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【全国百强校】湖南省长沙市雅礼中学2015届高三5月(二模)数学(理)试题


3 ? 2i ? 1? i 1 5 A. ? i 2 2
1、复数 频数为

( A ) B.

2、有一个容量为 200 的样本,其频率分布直方图如图所示,据图估计,样本数据在 8,10? 内的

1 5 ? i 2 2

C. ?

1 5 ? i 2 2

D. ?

1 5 ? i 2 2

?

(A) 38 【答案】C

(B) 57

(C) 76

(D) 95

3、设函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
3

) ,则下列结论正确的是( D



① f ( x) 的图象关于直线 x ? ③ f ( x) 的图象向左平移

?
3

对称;

② f ( x) 的图象关于点 ( ,0) 对称;

?

?
12

4

个单位,得到一个偶函数的图象;

④ f ( x) 的最小正周期为 ? ,且在 [0, A. ①③ B. ②④

?
6

] 上为增函数.
D. ③

C. ①③④

4. 某产品的总成本 y (万元)与产量 x (台)之间的函数关系式是 y ? 3000 ? 20 x ? 0.1x 2
?

?0 ? x ? 240, x ? N ? ,若每台产品的售价为 25 万元,则生产者不亏本时(即销售收入不小于总
C.150 台 D.180 台

成本)的最低产量是( ) A.100 台 B.120 台 【答案】C

5、一个几何体的三视图如下左图所示,则该几何体的表面积为 A. 2 ? 2 ? 6 B. 3 ? 2 ? 6 C. 2 ? 2 ? 3

( A ) D. 3 ? 2 ? 3

6、上右图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法.若输入 m ? 209, n ? 121,则 输出 m 的值为 ( B ) A.10 B.11 C.12 D.13
2 7、若在 (3 x ?

A. ?

135 2
1 0

1 n ) 的展开式中含有常数项,则正整数 n 取得最小值时的常数项为( C ) 2 x3 135 B. ?135 C. D. 135 2
1 0

8、设 a ? A.

? cos xdx, b ? ? sin xdx, 下列关系式成立的是
B. a ? b ? 1
x x

( A D.



a?b

C.

a?b

a ?b ?1

9、下列四个命题中

? 1? ?1? p1 : ?x ? ? 0, ??? , ? ? ? ? ? ; p2 : ?x ? ? 0,1? , log 1 x ? log 1 x ; ? 2? ? 3? 2 3
? 1? ?1? ? 1? ?1? p3 : ?x ? ? 0, ?? ? , ? ? ? ? ? ; p4 : ?x ? ? 0, ? , ? ? ? log 1 x . ? 3? ? 2? ? 2? ? 3? 3
A. 其中真命题是( D ) B. p1 , p4 p1 , p3 C. p2 , p3 D. p2 , p4
x x

x

10 、已知函数 f ? x ? ? a ln ? x ? 1? ? x 在区间 ?1, 2? 内任取两 个 实数 p, q, 且p ? q ,不等式
2

f ? p ? 1? ? f ? q ? 1? ? 1 恒成立,则实数 a 的取值范围为( A p?q
A.

) D. a ? ?3

a ? 15

B.

0 ? a ? 15

C.

a?6

A ? P B CD 相交于圆内一点 P , 11、 如图, O 的两条弦 AB , 若P 则该圆的半径长为 .

,PC ? 2, PD ? 8, OP ? 4 ,

答案: 4 2

? x ? cos a ( a 为参数) ,以原点 O 为极点, x ? y ? sin a 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? sin ? ? 4 .设 P 为曲线 C1 上的动点, 则点 P 到 C 2 上点的距离的最小值为
12、在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? 答案: 3 13、若关于 x 的不等式 x ? 1 ? x ? 3 ? m 的解集为 R ,则 m 的取值范围为 答案: m ? 4

?5 x ? 2 y ? 18 ? 0 ? 14、设变量 x, y 满足 ?2 x ? y ? 0 ,若直线 kx ? y ? 2 ? 0 经过该可行域,则 k 的最大值为 ?x ? y ? 3 ? 0 ?
答案:1

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线与抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的准线分别交于 a 2 b2 A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2 , ?ABO 的面积为 3 , 则 p 的值 答案: 2
15、 已知双曲线 16 、 在 △ ABC 和 △ AEF 中 , B 是 EF 的 中 点 , AB=EF=1 , BC=6 , CA ? 33 , 若

