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2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十六


2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷十六
命题人:南昌二中 高三(01)班 张阳阳
一选择题(共 30 分) 2 2 1.对于每个自然数 n,抛物线 y=(n +n)x ?(2n+1)x+1 与 x 轴交于 An,Bn 两点,以|AnBn| 表示该两点的距离,则|A1B1|+|A2B2|+?+|A1992B1992|的值是( 1991 1992 1991 1993 (A) (B) (C) (D) 1992 1993 1993 1992
2 2 2

)

2. 已知如图的曲线是以原点为圆心, 1 为半径的圆的一部分, 则这一曲线的方程是( (A)(x+ 1-y )(y+ 1-x )=0 (B)(x? 1-y )(y? 1-x )=0 2 2 2 2 (C)(x+ 1-y )(y? 1-x )=0 (D)(x? 1-y )(y+ 1-x )=0 3.设四面体四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,它们的最大值为 S,记λ
2

)
y
1

=(

ΣS )/S,则λ一定满足(
i

4

?1

O ?1

1 x

) (B)3<λ<4 (C)2.5<λ≤4.5 (D)3.5<λ<5.5

i=1

(A)2<λ≤4

C sinB 4.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别记为 a,b,c(b?1),且 , 都是方程 log A sinA

b

x=logb(4x-4)的根,则△ABC( ) (A)是等腰三角形,但不是直角三角形 (B)是直角三角形,但不是等腰三角形 (C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形,也不是直角三角形 2 2 5.设复数 z1,z2 在复平面上对应的点分别为 A,B,且|z1|=4,4z1 ?2z1z2+z2 =0,O 为坐 标原点,则△OAB 的面积为( ) (A)8 3 (B)4 3 (C)6 3 (D)12 3 6 . 设 f(x) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 函 数 , 且 满 足 下 列 关 系 f(10+x)=f(10?x) , f(20?x)=?f(20+x),则 f(x)是 (A)偶函数,又是周期函数 (B)偶函数,但不是周期函数 (C)奇函数,又是周期函数 (D)奇函数,但不是周期函数
二、填空题(每小题 5 分共 30 分) 1 1 1 x z 1.设 x,y,z 是实数,3x,4y,5z 成等比数列,且 , , 成等差数列,则 + 的值是

x y z

z x

______. 2.在区间[0,?]中,三角方程 cos7x=cos5x 的解的个数是______. 3.从正方体的棱和各个面上的对角线中选出 k 条,使得其中任意两条线段所在的直线 都是异面直线,则 k 的最大值是_____. 4.设 z1,z2 都是复数,且|z1|=3,|z2|=5|z1+z2|=7,则 arg( ) 的值是______. 5.设数列 a1,a2,?,an,?满足 a1=a2=1,a3=2,且对任何自然数 n, 都有 anan+1an+2?1, 又 anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,则 a1+a2+?+a100 的值是____. 6.函数 f(x)=

z2 z1

3

x4-3x2-6x+13- x4-x2+1的最大值是_____.

三、(20 分)求证:16<

Σ
i=1

4

1

k

<17.

四、(20 分)设 l,m 是两条异面直线,在 l 上有 A,B,C 三点,且 AB=BC,过 A,B,C 分别 7 作 m 的垂线 AD,BE,CF,垂足依次是 D,E,F,已知 AD= 15,BE= CF= 10,求 l 与 m 的距 2 离.

五、(20 分)设 n 是自然数,fn(x)=

xn+1-x-n-1 1 (x?0,±1),令 y=x+ . x-x-1 x

1.求证:fn+1(x)=yfn(x)?fn-1(x),(n>1) 2.用数学归纳法证明:

? ? y -C f (x)=? y -C ? ?
n n n

1

n-1

n n i yn-2+…+(-1)iCn-i yn-2i+…+(-1)2,(i=1,2,…, ,n为偶数)

2

1

n-1

yn-2+…+(-1)iCn-i+…+(-1)
i

n-1 n-1
2
2

C n2 +1 y,(i=1,2,…,

n-1
2

,n为奇数)

2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷十六
参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 2 2 1.对于每个自然数 n,抛物线 y=(n +n)x ?(2n+1)x+1 与 x 轴交于 An,Bn 两点,以|AnBn| 表示该两点的距离,则|A1B1|+|A2B2|+?+|A1992B1992|的值是( ) 1991 1992 1991 1993 (A) (B) (C) (D) 1992 1993 1993 1992 1 1 1992 解: y=((n+1)x-1)(nx-1),∴ |AnBn|= - ,于是|A1B1|+|A2B2|+?+|A1992B1992|= , n n+1 1993 选 B. 2.已知如图的曲线是以原点为圆心,1 为半径的圆的一部分,则这一曲线的方 程是( ) (A)(x+ 1-y )(y+ 1-x )=0 (B)(x? 1-y )(y? 1-x )=0 2 2 2 2 (C)(x+ 1-y )(y? 1-x )=0 (D)(x? 1-y )(y+ 1-x )=0 2 2 解:(x? 1-y )=0 表示 y 轴右边的半圆,(y+ 1-x )=0 表示 x 轴下方的半圆, 故选 D.
2 2 2 2

y
1 ?1 O ?1 1 x

3.设四面体四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,它们的最大值为 S,记λ=( 则λ一定满足(
4

ΣS )/S,
i

4

i=1

) (A)2<λ≤4

(B)3<λ<4
4

(C)2.5<λ≤4.5

(D)3.5<λ<5.5

解:

Σ
i=1

Si≤4S,故

Σ
i=1

Si≤4,又当与最大面相对的顶点向此面无限接近时,

ΣS
i=1

4

i

接近 2S,故选 A.

