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7 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法


第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器 的设计方法
7.1 引言

7.2 线性相位FIR滤波器的特点
7.3 用窗函数法设计FIR滤波器

7.4 用频率采样法设计FIR滤波器
7.5 FIR滤波器和IIR滤波器的比较

/>1

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

7.1 引言
FIR数字滤波器的差分方程描述:

y (n) ? ? bi x(n ? i )
对应的系统函数:
i ?0

N ?1

① ②

H ( z ) ? ? bi z
i ?0
N ?1 i ?0

N ?1

?i

因为它是一种线性时不变系统,可用卷积和形式表示

y (n) ? ? h(i ) x(n ? i )
比较①、③得:bi ? h(i )



H ( z ) ? ? h(i ) z
i ?0

N ?1

?i

H ( z ) ? ? h( n) z ? n
n ?0

N ?1

2

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 FIR数字滤波器的特点: ① FIR数字滤波器的单位冲激响应h(n)是有限长的。任何 一个非因果的有限长序列,总可以通过一定的延时,

转变为因果序列,所以因果性总是满足;
② 极点全部在原点(永远稳定),无稳定性问题; ③ 无反馈运算,运算误差小,结构一般是非递归的。 ④ 很容易获得严格的线性相位,避免被处理的信号产生 相位失真,这一特点在宽频带信号处理、阵列信号处

理、数据传输等系统中非常重要;

3

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

7.2 线性相位FIR滤波器的特点
如果FIR数字滤波器的单位抽样响应h(n)是实数序列, 而 且满足偶对称或奇对称的条件,即

h(n) ? ?h( N ? 1 ? n)
则滤波器就具有严格的线性相位特点。

4

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

一、线性相位特性
(1) h(n)偶对称的情况:

h(n)=h(N-1-n)
其系统函数为:
N ?1 n ?0 N ?1 n ?0

0≤n≤N-1

H ( z ) ? ? h ( n ) z ?n ? ? h( N ? 1 ? n ) z ?n
将m=N-1-n代入

H ( z ) ? ? h(m) z ?( N ?1?m ) ? z ?( N ?1) ? h(m) z m
m ?0 m ?0
5

N ?1

N ?1

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 即 上式进一步写成:

H ( z ) ? z ? ( N ?1) H ( z ?1 )

1 H ( z ) ? [ H ( z ) ? z ? ( N ?1) H ( z ?1 )] 2 1 N ?1 ? ? h(n)[ z ? n ? z ? ( N ?1) z n ] 2 n ?0
? N ?1 ? ? ? N2?1? n ? ?? ?n ? ? ? ? ? N ?1 ? N ?1 ? ? ? 2 ? ?? ? ?z ?z ? ? 2 ? ?z ? h( n) ? ? 2 n ?0 ? ? ? ?

6

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 滤波器的频率响应为

H (e j? ) ? H ( z ) |z ?e j? ?e
? N ?1 ? N ?1 ? j? ?? ? 2 ?

?? N ? 1 ? ? ? h(n) cos ?? 2 ? n ? ? ? ? ? n ?0 ??

可以看到,上式的Σ以内全部是标量,如果将频率响应用

相位函数θ (ω )及幅度函数H(ω)表示

H (e j? ) ? H (? )e j? (? )
7

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

那么有:

? ? N ?1 ?? H (? ) ? ? h( n) cos ?? ? ? n ?? ?? n ?0 ? ? 2 ? N ?1 ? ? (? ) ? ? ? ?? ? 2 ?
N ?1

幅度函数 H(ω)是标量函数,可以包括正值、负值和零, 而且

是 ω 的偶对称函数和周期函数; 而|H(ejω)|取值大于等于零,
两者在某些ω值上相位相差π。 相位函数θ(ω)具有严格的线性相位,如图7-3所示。
8

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

图7-3. h(n)偶对称时的线性相位特性

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第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 数字滤波器的群延迟τ(ω)定义为

d ? (? ) ? grd[ H (e )] ? ? [? (? )] d?
j?

式中,grd(group

delay)为群延迟函数。由上式可知,当h(n)

满足偶对称时,FIR数字滤波器具有(N-1)/2个采样的延时, 它

等于单位抽样响应h(n)长度的一半。也就是说,FIR数字滤波器
的输出响应整体相对于输入延时了(N-1)/2个采样周期。

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第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 h(n)奇对称的情况:

h(n)=-h(N-1-n)
其系统函数为
N ?1 n ?0 N ?1 n ?0

0≤n≤N-1

H ( z ) ? ? h( n) z ? n ? ? ? h( N ? 1 ? n) z ? n ? ? ? h(m) z ? ( N ?1? m )
m ?0 N ?1

? ?z
因此

? ( N ?1)

m?0

h( m) z m ?

N ?1

H(z)=-z-(N-1)H(z-1)
11

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 同样可以改写成

1 H ( z ) ? [ H ( z ) ? z ? ( N ?1) H ( z ?1 )] 2 1 N-1 ? ? h(n) ? z ? n ? z ? ( N ?1) z n ? ? ? 2 n ?0
? N ?1 ? ? ? N2?1? n ? ?? ?n ? ? ? ? ? N ?1 ? N ?1 ? ? ? 2 ? ?? ? z ?z ? ? ? z ? 2 ? ? h( n) ? ? 2 n ?0 ? ? ? ?

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第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 其频率响应为

H (e j? ) ? H ( z ) |z ?e j? ? je ?e
所以有:
? N ?1 ? N ?1 ? j? ?? ? 2 ?

?? N ? 1 ? ? h(n) sin ?? ? n ?? ? ? ? ? n ?0 ?? 2 ?? N ? 1 ? ? ? h(n) sin ?? 2 ? n ? ? ? ? ? n ?0 ??

? N ?1 ? N ?1 ? j? ?? ? j? / 2 ? 2 ?

