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2006年高考数学仿真试题 命题人广州市花都区第二中学 陈文运 DATE @ yyyy-M-d 2005-8-18


2006 年高考数学仿真试题

命题人:广州市花都区第二中学

陈文运

2014-10-5

04-05 学年高考数学仿真试题(二)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.

已知映射 f:A→B,其中集合 A={-9,-3,-1,1,3,9},集合 B 中的元素都是 A 中的元素在映射 f 下的象,且对于任意 x∈A,在 B 中和它对应的元素是 log3|x|,则集合 B 为 A.{1,2,3} B.{0,1,2} C.{-2,-1,0,1,2} D.{1,2} 2.若α 是第三象限角,且 cos

? ? <0,则 是 2 2

A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 3.已知直线 a、b,平面α 、β ,那么下列命题中正确的是 A.若 a ? α ,b ? β ,a⊥b,则α ⊥β B.若 a ? α ,b ? β ,a∥b,则α ∥β C.若 a∥α ,a⊥b,则 b⊥α D.若 a∥α ,a⊥β ,则α ⊥β - 4.设函数 f(x)=2 x,函数 g(x)的图象与 f(x)的图象关于直线 y=x 对称,函数 h(x) 的图象由 g(x)的图象向右平移 1 个单位得到,则 h(x)为 A.-log2(x-1) B.-log2(x+1) C.log2(-x-1) D.log2(-x+1) 5.“a>1”是“

1 <1”的 a

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.若 a+b=0,则直线 y=ax+b 的图象可能是

7.设 e1、 e2 是两个不共线向量,若向量 a=3e1+5e2 与向量 b=me1-3e2 共线, 则 m 的值等于 A.-

5 3

B.-

9 5

C.-

3 5

D.-

5 9

8.Sn 为等差数列{an}的前 n 项之和,若 a3=10,a10=-4,则 S10-S3 等于 A.14 B.6 C.12 D.21 9.设 a∈(0,
1 1 a ) ,则 a , log 1 a , a 2 间的大小关系为 2 2

—1—

2006 年高考数学仿真试题

命题人:广州市花都区第二中学
1

陈文运

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A. a

a

? a 2 ? log 1 a
2

1

B. a 2

? log 1 a ? a a
2

C. log 1
2

a?a ?a
a

1 2

D. log 1
2

a ? a ? aa

1 2

1 1 x2 y2 ? 10.椭圆 2 ? 2 =1 (a>b>0) 上两点 A、 B 与中心 O 的连线互相垂直, 则 2 OA OB 2 a b
的值为 A.

1 a ? b2
2

B.

1 a b2
2

C.

a 2b 2 a2 ? b2

D.

a2 ? b2 a 2b 2

11.有 10 名学生,其中 4 名男生,6 名女生,从中任选 2 名学生,恰好是 2 名男生或 2 名女生的概率是 A.

2 45
棉农甲 棉农乙

B.

2 15
68 69 72 71

C.

7 15
69 68

D.

1 3

12.甲、乙两棉农,统计连续五年的单位面积产量(千克/亩)如下表: 70 68 71 69

则平均产量较高与产量较稳定的分别是 A.棉农甲,棉农甲 B.棉农甲,棉农乙 C.棉农乙,棉农甲 D.棉农乙,棉农乙 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上) 13.已知圆 x2+y2-6x-7=0 与抛物线 y2=2px(p>0)的准线相切,则 p=______. 14.x(1-x)4-x3(1+3x)12 的展开式中,含 x4 项的系数为______.

? x ? y ? 3 ? 0, ? 15.若 x、y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0, 设 y=kx,则 k 的取值范围是______. ?3x ? y ? 5 ? 0, ?
16.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x-2)=-f(x) ,给出下列四个结论: ①f(2)=0;②f(x)是以 4 为周期的函数;③f(x)的图象关于 y 轴对称;④f(x+2) =f(-x). 其中所有正确命题的序号是______. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)工人看管三台机床,在某一小时内,三台机床正常工作的概率 分别为 0.9,0.8,0.85,且各台机床是否正常工作相互之间没有影响,求这个小时内: (1)三台机床都能正常工作的概率;
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命题人:广州市花都区第二中学

陈文运

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(2)三台机床中至少有一台能正常工作的概率. 18.(本小题满分 12 分)已知 A(3,0) ,B(0,3) ,C(cosα ,sinα ). (1)若 AC ? BC =-1,求 sin2α 的值; (2)若 | OA ? OC |?

13 ,且α

∈(0,π ) ,求 OB 与 OC 的夹角.

