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不等式恒成立问题的求解策略


函数不等式恒成立问题的求解策略
不等式恒成立问题中渗透着各种数学思想方法,常常与求参数范围问题相结合,加强此类问题的复习有利 于提高同学们的综合解题能力,现从以下几个方面来探求恒成立问题。 一、 利用集合间的包含关系求解 由集合之间的关系知,若 x ? A 时,有 A ?

B ,因此不等式在集合

B

中恒成立, ,等价于不等式的解集 A 是集合 B 的子集。 举例 1 解析:由 -3 ?
5 2

已知

x? 5 2

<a(a>0)时,不等式
5 2 5 2

x 2 ? 5 ? 4 恒成立。求正数 a 的取值范围 x2 ? 5 ? 4 得
1 2

x? 5 2
5 2

<a 得 A= (
5 2

-a,
5 2

+a), 由

1<x2<9 得 B=(-3,-1)

?

(13), 则 A ?

B,

-a<

+a ? -1 或 1 ?

-a<

+a ? 3,解得 0<a ?

故正数 a 的取值范围为(0, 1 ] . 2

评注:此类问题的处理关键在于正确区分两个不等式解集的包含关系,

x? 5 2

<a 成立时的解集包含不等式

x 2 ? 5 ? 4 恒成立时的结果。
举例 已知函数 f(x)=

x 2 ? 2 x, g ?x ? ? ax ? 2?a ? 0? , ?x1 ? ?? 1,2? , ?x0 ? ?? 1,2? 使

g ?x1 ? ? f ?x0 ? 成立,求实数 a 的取值范围
解;

x ? ?? 1,2? , 函 数

f(x) 的 值 域 是 A=

?? 1,3? , g ?x ? 的 值 域 是

B=

?2 ? a,2a ? 2? , a ? 0 ,

? 2 ? a ? ?1 ?x1 ? ?? 1,2? , ?x0 ? ?? 1,2? 使 g ?x1 ? ? f ?x0 ? 成立等价于 B ? A ,则 ? ?2 a ? 2 ? 3

?0?a?

1 2

故实数 a 的取值范围是

?0, 1 ? 2

点评;本题通过两个函数的值域关系找出参数的范围 二、 利用函数的最大(小)值求解 举例 不等式 f(x)>a 恒成立,等价于 f(x)min> a; 不等式 f(x)<a 恒成立,等价于

f(x)max<a.据此,可将恒成立的不等式问题转化为求函数的最大值或最小值问题,从而使问题获解。 已知关于 x 的不等式 x2-ax+2<0 对任意的 x ? (1,2) 恒成立, 求实数 a 的取值范围. 解析:设 f(x)= x2-ax+2 要使 x2-ax+2<0 对任意的 x ? (1,2) 恒成立, 只需 f(x)max<0.从而利用二次函数图象可求 解,即 ?

? f (1) ? 1 ? a ? 2 ? 0
2 ? f ?2 ? ? 2 ? 2a ? 2 ? 0
x

? a ? 3.

举例已知函数 f(x)=lg 1? 2 举例 已知函数 f(x)=lg

?4x a 4

,当 x ?

?? ?,1? 时,函数 f(x)有意义,求实数 a 的取值范围。 ?? ?,1?时,函数 f(x)有意义,求实数 a 的取值范围.
x

1? 2 x ? 4 x a 4

,当 x ?