?? N ? 1 ? ? H (? ) ? ? h(n ) sin ?? ? n ?? ? ? ? n?0 ?? 2 ? ? N ?1 ? ? (? ) ? ? ? ?? ? 2 ? 2 ?
N ?1

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第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 幅度函数H(ω )可以包括正值、负值和零,而且是ω 的奇对称函数和周期函数。相位函数既是线性相位,又 包括π/2的相移,如图7-4所示。可以看出,当h(n)为奇 对称时,FIR滤波器不仅有(N-1)/2 个采样的延时, 还 产生一个90°的相移。这种使所有频率的相移皆为90° 的网络,称为90°移相器,或称正交变换网络。它和 理想低通滤波器、理想微分器一样,有着极重要的理论 和实际意义。 ? 当h(n)为奇对称时,FIR滤波器将是一个具有准确 的线性相位的正交变换网络。
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第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

?? (? )
π 2 o

?

2?

?

π?N - 3? ? - ? 2? ?

图7-4 h(n)奇对称时的90o线性相位特性

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第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

二、 幅度响应特性
1. 第一种类型: h(n)为偶对称,N为奇数 h(n)偶对称的幅度函数式为:

?? N ? 1 ? ? H (? ) ? ? h(n) cos ?? ? n ?? ? ? ? n ?0 ?? 2
N ?1

? N ?1 ? ? 可以看出,不但h(n)对于(N-1)/2 呈偶对称,而且cos ?? ? n ?? ? ? ? ? ?? 2 也对(N-1)/2 呈偶对称,即:

h( n ) ? h( N ? 1 ? n ) ? ? N ?1 ? ? N ?1 ? ? N ?1 ?? ?? ?? cos?? ? ? ( N ? 1 ? n )? ? ? cos?? ? ? ? n ?? ? cos?? ? ? n ?? ?? ?? ?? ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2
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第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 将Σ内两两相等的项合并,幅度函数就可以表示为

N ? 1 ? ( N ? 3) / 2 ? ? N ?1 ? ?? H (? ) ? h? ? n ?? ? ? ? 2h( n ) cos?? ? ? 2 ? ?? n ?0 ? ? 2
令 n?

N ?1 ? m ,则上式可改写为: 2
( N ?1) / 2

? N ?1? H (? ) ? h? ?? ? 2 ?
可表示为

?
m ?1

? N ?1 ? 2h ? ? m ? cos( m) ? ? 2 ?

H (? ) ?

( N ?1) / 2 n ?0

? a(n) cos(?n)
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第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 式中:
? N ?1? a (0) ? h? ? ? 2 ?
? N ?1 ? a ( n ) ? 2h ? ? n? ? 2 ?

n=1,2,3,…,(N-1)/2

由于cos(ωn)项对于ω=0,?π,2π皆为偶对称,因此幅度函数

H(ω)对于ω=0, π,2π也呈偶对称。

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第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 2. 第二种类型:h(n)为偶对称,N为偶数?

?? N ? 1 ? ? H (? ) ? ? h(n) cos ?? ? n ?? ? ? ? n ?0 ?? 2
N ?1

由于N为偶数,因此式中无单独项,全部可以两两合并得

? ? N ?1 ?? H (? ) ? ? 2h( n ) cos?? ? ? n ?? ?? n ?0 ? ? 2
N / 2 ?1

N 令 n ? ? m ,代入上式可得 2

1 ?? ?N ? ? ? H (? ) ? ? 2h? ? m ? cos?? ? m ? ?? 2 ?? ?2 ? ? ? m ?1
N /2
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第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

因此

1 ?? ? ? H (? ) ? ? b(n ) cos?? ? n ? ?? 2 ?? n ?1 ? ?
N /2

式中:

?N ? b( n ) ? 2 h ? ? n ? ?2 ?

n=1,2, 3, …, N/2

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第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法
1 ?? ? ? cos?? ? n ? ?? ? 0 ,余弦项对ω=π呈奇对称, 当ω=π时, 2 ?? ? ?

因此H(π)=0,即H(z)在z=ejπ=-1 处必然有一个零点,而且H(ω)对 ω=π呈奇对称。 ?
? 当ω=0或2π时, cos?? ? n 或-1,余弦项对ω=0, 2π为偶对称, ? ? ?? ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ??

幅度函数H(ω)对于ω=0, 2π也呈偶对称。

如果数字滤波器在ω=π处不为零,例如高通滤波器、带阻滤波 器,则不能用这类数字滤波器来设计。
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第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 3. 第三种类型: h(n)为奇对称,N为奇数 h(n)奇对称的幅度函数式如下:

? ? N ?1 ?? H (? ) ? ? h(n ) sin?? ? ? n ?? ?? n ?0 ? ? 2
N ?1

由于h(n)对于(N-1)/2 呈奇对称,即h(n)=-h(N-1-n),当n=(N-

1)/2时,

N ?1? ? N ?1? ? ? N ?1? h? ? ?h? N ? 1 ? ? ?h? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? 2 ?

? N ?1? 因此, h? ? ? 0 , 即h(n)奇对称时,中间项一定为零。此外, ? 2 ? ? ? N ?1 ?? sin?? ? ? n ?? 也对(N-1)/2 呈奇对称。 式中, ?? ? ? 2
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第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

? ? N ?1 ? ? N ?1 ?? ?? sin?? ? ? ( N ? 1 ? n )? ? ? sin?? ? ? ? n ?? ?? ?? ? ? 2 ? ? 2 ? ? N ?1 ?? ? ? sin?? ? ? n ?? ?? ? ? 2
因此,在Σ中第n项和第(N-1-n)项是相等的,将这两两相等的项 合并,即
( N ?3) / 2

H (? ) ?

?
n ?0

? ? N ?1 ?? 2h(n ) sin?? ? ? n ?? ?? ? ? 2
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第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法
N ?1 ? m , 则上式可改写为 令 n? 2

H (? ) ?


( N ?1) / 2

?
m ?1

? N ?1 ? 2 h ( n )? ? m ? sin(?m) ? 2 ?
( N ?1) / 2

H (? ) ?
式中:

?
n ?1

c(n ) sin(?m)
n=1, 2, 3, …, (N-1)/2

? N ?1 ? c ( n ) ? 2h ? ? n? ? 2 ?