19.(本小题满分 12 分)如图,已知四边形 ABCD 为直角梯形, AB∥CD,∠BAD=90°,PA⊥平面 ABCD,CD=2,PA=AD=AB=1, E 为 PC 的中点. (1)求证:EB∥平面 PAD; (2)求直线 BD 与平面 PCD 所成的角; (3)求二面角 A—PC—D 的大小. 20. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 等 比 数 列 {an} 中 , 公 比 q ≠ 1 , Sn=a1+a2+ ? +an , Tn=

1 1 1 ? ??? . a1 a2 an
(1)用 a1,q,n 表示

Sn ; Tn

(2)若 ?

3S1 S3 S5 , , 成等差数列,求 q; T1 T3 T5
? 1, Rn ?
9 1 2 n ,求证: Rn ? . ? ??? 4 a1 a3 a2 n ?1

(3)在(2)的条件下,设 a1

21.(本小题满分 12 分)已知双曲线 线 l 交于点 P,F 是双曲线的右焦点. (1)求证:PF⊥l;

x2 y2 =1(a>0,b>0)的右准线 l2 与一条渐近 ? a2 b2

(2)若|PF|=3,且双曲线的离心率 e=

5 ,求该双曲线方程; 4

(3)延长 FP 交双曲线左准线 l1 和左支分别为点 M、N,若 M 为 PN 的中点,求双曲 线的离心率. 22.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=x3-

1 2 x +bx+c. 2

(1)若 f(x)的图象有与 x 轴平行的切线,求 b 的取值范围; (2)若 f(x)在 x=1 时取得极值,且 x∈[-1,2]时,f(x)<c2 恒成立,求 c 的取 值范围.

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2006 年高考数学仿真试题

命题人:广州市花都区第二中学

陈文运

2014-10-5

04-05 学年高考数学仿真试题(二)答案
一、1.B 2.B 3.D 4.A 5.A 6.C 7.B 8.A 9.C 10.D 11.C 12.B 二、13. 2 14. -40 15.[

1 ,2] 16.①②④ 2
6分

三、17.(1)三台机床都能正常工作的概率为 P1=0.9?0.8?0.85=0.612. (2)三台机床至少有一台能正常工作的概率是 P2=1-(1-0.9) (1-0.8) (1-0.85)=0.997. 12 分 18.(1) AC =(cosα -3,sinα ) , BC =(cosα ,sinα -3) , ∴由 AC ? BC =-1,得(cosα -3)cosα +sinα (sinα -3)=-1, ∴cosα +sinα =

2分

2 , 4分 3

两边平方,得 1+sin2α =

5 4 ,∴sin2α =- . 9 9

6分

(2) OA ? OC =(3+cosα ,sinα ) , ∴(3+cosα )2+sin2α =13, ∴cosα = 8分

1 ,∵α ∈(0,π ) , 2
=

∴α =

? ,sinα 3

3 , 2

9分

∴ C(

1 3 3 3 , , ), OB ? OC ? 2 2 2

设 OB 与 OC 的夹角为θ ,则

3 3 OB ? OC 3 cosθ = , ? 2 ? 3 2 | OB || OC |
∴θ =

11 分

? 6

即为所求.

12 分

19.(1)取 PD 的中点 F,连结 AF、EF, 则 EF

1 CD,又 BA 2

1 CD, 2
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2006 年高考数学仿真试题
∴EF BA, 2 分

命题人:广州市花都区第二中学

陈文运

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∴四边形 ABEF 为平行四边形,∴EB∥FA, 又∵EB ? 平面 PAD,FA ? 平面 PAD, ∴EB∥平面 PAD. 4分 (2)∵PA⊥平面 ABCD,PA ? 平面 PAD, ∴平面 PAD⊥平面 ABCD, 又∵CD⊥AD, ∴CD⊥平面 PAD,又 CD ? 平面 PCD, ∴平面 PCD⊥平面 PAD, ∵PA=AD,F 为 PD 的中点, ∴AF⊥PD, ∴AF⊥平面 PCD,又∵BE∥AF,∴BE⊥平面 PCD, 连结 DE,则∠BDE 为直线 BD 与平面 PCD 所成的角, 在 Rt△PCD 中, DE ?

6分

1 1 1 6 , PC ? PD 2 ? CD 2 ? 2?4 ? 2 2 2 2

∴在 Rt△ABD 中, BD ?

AD2 ? AB2 ? 2 ,

6 DE 3 ∴在 Rt△BDE 中,cosBDE= , ? 2 ? BD 2 2
∴∠BDE=30°, 即直线 BD 与平面 PCD 所成的角为 30°. 8分 (3)过 F 作 FG⊥PC 于 G,连结 AG,由三垂线定理得,AG⊥PC, ∴∠FGA 为二面角 A—PC—D 的平面角, 10 分 ∵Rt△PFG∽Rt△PCD, ∴

FG PF ? , CD PC

∴ FG ?