AB ? AE ? AC ? AF ? 2 ,则 EF 与 BC 的夹角的余弦值等于 2 答案: 3
解 : 因 为 AB ? AE ? AC ? AF ? 2 , 所 以 AB ? ( AB ? BE) ? AC ? ( AB ? BF) ? 2 , 即

AB ? AB? BE ? AC ? AB ? AC ? BF ? 2 。因为 AB ? 1 , 33 ? 1 ? 36 AC ? AB ? 33 ?1? ? ?1 , BE ? ? BF , 所 以 1 ? BF ? ( AC ? AB) ?1 ? 2 , 即 2 ? 33 ?1
BF ? BC ? 2 。设 EF 与 BC 的夹角为 θ ,则有 | BF | ? | BC | ? cosθ ? 2 ,即 3cosθ=2 ,所以 2 cos θ ? 。 3

2

2

17(本小题满分 12 分) 为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力, 雅礼中学高一年级举办了高中生安全知识与安 全逃生能力竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,预赛为笔试,决赛为技能比赛.先将所有参 赛选手参加笔试的成绩(得分均为整数,满分为 100 分)进行统计,制成如下频率分布表. 分数(分数段) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 合 计 (1)求出上表中的 x, y, z , s, p 的值; (2)按规定,预赛成绩不低于 90 分的选手参加决赛,参加决赛的选手按照抽签方式决定 出场顺序.已知高一 1401 班恰有甲、乙两名同学取得决赛资格.记高一 1401 班在决赛中进入前 三名的人数为 X ,求 X 的分布列和数学期望.(我们认为决赛中各选手的水平相当,获得各名 次的机会均等) 【解析】解: (1)由题意知, x ? 0.18, y ? 19, z ? 6, s ? 0.12, p ? 50 ----------4 分 (2)由(1)知,参加决赛的选手共 6 人, --------------4 分 随机变量 X 的可能取值为 0,1, 2 --------------6 分
4 A32 A4 1 P( X ? 0) ? ? , 6 A6 5

频数(人数)

频率

9

x
0.38 0.32

y
16

z

s
p
1

1 1 1 4 C2 A3 A3 A4 3 P( X ? 1) ? ? , 6 A6 5
4 A32 A4 1 P( X ? 2) ? ? , 6 A6 5 随机变量 X 的分布列为: 0 X 1 P 5

--------------10 分

1
3 5

2
1 5
--------------11 分

1 3 1 ? 1? ? 2 ? =1 , 5 5 5 所以随机变量 X 的数学期望为 1.
因为 EX ? 0 ?

--------------12 分

18(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? m ? n ,且 m ? (sin ? x ? cos ? x, 3 cos ? x) , n ? (cos ? x ? sin ? x, 2sin ? x) ,其 中 ? ? 0 ,若函数 f ( x) 相邻两对称轴的距离大于等于

(1)求 ? 的取值范围; (2)在锐角三角形 ?ABC 中, a , b, c 分别是角 A, B, C 的对边,当 ? 最大时, f ( A) ? 1 ,且

? . 2

a ? 3 ,求 c ? b 的取值范围.
18、解析: (1) f ( x) ? m ? n ? cos2 ?x ? sin 2 ?x ? 2 3 sin ?x cos?x

?

T ? ? 2 2

? cos 2?x ? 3 sin 2?x ? 2 sin( 2?x ? ) ……………………2 分 6
?T ? ?

?

? 0 ? ? ? 1 …………………………4 分

(2)当 ? 最大时,即 ? ? 1 ,此时 f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ……………………5 分

(A ? ? f ( A) ? 1 ? 2 s i n2
由正弦定理得

?
6

) ?1 ? A ?

?
3

…………………………7 分

a b c 3 ? ? ? ?2 sin A sin B sin C sin ? 3 ? b ? 2 sin B , c ? 2 sin C 2? ? c ? b ? 2 sin C ? 2 sin B ? 2 sin( ? B) ? 2 sin B ? 3 cos C ? 3 sin B 3 ? ? 2 3 sin( B ? ) …………………………9 分 6 ? ? ? ? 0?B? 0?B? ? ? ? ? ? 2 2 ? 在锐角三角形 ?ABC 中, ? 即? 得 ? B ? …………10 分 6 2 ?0 ? C ? ? ?0 ? 2? ? B ? ? ? ? 3 2 2 ? ?
?