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第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

由于sin(ωn)在ω=0, π, 2π处都为零,并对这些点呈奇对称,
因此幅度函数H(ω)在ω=0,π,2π处为零,即H(z)在z=〒1上都有零

点,且H(ω)对于ω=0,π,2π也呈奇对称。

如果数字滤波器在ω=0, π, 2π处不为零,例如低通滤波器、 高通 滤波器、带阻滤波器,则不能用这类数字滤波器来设计, 除非 不考虑这些频率点上的值。
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第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 4. 第四种类型:h(n)为奇对称,N为偶数

? ? N ?1 ?? H (? ) ? ? h(n ) sin?? ? ? n ?? ?? n ?0 ? ? 2
N ?1

由于N为偶数,因此式中无单独项,全部可以两两合并得 N ?1 ? ? N ?1 ?? H (? ) ? ? 2h(n ) sin?? ? ? n ?? ?? n ?0 ? ? 2
?
N / 2 ?1

?
n ?0

? ? N ?1 ?? 2h(n ) sin?? ? ? n ?? ?? ? ? 2

令n ?

N ? m , 则有 2

1 ?? ?N ? ? ? H (? ) ? ? 2h? ? m ? sin ?? ? m ? ?? 2 ?? ?2 ? ? ? m ?1
N /2
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第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

因此

1 ?? ? ? H (? ) ? ? d (n ) sin?? ? n ? ?? 2 ?? m ?1 ? ?
N /2

式中:

?N ? d (n ) ? 2h? ? n ? n ? 1,2,3,?, N / 2 ?2 ?
1 ?? ? ? sin?? ? n ? ?? ? 0 ,且对ω=0, 2π呈奇对称, 2 ?? ? ? 因此H(ω)在ω=0, 2π处为零,即H(z)在z=1处有一个零点,且H(ω)
当ω=0, 2π时, 对ω=0, 2π也呈奇对称。
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第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

1 ?? 1 ?? ? ? ? ? 当ω=π时, sin ?? ? n ? ?? ? ?1或1,则 sin ?? ? n ? ?? 对 ω=π 2 ?? 2 ?? ? ? ? ? 呈偶对称,幅度函数H(ω)对于ω=π也呈偶对称。

如果数字滤波器在ω=0, 2π处不为零,例如低通滤波器、 带阻滤波器,则不能用这类数字滤波器来设计。
上述四种线性相位FIR滤波器的特性示于表7-1中。
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第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法
表7-1 四种线性相位FIR滤波器特性

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第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法
表7-1 四种线性相位FIR滤波器特性

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第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

三、线性相位FIR滤波器的零点位置
线性相位FIR滤波器的系统函数为: H(z)=〒z-(N-1)H(z-1) 因此,若z=zi是H(z)的零点,即H(zi)=0, 则z=1/zi=zi-1也一定是H(z)的零点,(H(zi-1)=〒zi (N-1) H(zi)=0) 当h(n)是实数时,H(z)的零点必成共轭对出现, 所以 z=zi*及z=(z*i)-1也一定是H(z)的零点, 因而 线性相位FIR滤波器的零点必是互为倒数的共轭对。 这种互为倒数的共轭对有四种可能性:
31

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

图 7-5 线性相位FIR滤波器的零点位置图
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第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 由幅度响应的讨论可知, 第二种类型的线性相位滤波器 H(π)=0,

因此必然有单根 z= -1。 第四种类型的线性相位滤波器 H(0)=0, 因此必然有单根 z=1。 第三种类型的线性相位滤波器 H(0)=H(π)=0, 因此必然有两种单根 z=〒1 。 ?
了解了线性相位FIR滤波器的特点,便可根据实际需 要选择合适类型的FIR滤波器,同时设计时需遵循有关的 约束条件。下面讨论线性相位FIR滤波器的设计方法时, 都要用到这些特点。
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第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 如果希望得到的滤波器的理想频率响应为:

H d (e ) ? ? hd (n)e ? jn?
j? n ?0

N ?1

那么 FIR滤波器的设计就在于寻找一个传递函数

H ? e j? ? ? ? h(n)e? jn?
n ?0

N ?1

去逼近 H d (e j? ) , 逼近方法有三种: 窗口设计法(时域逼近) 频率采样法(频域逼近)

最优化设计(等波纹逼近)

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第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

7.3 用窗函数法设计FIR滤波器
一、设计方法
窗函数法是设计FIR数字滤波器最简单的方法。这种方法一 般是先给定所要求的理想滤波器的频率响应 H d (e j? ) ,要求设计一 个FIR滤波器频率响应 H (e ) ? ? h(n)e? j?n , 去逼近理想的频率响 n ?0 应 H d (e j? ) 。
j? N ?1

窗函数法设计FIR数字滤波器是在时域进行的, 从单位抽 样响应序列着手,使h(n)逼近理想的单位抽样响应序列hd(n)。
因此,必须首先由理想频率响应 H d (e j? ) 的傅里叶反变换推导出 对应的单位抽样响应:

1 hd (n) ? 2?

??
?

?

H d (e j? )e j?n d?

(7-36)
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第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

由于许多理想化的系统均用分段恒定的或分段函数表示
的频率响应来定义,因此hd(n)一定是无限长的序列,且是

非因果的。而我们要设计的是FIR滤波器,其h(n)必定是有
限长的,所以要用有限长的h(n)来逼近无限长的hd(n),最简

单且最有效的方法是截断hd (n)

?hd (n ) ? h(n ) ? ? ?0 ?

0≤n≤N-1 其他
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第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

通常,我们可以把h(n)表示为所需单位抽样响应与一个有限长的
窗口函数序列w(n)的乘积,即

h(n)=hd(n)w(n)
式中如果采用简单截取,则窗函数为矩形窗。

矩形窗?

h d (n)

0≤n≤N-1 ?1 ? w(n) ? RN (n) ? ? (a) ?0(N-1) / 2 其他 ? o 的波形如下图所示:
RN(n) 1 (b) o h(n) N-1

n

n
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第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 例如,要求设计一个线性相位FIR数字低通滤波器, 假设理想低通滤波器的频率响应为:
?e ? j? ? ? j? H d (e ) ? ? ?0 ?

|ω|≤ωc
ωc<|ω|≤π

1 ?c ? j?? j? n 相应的单位抽样响应为:hd (n) ? ???c e e d? 2? sin[?c ( n ? ? )] ? ? (n ? ? )

(7-39)

hd(n)是一个中心点在α的偶对称、无限长、非因果序列, 为了构造一个长度为N的线性相位滤波器,只有将hd(n)截 取一段,并保证截取的一段对(N-1)/2 对称,故中心点a必

须取a=(N-1)/2 。
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第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法
h d (n)

设截取的一段用h(n)表示,则

(a)

o RN(n) 1 o h(n)

(N-1) / 2

n

?h(n) ? hd (n) w(n) ? hd (n) RN (n) ? (b) ? N ?1 ?? ? ? 2
(c)

N-1

n

o

(N-1) / 2

N-1

n

理想低通的单位抽样响应及矩形窗
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第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

分析窗口函数法对频响产生的影响

H (e j? ) ? H d (e j? ) 逼近程度
根据复卷积定理,由 h(n) ? hd (n) w(n) 可得 h(n)的频率特性为:

1 H (e ) ? 2?
j?

??
?