解析:由题意知当 g(x)= - 1? 2 =-[( x
x

x ? ?? ?,1? 时 , 1? 2
a>g(x)在 x ?
3 4

?4x a 4

>0 恒 成 立 , 即 a> - 1? 2 在 x
x

4

x ? ?? ?,1? 上 恒 成 立 , 令

4

1 x ) +( 1 )x], 4 2

?? ?,1? 上恒成立,须 a>g(x)
3 4

max(x

? 1).易知 g(x)在 ?? ?,1? 上是增

函数,故 x ? 1 时,g(x)max= g(1)=-

,综上知 a>-



评注: 本题分离参数作适当变形,再利用单调性求出函数最大(小)值获解,辟免了讨论,是本题求解关键。 三、 利用分离参数求解 对于一些含参数的不等式恒成立问题,如果能够将不等式进行同解变形,将不等 式中的变量和参数进行剥离,即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边,然后通过求函数的值域 的方法将问题化归为解关于参数的不等式问题。 举例 已知二次函数 f(x)=ax2+x,如果 x ? [0,1]时 解析: x ? [0,1]时

f ( x) ? 1 ,求实数 a 的取值范围.
时问题转化为

f ( x) ? 1 ? -1 ? f(x) ? 1,即-1 ? ax2+x ? 1,x=0 时,a? R,当 x ? (0,1]
恒成立。由 a ? 1 x2

1 1 ?ax2 ? ?1 ? x ?a ? ? x 2 ? x ? ? 对 x ? (0,1] ?? ? 2 1 1 ?ax ? 1 ? x ?a ? x 2 ? x ? ?

?1 x

对 x ? (0,1] 恒成立,即求函数

u(x)=-

1 x2

? 1 =-( 1 x x
=(
1 x

+
1 2

1 2 1 )+4 2 1 4

的最大值。 ? u(x)在(0,1]上是减函数,?当 x=1 时,umax(x)=-2, 对 x ? (0,1] 恒 成 立 , 即 求 函 数
1 x2

? a ? -2.



a

?

1 x2

?1 x

-

)2-

?1 x

=(

1 x

-

1 2

)2-

1 4

的 最 大 值 。 V(x)=

1 x2

? 1 =( 1 x x

-

1 2 1 )-4 2

,? x ? (0,1],

?当 x=1 时, Vmin(x)=0,可得 a ? 0. ?-2 ? a ? 0.综上所述,知-2 ? a ? 0。

评注: 本题分离参数作适当变形化为二次函数,再利用单调性求出函数最大(小)值获解,辟免了讨论,是本 题求解关键。 举例 若不等式 x2+ax+1 ? 0,对一切 x ? (0,
1 2

]成立,则实数 a 的最小值为_______。

分析:在含参数的不等式中通常有两个变元,将参变元与主变元从恒成立的等式中分离,再利用函数的最大 (小)值法,可避免繁冗的分类讨论。 解析:把不等式 x2+ax+1 ? 0 中的 a 和 x 分离,变形为 a ? 转化为求 g(x)的最大值。由于 g(x)在(0,
1 2
x 2 ?1 x

? ??x ?
1 2

1 x

? ,令 g(x)= ? ?x ? 1x ? ,则问题
,故实数 a 的最小值为5 2

]上是增函数,所以 a ? g(
b x

)=-

5 2



评注:很多函数问题通过代数变形可转化为如 ax ? 基本不等式或函数单调性完成。 四、 恰当构造函数,利用函数单调性求解 举例 (湖南卷)设

型函数的最大(小)值问题,其最大(小)值的求解通常用

f ( x) ? x 2 ? bx ? c?b.c ? R ?, ?x ? R 恒有 f ( x) ? 2 x ? b 若对满足题设

条件的任意 b.c 不等式 解;由题设对任意的

f (c) ? f (b) ? M c 2 ? b 2

?

? 恒成立,求 M 的最小值
2

x ? R,2 x ? b ? x 2 ? bx ? c, , 即 x ? ?b ? 2?x ? c ? b ? 0 恒 成 立 所 以
b2 4

?b ? 2 ?
M?

2

? 4?c ? b) ? ? 0 , 从 而 c ?
?
c 2 ?b 2 ? bc ? b 2 2 c 2 ?b

? 1 于 是 c ? 1, 且 c ?
c ? 2b b?c

b2 4

?1 ? b



c? b

时,有
1 2 ? 1?t

f (c )? f (b ) c 2 ?b 2

?

c ? 2b b?c

,令 t

? b , 则 ? 1 ? t ? 1, c

1 ? 2 ? 1?t

而函数 g (t ) ?

