 P 的直线 l 与椭圆交与 A,B 两点，若 Q 在直线 l 上, 25 9 ??? ? ??? ? ???? ??? ? 25 且满足 | AP || QB |?| AQ || PB | ，则点 Q 总在定直线 ▲ 上． x ? ? 4

椭圆

10、 曲边梯形由曲线 y ? e x , y ? 0, x ? 1, x ? 5 所围成，过曲线 y ? e x , x ?[1,5] 上一点 P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，这时点 P 的坐标是 ▲ .． (3, e3 )

二解答题 11．（本小题满分 14 分） 已知关于 x 的一元二次函数 f ( x) ? ax2 ? 4bx ? 1 . （1）设集合 P={1，2， 3}和 Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合 P 和 Q 中随机 取一个数作为 a 和 b ，求函数 y ? f ( x) 在区间[ 1,??) 上是增函数的概率； （2）设点（ a ， b ）是区域 ? ?x ? 0 增函数的概率. 解：（1）∵函数 f ( x) ? ax2 ? 4bx ? 1 的图象的对称轴为 x ? 要使 f ( x) ? ax2 ? 4bx ? 1 在区间 [1,??) 上为增函数， 当且仅当 a >0 且
?x ? y ? 8 ? 0 ?y ? 0 ?

内的随机点，求 y ? f ( x)在区间[1, ??) 上是

2b , a

2b ? 1, 即2b ? a a

……………………………3 分

若 a =1 则 b =－1，若 a =2 则 b =－1，1； 若 a =3 则 b =－1，1；…………5 分 ∴事件包含基本事件的个数是 1+2+2=5 ∴所求事件的概率为
5 1 ? . 15 3

……………………………7 分

（2）由（Ⅰ）知当且仅当 2b ? a 且 a >0 时， 函数 f ( x) ? ax2 ? 4bx ? 1在区是间 [1,??) 上为增函数，

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? ?a ? b ? 8 ? 0 ? ? ? ? 依条件可知试验的全部结果所构成的区域为 ?(a, b) ?a ? 0 ? ? ?b ? 0 ? ? ? ?

?a ? b ? 8 ? 0 16 8 ? 构成所求事件的区域为三角形部分.由 ? 得交点坐标为 ( , ), …11 a 3 3 b? ? 2 ?
分

1 8 ?8? 3 ? 1 . ………………………… 14 分 ∴所求事件的概率为 P ? 2 1 3 ?8?8 2

12、 已知长方形 ABCD, AB ? 2 2, BC ? 1 ，以 AB 的中点 O 为原点建立如图所示的 平面直角坐标系 xOy . (Ⅰ)求以 A 、 B 为焦点，且过 C 、 D 两点的椭圆的标准方程; 。(Ⅱ)过点 P(0,2) 的直线 l 交(Ⅰ)中椭圆于 M , N 两点, 判断是否存在直线 l ,使得以弦

MN 为直径的圆恰好过原点，并说明理由.
解：(Ⅰ)由题意可得点 A, B, C 的坐标分别为

(? 2 ,0),( 2 ,0),( 2 ,1) .……2分
x2 y2 设椭圆的标准方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ， a b

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则有

2a ?| AC | ? | BC |? (? 2 ? 2 ) 2 ? (0 ? 1) 2 + ( 2 ? 2 ) 2 ? (0 ? 1) 2
2 2 2 = 4 ? 2 2 ，? a ? 2 ， b ? a ? c ? 4 ? 2 ? 2

椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ?1. 4 2

……9分

(Ⅱ)假设满足条件的直线 l 存在，由条件可知直线 l 的斜率存在， 设直线 l 的方程为： y ? kx ? 2(k ? 0) ；设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) .

?x 2 ? 2 y 2 ? 4 联立方程 ? ，消去 y 并整理得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 8kx ? 4 ? 0 y ? kx ? 2 ?
有 x1 ? x2 ? ? 有 x1 ? x2 ? ?

8k 4 xx ? ……12分 2 ， 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 8k 4 xx ? ……12分 2 ， 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k

若以弦 MN 为直径的圆恰好过原点，则 ON ? ON ，所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 即 (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 ，所以

4(1 ? k 2 ) 16k 2 ? ?4?0 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

8 ? 4k 2 ? 0 ，解得 k ? ? 2 ……14 分 即 1 ? 2k 2
验知 k 值满足判别式 ? ? 0 所以，直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 2 或 y ? ? 2 x ? 2 . ……16 分

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