?

H d (e )W (e

j?

j (? ?? )

)d? (7-42)

H(ejω)能否逼近Hd(ejω)取决于窗函数的频谱特性W(ejω)

40

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

W (e j? ) ? ? w(n )e ? j?n
n ?0

N ?1

这里选用矩形窗RN(n),其频谱特性为

WR ( e ) ? ? e
j? n ?0

N ?1

? j?n

1? e ? ?e ? j? 1? e

? j?N

? N ?1 ? ? j? ?? ? 2 ?

sin(?N / 2) sin(? / 2)

幅频特性和相频特性为

WR (e ) ? WR (? )e

j?

? N ?1 ? ? j? ?? ? 2 ?

(7-45)

41

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 式中:

sin(?N / 2) WR (? ) ? sin(? / 2)

其中,WR(ω)是周期函数,主瓣宽度为4π/N,两侧有许多
衰减振荡的旁瓣。通常主瓣定义为原点两边第一个过零点 之间的区域。

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第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

若将理想滤波器的频率响应也写成

H d (e ) ? H d (? )e
则其幅频特性

j?

? N ?1 ? ? j? ?? ? 2 ?

(7-47)

?1 | ? |? ?c ? H d (? ) ? ? ?0 ?c ?| ? |? ? ?

将式(7-45)和式(7-47)代入式(7-42),就可以得到实
际设计的FIR滤波器频率响应为:
1 j? H (e ) ? 2? ?e
?
? N ?1 ? ? j? ?? ? 2 ? ? N ?1 ? ? j? ? (? ?? ) ? 2 ?

??
?

H d (? )e 1 2?

WR (? ? ? )e

d?

? N ?1 ? ? j? ?? 2 ? ?

??
?

?

H d (? )WR (? ? ? )d?
43

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 设
? N ?1 ? ? j? ?? ? 2 ?

H (e ) ? H (? )e

j?

则实际设计的FIR滤波器的幅频特性为

1 H (? ) ? 2?

??
?

?

H d (? )WR (? ? ? )d?

(7-51)

显然,对实际FIR滤波器的幅频特性H(ω)有影响的只是 窗函数的幅频特性WR(ω)。实际FIR滤波器的幅频特性是理 想低通滤波器的幅频特性与窗函数的幅频特性的卷积。

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第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 卷积过程说明: 1 ? H (? ) ? ??? H d (? )WR (? ? ? )d? 2? (1)ω=0 时的响应H(0),根据式(6-38),响应应该是图 中(a)和(b)两个函数乘积的积分,即H(0)等于WR(θ)在

θ=-ωc到θ=+ωc一段的积分面积。通常ωc>>2π/N,H(0)
实际上近似等于WR(θ)的全部积分(θ=-π到θ=+π)面积。

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第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

(2)ω=ωc时的响应H(ωc),Hd(θ)刚好与WR(ω-θ)的一半重叠, 如图(c) 。因此卷积值刚好是H(0)的一半,即H(ωc)/H(0)=1/2, 如图(f)。

46

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 (3)当 ? ? ?c ?

内,这时应出现正的肩峰。 (4)当 ? ? ?c ? 2? / N 时, 主瓣全部在通带外都在Hd(θ)的 通带(|ω|≤ωc)之外,而通带内的旁瓣负的面积大于正 的面积,因而卷积结果达到最负值,频响出现负肩峰。

2? 时, WR (? ? ? ) 的主瓣全部在 H d (? ) 的通带 N

47

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 (5)当 ? ? ?c ?
2? 时,随 N

W ? 增加, (? ? ? ) 左边旁瓣的
R

起伏部分扫过通带,卷积 H (? ) 也随着 WR (? ? ? ) 的旁瓣在通
带内的面积变化而变化,故 H (? ) 将围绕着零值而波动。 (6)当 ? ? ?c ?
2? 时, WR (? ? ? ) 的右边旁瓣将进入 H d (? ) 的通 N
H (? )

带,右边旁瓣的起伏造成

值围绕 H (0) 值而波动。

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第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

综上所述, 加窗函数处理后, 对理想频率响应产生以下几 点影响: ? (1)H(ω)将Hd(ω)在截止频率处的间断点变成了连续曲线, 使理想频率特性不连续点处边沿加宽,形成一个过渡带,过渡 带的宽度等于窗的频率响应WR(ω)的主瓣宽度Δω=4π/N,即正 肩峰与负肩峰的间隔为 4π/N。窗函数的主瓣越宽,过渡带也越 宽。 (2)在截止频率ωc的两边即ω=ωc〒(2π/N)的地方,H(ω)出 现最大的肩峰值,肩峰的两侧形成起伏振荡,其振荡幅度取决 于旁瓣的相对幅度,而振荡的多少,则取决于旁瓣的多少。
49

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

(3)改变N,只能改变窗谱函数的主瓣宽度,改变ω的坐标
比例以及改变WR(ω)的绝对值大小。例如,在矩形窗情况下,

sin(?N / 2) sin(?N / 2) sin x WR (? ) ? ? ?N sin(? / 2) ? /2 x
式中,x=ωN/2。

当截取长度N增加时,只会减小过渡带宽度(4π/N),但不
能改变主瓣与旁瓣幅值的相对比例; 同样,也不会改变肩峰的相 对值。这个相对比例是由窗函数形状决定的,与N无关。换句话 说,增加截取窗函数的长度N只能相应的减少过渡带,而不能改 变肩峰值。
50

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

由于肩峰值的大小直接影响通带特性和阻带衰减,所以对 滤波器的性能影响较大。例如, 在矩形窗情况下,最大相对肩 峰值为8.95%,N增加时,2π/N减小,起伏振荡变密, 最大相

对肩峰值则总是8.95%,这种现象称为吉布斯效应。

51

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

二、 各种窗函数?
矩形窗截断造成的肩峰值为8.95%,则阻带最小衰减为20

lg(8.95%)=-21 dB, 这个衰减量在工程上常常是不够大的。 为了
加大阻带衰减, 只能改变窗函数的形状。只有当窗谱逼近冲激函

数时,也就是绝大部分能量集中于频谱中点时,H(ω)才会逼近
Hd(ω)。这相当于窗的宽度为无限长,等于不加窗口截断,这没 有实际意义。 ?