CD ? PF ? PC

2?

2 2 ? 1 , 6 3

2 AF 6 在 Rt△AFG 中,tanFGA= , ? 2 ? 1 FG 2 3
∴∠FGA=arctan

6 , 2

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2006 年高考数学仿真试题

命题人:广州市花都区第二中学

陈文运

2014-10-5

即二面角 A—PC—D 的大小为 arctan

6 . 2

12 分

1 a1 (1 ? q n ) 1 1 20.(1)Sn= ,而{ }是以 为首项, 为公比的等比数列, q an 1? q a1
1 1 [1 ? ( ) n ] S a1 q q n ?1 ∴ Tn ? ? ? 2 nn ?1 , 2 分 n ?1 1 a1q (q ? 1) a1 q 1? q


S n 2 n-1 = a1 q . Tn

4分

(2)由已知得:-3a12,a12q2,a12q4 成等差数列, ∴2a12q2=-3a12+a12q4, 6分 4 2 ∵a1≠0,∴q -2q -3=0, ∵q2>0,∴q2=3,q=±

3.

8分
- - -

(3)∵a1=1,q2=3,∴a2n-1=a1q2n 2=(q2)n 1=3n 1, ∴ Rn

1 2 3 n 1 1 2 3 n ? ? ? 2 ? ? ? n ?1 , Rn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n , 1 3 3 3 3 3 3 3 3

两式相减,得

1 1 ? ( )n 2 1 1 1 n 3 ? n ? 3? 3? 1 ? n Rn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? n ? 1 3 3 3 3 3 3n 2 2 3n 3n 1? 3
∴ Rn

11 分

?

9 9 1 3 n 9 ? ? ? ? ? . 4 4 3n 2 3n 4

12 分

21.(1)右准线为 x=

a2 , c
b x, a

由对称性不妨设渐近线 l 为 y=

a 2 ab 则 P( ,又 F(c,0) , , ) c c

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2006 年高考数学仿真试题

命题人:广州市花都区第二中学

陈文运

2014-10-5

∴ k PF

ab ?0 a c ? 2 ?? , a b ?c c
?

2分

又∵ k l

a b b ,∴kPF?kl=- ? =-1, a b a

∴PF⊥l. 4分 (2)∵|PF|的长即 F(c,0)到 l:bx-ay=0 的距离, ∴

| bc | a2 ? b2

=3,即 b=3,

6分

又e ?

c 5 ? , a 4

a 2 ? b 2 25 ∴ ? ,∴a=4, a2 16 x2 y2 故双曲线方程为 =1. ? 16 9
(3)PF 的方程为:y=- 8分

a (x-c) , b

a ? y ? ? ( x ? c), ? a 2 a(a 2 ? c 2 ) ? b 由? 得 M (? , ), 2 c bc ?x ? ? a , ? c ?
∵M 是 PN 的中点 ∴ N (?

9分

3a 2 a(3a 2 ? c 2 ) , ), c bc

10 分

∵N 在双曲线上, ∴

9a 2 a 2 3a 2 ? c 2 2 ? ( ) ? 1, c2 c2 b2

9 1 e2 ? 3 2 即 2 ? 2( 2 ) ?1, e e e ?1
令 t=e2,则 t2-10t+25=0,∴t=5,即 e= 22.(1)f′(x)=3x2-x+b,

5.

12 分

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2006 年高考数学仿真试题

命题人:广州市花都区第二中学

陈文运
2分

2014-10-5

f(x)的图象上有与 x 轴平行的切线,则 f′(x)=0 有实数解, 即方程 3x2-x+b=0 有实数解, 由Δ =1-12b≥0, 4分 得 b≤

1 . 12

6分

(2)由题意,x=1 是方程 3x2-x+b=0 的一个根,设另一根为 x0,则

1 ? 2 x ? 1 ? , ? 0 ? ? 3 ∴ ? x0 ? ? , 8 分 3 ? ? b ?x ?1 ? , ? ?b ? ?2, 0 ? 3 ?
∴f(x)=x3-

1 2 x -2x+c,f′(x)=3x2-x-2, 2

10 分

当 x∈(-1,-

2 )时,f′(x)>0; 3

当 x∈(-

2 ,1)时,f′(x)<0; 3

x∈(1,2)时,f′(x)>0, ∴当 x=-

2 22 1 时,f(x)有极大值 +c,又 f(-1)= +c,f(2)=2+c, 2 3 27

即当 x∈[-1,2]时,f(x)的最大值为 f(2)=2+c, ∵对 x∈[-1,2]时,f(x)<c2 恒成立, ∴c2>2+c, 12 分 解得 c<-1 或 c>2, 故 c 的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞). 14 分

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