( ?1 ? t

? 1 )的值域时 ?? ?, 3 ? 因此当 c ? b 2
0,

时,M 的取值集合为
2

?3 ,??? 因此当 c ? b 时知 2
3 2 2

b? ? 2, c ? 2 此时 f (c) ? f (b) ? ?8 或者 ?

?c

? b2 ? 0

?从而 f (c) ? f (b) ? ?c

? b2

? 恒成

立综上所述 M 的最小值为

3 2

点评:本题考查了函数思想,及不等式恒成立问题,解答中充分体现了用函数观点看问题的思想与方法 五、 利用基本不等式求解 是否存在常数 c 使得不等式
x 2x? y

?

y x?2 y

?c?

x x?2 y

?

y 2x? y

, 对任意正数 x、

y 恒成立?证明你的结论。 分析:本题是一道探索性问题,利用探索性问题的一般思路,先假设它的结论存在,然后找出结论存在的条 件,最后下结论,显然本题要结合代换和均值不等式解决。 解析:假设存在常数 C 使得命题成立设 ?

? x ? 2b3? a ?2 x ? y ? b ?? 于是原不等式可以化为 2a ?b ?x ? 2 y ? a ? y ? 3

1 3

a a a ?4 - b ? b ? ? c ? 2 ? b ? b ? 1? 对 ?a, b ? R? 恒成立。 ? 2 ? b ? b ? 1? ? 2 ?2 - 1? ? 2 ,当且仅当 a 3 a 3 a 3 3 2 3

a=b>0 时取等号,?c ? 知,存在 c=
2 3

,另一方面 1 3

a a ?4 - b ? b ? ? 1 [4 ? ? b ? b ?] ? 1 ?4 - 2? ? a 3 b 3

2 3

,? c ?

2 3

。综上可

使命题成立。

点评:在研究含有多个变量的恒成立问题时, 常常可以通过代换来处理。 本题的另一个关键点是利用两边夹, 利用基本不等式,使得 c ?
2 3

,同时 c ?

2 3

。于是 c= 举例

2 3



六、 合理代换,研究恒成立问题

设点 P(m,n)为圆 x2+(y-1)2=1 上任意一点,且不等式

m+n+c ? 0 恒成立,求实数 c 的取值范围. 解 析 : 因 为 点 P ( m,n ) 为 圆 x2+(y-1)2=1 上 任 意 一 点 , 所 以 可 以 设 ,

?n ? 1 ? sin t ? ?m ? cost

,则

m+n+c=cost+1+sint+c=c+1+

2 sin(t+ ? ) ? c+1- 2 ? 0 对 t ? R 恒成立,? c ? 2 -1. 4
对一切 x ? (0,

点评:本题通过代换把不等式恒成立问题转化为三角函数最值问题简捷明快。 七、 数形结合求解 例
1 2

), 不等式 logax>x2 恒成立, 求实数 a 的取值范围.

解析:这个恒成立问题,我们无法用变量分离法与最值法求出实数 a 的取值范围,为此我们需要另辟蹊经, 寻找新的解法——数形结合法。通过构造函数,运用数形结合法可以轻松的求出结果。当 x ? (0,
1 2

)时, 要
1 2

使不等式 logax>x2 恒成立,则必须 0<a<1.作出曲线 C1:y=logax,C2:y=x2,a ? (0,1),观察图象发现:在 x ? (0, 上,曲线 C1 在曲线 C2 的上方,所以 loga 湖南省张家界市武陵源一中 高飞
1 2

)

?( 1 2

)2=logaa(

1 2 ), 2

?

0<a<1,?a

1 4

?

1 2

,a ?

1 16

1 ,? 16

? a<1.

颜建红

电话 13170446290

邮编:427400


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