从以上讨论中看出,窗函数序列的形状及长度的选择很关键, 一般希望窗函数满足两项要求:
52

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

(1)窗谱主瓣尽可能地窄,以获取较陡的过渡带。 ?
(2)尽量减少窗谱的最大旁瓣的相对幅度。也就是能量尽量 集中于主瓣, 这样使肩峰和波纹减小,就可增大阻带的衰减。 但是这两项要求是不能同时都满足的。当选用主瓣宽度较 窄时,虽然得到较陡的过渡带,但通带和阻带的波动明显增加; 当选用最小的旁瓣幅度时,虽能得到平坦的幅度响应和较小的阻 带波纹,但过渡带加宽,也即主瓣会加宽。因此, 实际所选用的 窗函数往往是它们的折衷。在保证主瓣宽度达到一定要求的前提

下,适当牺牲主瓣宽度以换取相对旁瓣的抑制。
以上是从幅频特性的改善对窗函数提出的要求。实际上设计 的FIR滤波器往往要求具有线性相位:
53

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

h(n) ? hd (n) w(n)
因此,除了要求hd(n)满足线性相位条件外,对w(n)也要求

长度N有限,且以(N-1)/2为其对称中心,即??

w(n) ? w( N -1- n)
综上所述,窗函数不仅起截断作用,还能起平滑作用,在很多领
域都得到广泛应用。因此, 设计一个特性良好的窗函数有着重要

的实际意义。 ?
设计FIR滤波器常用的窗函数有:
54

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 1. 矩形窗

?1 ? w(n) ? RN (n) ? ? ?0 ?

0≤n≤N-1 其他
? N ?1 ? ? j? ?? 2 ? ?

WR ( e j? ) ? WR (? )e

sin(?N / 2) WR (? ) ? sin(? / 2)

55

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 2. 三角形(Bartlett)窗

? 2n ? ? N ?1 w(n ) ? ? ? 2n ?2 ? N ? 1 ? w(n)的傅里叶变换为
2

N ?1 0?n? 2 N ?1 ? n ? N ?1 2

? ?? N ? 1 ? ? ? ? sin?? 4 ?? ? ? ? j ? N ?1 ?? 2 ? sin(N? / 4) ?2 ? j ? N ?1 ?? ? ? ? ? 2 ? ?? ? ?? j? ? 2 ? ? 2 ? W (e ) ? ? ? ? ?e ? sin(? / 2) ? e ? N ? 1 ? sin(? / 2) ? N? ? ? ? ? ? 近似结果在N>>1 时成立。 此时,主瓣宽度为8π/N, 比矩形窗
主瓣宽度增加一倍, 但旁瓣却小很多。
56

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 3. 汉宁(Hanning)窗? 汉宁窗又称升余弦窗。

1? ? 2? n ? ? w(n) ? ?1 ? cos ? ? ? RN (n) 2? ? N ? 1 ??
利用傅里叶变换特性,可得
? ? ? ? j? 2? ? 2? ?? ? ? ? j? W (e ) ? ?0.5WR (? ) ? 0.25?WR ? ? ? ? ? WR ? ? ? ?? ?e ? N ?1? N ? 1 ?? ? ? ? ? ? ? N ?1 ? ? j? ?? ? 2 ? N ?1 ? ?? 2 ?

? W (? )e

57

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 当N>>1 时,N-1≈N, 所以窗函数的幅频函数为

2? ? ? W (? ) ? 0.5WR (? ) ? 0.25 ?WR ? ? ? N ? ?

2? ? ? ? ? WR ? ? ? N ? ?

?? ?? ??

这三部分之和,使旁瓣互相抵消,能量更集中在主瓣,但
是代价是主瓣宽度比矩形窗的主瓣宽度增加一倍, 即为 8π/N。

58

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 4. 海明(Hamming)窗? 海明窗又称改进的升余弦窗。?

把升余弦窗加以改进, 可以得到旁瓣更小的效果, 窗形式为

? ? 2?n ?? w( n ) ? ?0.54 ? 0.46 cos? ?? RN ( n ) ? N ? 1 ?? ?
w(n)的频率响应的幅度特性为 2? ? 2? ?? ? ? ? W (? ) ? 0.54WR (? ) ? 0.23?WR ? ? ? ? WR ? ? ? ? ?? N ?1? N ? 1 ?? ? ? ?
2? ? 2? ?? ? ? ? ? 0.54WR (? ) ? 0.23?WR ? ? ? ? ? WR ? ? ? ?? N ? N ?? ? ? ? 与汉宁窗相比,主瓣宽度相同,为 8π/N,但旁瓣又被进一

步压低, 结果可将99.963%的能量集中在窗谱的主瓣内。
59

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

5. 布拉克曼(Blackman)窗
布拉克曼窗又称二阶升余弦窗。? 为了进一步抑制旁瓣,对升余弦窗函数再加上一个二次谐

波的余弦分量, 变成布拉克曼窗,故又称二阶升余弦窗。
? ? 2?n ? ? 4?n ?? w( n ) ? ?0.42 ? 0.5 cos? ? 0.08 cos? ? ?? RN ( n ) ? N ?1? ? N ? 1 ?? ? w(n)的频率响应的幅度特性为
? ? 2? ? 2? ? ? ? W (? ) ? 0.42WR (? ) ? 0.25 ?WR ? ? ? ? ? WR ? ? ? ? N ?1 ? N ?1 ?? ? ? ? ? ? ? 4? ? 4? ? ? ? ?0.04 ?WR ? ? ? ? ? WR ? ? ? ? N ?1 ? N ?1 ?? ? ? ? ?