?
3

? B?

2? ? 3 ? (? )?2 3 ? ? s i nB ( ? ) ? 1 ? 3 ? 2 3 s i nB 6 3 6 2 6 ? b ? c 的取值范围为 (3,2 3 ] …………………………12 分

?

?

19(本小题满分 12 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 底面 ABCD 是菱形, ?ABC ? 60 ,AB ? PC ? 2, PA ? PD ? 2 . (1)求证: 平面PAD ? 平面ABCD ; (2)求二面角 A ? PC ? B 的余弦值.

19、解: (1)取 AD 的中点 O ,连接 PO, CO

z
P

PA ? PD, ABCD为菱形,?ABC ? 600 ?ABC , ?ACD 都是正三角形 PO ? AD, CO ? AD ------------2 分 ?POC 是二面角 P ? AD ? C 的平面角 PA ? PD ? AD ? AC ? CD ? 2? PO ? 1, CO ? 3 PC 2 ? PO2 ? OC 2 ? PO ? OC , ?AOD ? 900 所以 , 面PAD ? 平面ABCD -------------------5 分
CP ? (?

o
A D B C

y

x

(2)建系 {OC, OD, OP} ,所以 A ? 0, ?1, 0 ? , D ? 0,1, 0 ? , C

? 3, 0,1), BC ? AD ? ? 0, 2, 0 ? , CA ? ? ? 3, ?1, 0 ?

3, 0, 0 , P ? 0, 0,1?

?

设平面 APC 的法向量为 n1 ? ? x, y, z ?

? ? ? 3x ? z ? 0 ? n1 ? 1, ? 3, 3 ……………………8 分 ? ? 3 x ? y ? 0 ? ? 设平面 BPC 的法向量为 n2 ? ? x, y, z ?

?

?

? ?? 3x ? z ? 0 ? n2 ? 1, 0, 3 ,-------------------------------------------10 分 ? ? ? 2y ? 0

?

?

设二面角 A ? PC ? B 的大小为 ? , cos ? ?| cos ? n1 , n2 ?|? 20(本小题满分 13 分) 设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,点 (an , Sn ) 在直线 y ? (1)求数列 {a n } 的通项公式;

1? 3 2 7 -----12 分 ? 7 2 7

3 x ?1 上. 2

(2)在 a n 与 an ?1 之间插入 n 个数,使这 n ? 2 个数组成公差为 d n 的等差数列,求数列 ? 前 n 项和 Tn ,并求使 Tn ? (I)由题设知, Sn ? 得 Sn ?1 ?

? ?1? ?的 d ? ? n ?

8 5

n 40 成立的正整数 n 的最大值. ? n -1 5?3 27

3 an ? 1 ……………………………1 分 2

3 an ?1 ? 1(n ? N* , n ? 2) ) ,………………………………2 分 2

两式相减得: an ?

3 (an ? an?1 ) , 2

即 an ? 3an?1 (n ? N* , n ? 2) , 又 S1 ?

3 a1 ? 1 得 a1 ? 2 , 2

所以数列 ?an ? 是首项为 2,公比为 3 的等比数列, ∴ an ? 2 ? 3n?1 . …………………………5 分

21(本小题满分 13 分) x2 已知椭圆 C1 : ? y 2 ? 1 和圆 C2 : x 2 ? y 2 ? 1, A, B, F 分别为椭圆 C1 左顶点、 下顶点和右焦点. ⑴ 2 点 P 是曲线 C2 上位于第二象限的一点,若△ APF 的面积为 证:AP⊥ OP; ⑵ 点 M 和 N 分别是椭圆 C1 和圆 C2 上位于 y 轴右侧的动点,且直线 BN 的斜率是直线 BM 斜率的 2 倍,证明直线 MN 恒过定点.
A O P N F M x

1 2 ,求 ? 2 4

y

B

22(本小题满分 13 分)

已知函数 f ? x ? ? ax, g ? x ? ? ln x, 其中a ? R . (I)若函数 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 有极值 1,求实数 a 的值; (II)若函数 G ? x ? ? f ? ?sin ?1 ? x ? ? ? ? g ? x ? 在区间 ? 0,1? 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (III)证明:
n

? sin
k ?1

1

? k ? 1?

2

? ln 2 .


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