主瓣宽度是矩形窗的主瓣宽度的3倍(12π/N)
60

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法
w(n) 1 0.8 0.6 0.4 布拉克曼窗 0.2 海宁窗 0 (N-1) / 2 N-1 n 矩形窗

三角窗

海明窗

图 7-10 五种常用的窗函数
61

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法
0 -20 -40 -60 -80 -100 A / dB 0 -40 -80 -120 -160 -200 A / dB 0 -40 -80 -120 -160 -200 A / dB ? ? ? ? ? ?

(a)

(d)

0 -20 -40 -60 -80 -100 A / dB 0 -40 -80 -120 -160 -200 A / dB

? ?

(b)

? ?

(e)

(c)

图 7-11 图 7-10 的各种窗函数的傅里叶变换(N=51),A=20 lg|W(ω)/W(0)|? (a) 矩形窗; (b) 巴特利特窗(三角形窗); (c) 汉宁窗; (d) 海明窗; (e) 布拉克曼窗
62

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法
0 -30 -60 -90 -120 -150 A / dB 0 -30 -60 -90 -120 -150 A / dB 0 -30 -60 (c) -90 -120 -150 A / dB

?c

?

?
0

(a)

0 -30 -60 (d )

?c
?

?

?c
?

?

-90 -120 -130 A / dB 0 -30 -60 -90 -120 -130 0

(b)

?c

?

?

?c
?

(e)

?

A / dB

图 7-12 理想低通滤波器加窗后的幅度响应(N=51), A=20lg|H(ω)/H(0)|? (a) 矩形窗; (b) 巴特利特窗(三角形窗); (c) 汉宁窗; (d) 海明窗; (e) 布拉克曼窗
63

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

6. 凯塞(Kaiser)窗
这是一种适应性较强的窗,其窗函数的表示式为

I 0 ( ? 1 ? [1 ? 2n /( N ? 1)]2 ) w( n ) ? I0 ( ? )
的参数。?
(n)

0≤n≤N-1

式中,I0(x)是第一类变形零阶贝塞尔函数,β是一个可自由选择
? =0
1.0

? =5.44 ? =8.5

0.5

0

a=

N -1 2

N-1

n

图7-13 凯塞窗函数

64

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 表7-2 凯塞窗的性能

65

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 表7-3
窗函数 矩形窗 巴特列特 汉宁窗 海明窗 布拉克曼窗 凯泽窗 (β=7.865)

六种窗函数基本参数的比较
窗谱性能指标 加窗后滤波器性能指标 过渡带宽 / 2π/N 0.9 2.1 3.1 3.3 5.5 5 阻带最小衰减 /dB -21 -25 -44 -53 -74 -80 主瓣宽度 / 2π/N 2 4 4 4 6

旁瓣峰值 /dB -13 -25 -31 -41 -57

*最小阻带衰减只由窗形状决定,不受窗宽N的影响; 而过渡带的宽度既和窗形状有关,且随窗宽N的增加而减小。
66

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 下面将窗函数法的设计步骤归纳如下: (1) 给定希望逼近的频率响应函数Hd(ejω)。? (2) 利用式(7-36)求单位抽样响应hd(n)=IDTFT[Hd(ejω)] 。

1 hd (n) ? 2?

??
?

?

H d (e j? )e j?n d?

如果Hd(ejω)很复杂或不能直接计算积分,则必须用求和代替 积分,以便在计算机上计算,也就是要计算离散傅里叶反变换, 一般都采用FFT来计算。将积分限分成M段,也就是令采样频率 为ωk=2πk/M,k=0, 1, 2, …, M-1,则有
67

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

1 hM (n) ? M

M ?1 k ?0

?H
?

d

(e

j

2? k M

)e

j

2? kn M

频域的采样,造成时域序列的周期延拓,延拓周期是M, 即

hM (n ) ?

r ? ??

? h (n ? rM )
d

由于hd(n)有可能是无限长的序列,因此严格说,必须当 M→∞时,hM(n)才能等于hd(n)而不产生混叠现象,即
hd ( n ) ? lim hM ( n ) 。实际上,由于hd(n)随n的增加衰减很快,一
M ??

般只要M足够大,即M>>N,近似就足够了。
68

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 (3) 由阻带最小衰减及过渡带宽的要求,可选定窗形状, 并 估计窗口长度N。设待求滤波器的过渡带用Δω表示,它近似等于

窗函数主瓣宽度。因过渡带Δω近似与窗口长度成反比, N≈A/Δω,
A决定于窗口形式。例如,矩形窗A=4π,海明窗A=8π等,A参数

选择参考表7-3。按照过渡带及阻带衰减情况,选择窗函数形式。 原则是在保证阻带衰减满足要求的情况下, 尽量选择主瓣窄的窗 函数。

(4) 求得所设计的FIR滤波器的单位抽样响应。
h(n)=hd(n)w(n) 0≤n≤N-1
69

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

(5)由h(n)求FIR滤波器的系统函数H(z) 或H (ejω)=DTFT[h(n)]
检查是否满足设计要求。

通常整个设计过程可利用计算机编程来实现,可多选择几
种窗函数来试探,从而设计出性能良好的FIR滤波器。

70

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 【例7-1】根据下列技术指标,设计一个线性相位FIR低 通滤波器。 ? 抽样频率为 Ωs=2π*1.5*104(rad/sec) 通带截止频率为 Ωp=2π*1.5*103(rad/sec) 阻带起始频率为Ωst=2π*3*103(rad/sec) 阻带衰减不小于50dB。

解: (1) 求对应的数字频率
通带截止频率:ωp=ΩpT= Ωp / fs=2πΩp /Ωs=0.2π 阻带截止频率:ωst=ΩstT= Ωst / fs=2πΩst /Ωs=0.4π 阻带最小衰减:δ2=50dB
71

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 (2) 求hd(n)。设Hd(ejw)为理想线性相位低通滤波器
?e ? j? ? ? j? H d (e ) ? ? ?0 ?

|ω|≤ωc ωc<|ω|≤π

1 hd (n) ? 2?

??
?

?

e

? j??

e

j? n

1 d? ? 2?

??
?

?c

( e? j? n-? ) d?

c

理想低通滤波器通带截止频率为 :

?c ?
sin[?c (n ? ? )] hd (n) ? ? (n ? ? )

?s ? ? p
2

? 0.3?
N ?1 2
72

由式(7-39)可知,理想低通滤波器的单位抽样响应为 线性相位要求:

??

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 (3) 求窗函数。 由阻带最小衰减δ2确定窗形状,由过渡带

宽度确定N。
δ2=50dB 过渡带宽度为: 海明窗

?? ? ?st ? ? p ? 0.4? ? 0.2? ? 0.2?
6.6? 由于海明窗过渡带宽度满足: ?? ? N 6.6? 6.6? N ?1 所以 N? ? ? 33 ?? ? 16 ?? 0.2? 2
73

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 (4) 求h(n)。

? ? 2?n ?? 海明窗为 w( n ) ? ?0.54 ? 0.46 cos? ?? RN ( n ) ? N ? 1 ?? ?

sin[?c (n ? ? )] hd (n) ?` ? (n ? ? ) 则所设计的滤波器的单位抽样响应为 h(n) ? hd (n) w(n)

sin[?c (n ? ? )] ? ? 2? n ? ? ? ? ?0.54 ? 0.46 cos ? ? ? RN (n) ? (n ? ? ) ? N ?1 ?? ? sin[0.3? (n ? 16)] ? ? ? n ?? ? ? ?0.54 ? 0.46 cos ? ? ? RN (n) ? (n ? 16) ? 16 ? ? ?
74

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 (5)由h(n)求FIR滤波器的H (ejω)=DTFT[h(n)]。检查是

否满足设计要求。 所设计的滤波器的频率响应为

H ( e ) ? ? h ( n )e
j? n ?0

N ?1

? j?n

设计结果如P345. 图7-15 所示,满足要求 。 如不满足要求,则要改变N,或改变窗形状,或两者都 改变,然后重新计算 。

75

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

窗口法设计的主要优点是简单,使用方便。窗口函数大多 有封闭的公式可循,性能、参数都已有表格、资料可供参考, 计算程序简便, 所以很实用。缺点是通带和阻带的截止频率不

易控制。

76

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

7.4 频率采样设计法
工程上,常给定频域上的技术指标,所以采用频域设计 更直接。

基本思想
使所设计的FIR数字滤波器的频率特性在某些离散频率 点上的值准确地等于所需(理想)滤波器在这些频率点处的 值,在其它频率处的特性则要有较好的逼近。 ? ? j 2Nk ? 频率取样 IDFT 确定 H d ? e j? ? ???? H d ? e ? ? H (k ) ??? h(n) ? H ? e j? ? ? ? N点 N点 ? ?
不同于hd ( n )

内插公式
2? ? H ( e ) ? ? H ( k )? ? ? ? N ? k ?0
j? N ?1

? k? ?

内插函数: ? (? ) ?

sin(?N / 2) ? j? ( N ?1) / 2 e N sin(? / 2)
77

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

在各频率采样点上,滤波器的实际频率响应是严格地和理 想频率响应数值相等的。但是在采样点之间的频响则是由 各采样点的加权内插函数的延伸叠加而成的, 因而有一定 的逼近误差, 误差大小取决于理想频率响应曲线形状。
H (e j? )
H d (e j? ) H(k ) (a) o
H (e j? )

2π N

?

H (e j? )

(b)

o

?

图 7-16 频率采样的响应
78

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

一、 线性相位的约束
设计线性相位的FIR滤波器,则其采样值H(k)的幅度和 相位一定要满足前面所讨论的四类线性相位滤波器的约束 条件。 ?
(1) 对于第一类线性相位滤波器, 即h(n)偶对称, 长 度N为奇数时, ??

H (e j? ) ? H (? )e

? N ?1 ? ? j? ?? 2 ? ?

(7-91)

79

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 第一类线性相位滤波器幅度函数H(ω)关于ω=0, π, 2π为偶 对称,即

H (? ) ? H (2? ? ? )

(7-92)

如果采样值H(k)=H(ej2πk/N)也用幅值Hk(纯标量)与相角θk表 示, 即

H (k ) ? H (e

j 2?k / N

) ? Hke

j? k

并在ω=0~2π之间等间隔采样N点

2? ?k ? k N

k=0, 1, 2, …, N-1

80

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

由式(7-91)可知,必须有:
2? ?k ? ? N 1? ? N ?1 ? ? k? ? ? ?? k ?1 ? ? ? 2 ? ? N?

由式(7-92)可知,Hk满足偶对称要求:

H k ? H N ?k

81

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

(2) 对于第二类线性相位FIR滤波器,即h(n)偶对称,N为
偶数,则其H(ejω)的表达式仍为:

H (e j? ) ? H (? )e j? (? ) ? N ?1? ? (? ) ? ?? ? ? ? 2 ?
其幅度函数H(ω)关于ω=π是奇对称的,关于ω=0, 2π?为偶 对称, H(ω)=-H(2π-ω) Hk也应满足奇对称要求: 2? ? N ? 1 ? 1? ? ?k ? ? k ? ? ?? k ?1 ? ? Hk= - HN-k ? N 2 N
? ? ? ?
82

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 (3)对于第三类线性相位FIR滤波器,即h(n)奇对称,N为 奇数时,? H(ejω)=H(ω)ejθ(ω)??? 式中:
? N ?1? ? ?? ? 2 ? 2

? (? ) ? ?? ?

第三类线性相位滤波器幅度函数H(ω)关于ω=0, π, 2π为奇对

称,即

H (? ) ? ? H (2? ? ? )
2? N 1? ? ? N ?1? ? ? k? ? ? ? ??k ?1 ? ? ? N? 2 ? 2 ? 2 ?

这样有: ? k ? ?

H k ? ? H N ?k
83

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

(4)对于第四类线性相位FIR滤波器,即h(n)奇对称,N为
偶数,则其H(ejω)的表达式仍为:
H (e j? ) ? H (? )e j? (? )

? (? ) ? ?? ?

? N ?1? ? ?? ? 2 ? 2

其幅度函数H(ω)关于ω=π是偶对称的,关于ω=0, 2π为奇对称, 即

H (? ) ? H (2? ? ? )

所以,这时的Hk也应满足偶对称要求

H k ? H N ?k
而θk则与前面(3)中的相同。
84

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 例:设计一个FIR数字低通滤波器,其理想特性为

Hd e

? ?
j?

?1 ?? ?0

0 ? ? ? 0.5? 0.5? ? ? ? ?

采样点数 N=33,要求线性相位。
解:能设计低通线性相位数字滤波器的只有1、2两种,因N为 奇数,所以只能选择第一种,即 h(n)=h(N-1-n), 幅频特性关 于π偶对称,也即 HK 偶对称。 利用 HK 的对称性,求0~2π区间的频响采样值。
85

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 根据指标要求,在0~2π内有33个取样点,所以第k点对 应频率为 而截止频率 0.5π位于 之间

,所以,k=0~8时,取样值为1;根据对称性,

H 0 ? H 33

H1 ? H 32

H 8 ? H 25

故 k=25~32时,取样值也为1,因 k=33 为下一周期,所 以0~π区间有9个值为 1的采样点,π~2π区间有8个值为 1 的采样点,因此:

86

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法
? ?1 k ? 0 ~ 8;25 ~ 32 ? Hk ? ? k ? 9 ~ 24 ? ?0 ? 32 ?? ? ?? ? N ? 1 ? k? ? ? 2? ? ? k ?? k ? 33 ? 2 ? N ?

0 ? k ? 32

将 H (k ) ? H k e j?k 代入内插公式,求H(ejω):
He

? ?
j?

1 ? N

?

N ?1

H k sin ??N / 2 ? e sin ??? ? 2?k / N ? / 2? k ?0

?j

32?k ? j ? 16? ? k? ? ? ? N ? N e ?

? ? ?? k? ?? ? ? ?? ? ? 32 H k sin ?33? 33 ?? ? ? j16? 1 ? ? ? 2 ? ? ?e 33 ? k ?0 sin ??? ? 2?k / 33? / 2? ? ? ? ? ?

?

考虑到8<k<25时 Hk=0,而其它k时,Hk=1, 则

87

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

? ? 33 ? ? ? ? ? k? ? ? ? ? ? k? ? ? ? sin ?33 ? ? sin ?33 ? ? ?? ? sin ?? ?? ? ? 1 ? ? 2 ? 8 ? ? ? 2 33 ? ? ? ? ? 2 33 ? ? ? e? j16? j? ? H (e ) ? ? ? ? ? ? ?? ? k? ? 33 ? ? ? ? ? k? ? ? k ?1 sin ? ? sin ? ? ? ? sin ? 2 ? 33 ? ? ?2? ? ? ? 2 33 ? ? ? ? ?

88

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

89

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 从图上可以看出,其过渡带宽为一个频率采样间隔 2π/33,而最小阻带衰减略小于20dB。 对大多数应用场合,阻带衰减如此小的滤波器是不 能令人满意的。 增大阻带衰减三种方法:

1)加宽过渡带宽,以牺牲过渡带换取阻带衰减的增加。
例如在本例中可在k=9和k=24处各增加一个过渡带 采样点H9=H24=0.5,使过渡带宽增加到二个频率采样间 隔4π/33,重新计算的H(ejω) ,其阻带衰减增加到约 40dB。
90

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法
2)过渡带的优化设计

根据H(ejω)的表达式,H(ejω)是Hk的线性函数,因此还可 以利用线性最优化的方法确定过渡带采样点的值,得到要求 的滤波器的最佳逼近(而不是盲目地设定一个过渡带值)。 例如,本例中可以用简单的梯度搜索法来选择H9、H24,使通带 或阻带内的最大绝对误差最小化。 要求使阻带内最大绝对误差达到最小(也即最小衰减达到 最大),可计算得H9=0.3904。对应的 H(ejω)的幅频特性,比 H9=0.5时 的阻带衰减大大改善,衰减约-50dB。如果还要进一 步改善阻带衰减,可以进一步加宽过渡区,添上第二个甚至 第三个不等于0的频率取样值,当然也可用线性最优化求取这 些取样值。
91

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 3)增大N

如果要进一步增加阻带衰减,但又不增加过渡带宽,可增加
采样点数N。 例如,同样边界频率ωc=0.5π , 以N=65采样,并在k=17和k=48 插入由阻带衰减最优化计算得到的采样值 H17=H48=0.5886,在 k=18 、 47 处 插 入 经 阻 带 衰 减 最 优 化 计 算 获 得 的 采 样 值 H17=H48=0.1065 , 这时得到的 H(ejω), 过渡带为6π/65,而阻带 衰减增加了20多分贝,达-60dB以上,当然,代价是滤波器阶数

增加,运算量增加。

92

第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法 频率采样设计法优点: ① 直接从频域进行设计,物理概念清楚,直观方便; ② 适合于窄带滤波器设计,这时频率响应只有少数几个非 零值。 缺点:截止频率难以控制。

因频率取样点都局限在2π/N的整数倍点上,所以在指定
通带和阻带截止频率时,这种方法受到限制,比较死板。 充分加大N,可以接近任何给定的频率,但计算量和复杂性 增加。

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第7章 有限长单位冲激响应FIR滤波器的设计方法

7.5 IIR与FIR数字滤器的比较
FIR
设计方法 一般无解析的设计公式,要借助计 算机程序完成

IIR
利用AF的成果,可简单、有效 地完成设计
只能得到幅频特性,相频特性未知(一 大缺点),如需要线性相位,须用全通 网络校准,但增加滤波器阶数和复杂性

设计结果 稳定性

可得到幅频特性(可以多带)和线 性相位(最大优点)
极点全部在原点(永远稳定)无稳 定性问题

有稳定性问题

阶数

高 非递归
一般无反馈,运算误差小



结构
运算误差

递归
有反馈,由于运算中的四舍五入 会产生寄生振荡

快速算法

可用FFT实现,减少运算量

无快速运算方法
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