C sinB 4.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别记为 a,b,c(b?1),且 , 都是方程 log A sinA

b

x=logb(4x-4)的根,则△ABC( ) (A)是等腰三角形,但不是直角三角形 (B)是直角三角形,但不是等腰三角形 (C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形,也不是直角三角形 2 解:x =4x-4.根为 x=2.∴ C=2A,?B=180°-3A,sinB=2sinA.?sin3A=2sinA, 2 ?3-4sin A=2.A=30°,C=60°,B=90°.选 B. 2 2 5.设复数 z1,z2 在复平面上对应的点分别为 A,B,且|z1|=4,4z1 ?2z1z2+z2 =0,O 为坐 标原点,则△OAB 的面积为( ) (A)8 3 (B)4 3 (C)6 3 (D)12 3 2z1 π π 1 3 解: =cos ±isin .∴ |z2|=8,z1、z2 的夹角=60°.S= ?4?8? =8 3.选 A. z2 3 3 2 2 6 . 设 f(x) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 函 数 , 且 满 足 下 列 关 系 f(10+x)=f(10?x) , f(20?x)=?f(20+x),则 f(x)是 (A)偶函数,又是周期函数 (B)偶函数,但不是周期函数 (C)奇函数,又是周期函数 (D)奇函数,但不是周期函数 解:f(20-x)=f[10+(10-x)]=f[10-(10-x)]=f(x)=-f(20+x). ∴ f(40+x)=f[20+(20+x)]=-f(20+x)=f(x).∴ 是周期函数;

∴ f(-x)=f(40-x)=f(20+(20-x)=-f(20-(20-x))=-f(x).∴ 是奇函数.选 C. 二、填空题(每小题 5 分共 30 分) 1 1 1 x z 1.设 x,y,z 是实数,3x,4y,5z 成等比数列,且 , , 成等差数列,则 + 的值是

x y z

z x

______. 2xz (x+z) 64 x z 34 2 2 2 2 解:16y =15xz,y= ,?16?4x z =15xz(x+z) .由 xz≠0,得 = ,? + = . x+z xz 15 z x 15 2.在区间[0,?]中,三角方程 cos7x=cos5x 的解的个数是 . 1 解:7x=5x+2kπ,或 7x=-5x+2kπ,(k∈Z)?x=kπ,x= kπ (k∈Z),共有 7 解. 6 3.从正方体的棱和各个面上的对角线中选出 k 条,使得其中任意两条线段所在的直 线都是异面直线,则 k 的最大值是 . 解:正方体共有 8 个顶点,若选出的 k 条线两两异面,则不能共顶点,即至多可选 出 4 条,又可以选出 4 条两两异面的线(如图),故所求 k 的最大值=4. 4.设 z1,z2 都是复数,且|z1|=3,|z2|=5|z1+z2|=7,则 arg( ) 的值是______. 3 +5 -7 1 解:cos∠OZ1Z3= =- .即∠OZ1Z3==120°, 2?3?5 2 ∴ arg( )=
2 2 2 2

D' A' D A B B'

C'

C

z2 z1

3

y
Z2

z2 π 5π 或 . z1 3 3 z2 z1
3

Z3

∴ arg( ) =π. 5. 设数列 a1, a2, ?, an, ?满足 a1=a2=1, a3=2, 且对任何自然数 n,都有 anan+1an+2?1, 又 anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,则 a1+a2+?+a100 的值是____. 解:anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4, 相减,得 anan+1an+2(a4-an)=an+4-an,由 anan+1an+2?1,得 an+4=an. 又,anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,a1=a2=1,a3=2,得 a4=4. ∴ a1+a2+?+a100=25(1+1+2+4)=200. 6.函数 f(x)= x -3x -6x+13- x -x +1的最大值是_____. 2 2 2 2 2 2 2 解:f(x)= (x -2) +(x-3) - (x -1) +x ,表示点(x,x )与点 A(3, 2)的距离及 B(0,1)距离差的最大值.由于此二点在抛物线两侧,故过此二 点的直线必与抛物线交于两点.对于抛物线上任意一点,到此二点距离之差 大于|AB|= 10.即所求最小值为 10. 三、(20 分)求证:16< 1 2
4
4 2 4 2

Z1

O

x

y

A (3,2) B (0,1)
O x

Σ
i=1

1

k
2

<17.

证明: 同时 1

= < =2( k- k-1), k k+ k k-1+ k =2( k+1- k). k+1+ k
( k+1- k)< 2

k
80

>

于是得 2

Σ
k=1

Σ
k=1

80

1

k

<1+2

Σ(
k=1

80

k- k-1)

即 16<

Σ
k=1

80

1

k

<1+2( 80-1)<1+2(9-1)=17.

四、(20 分)设 l,m 是两条异面直线,在 l 上有 A,B,C 三点,且 AB=BC,过 A,B,C 分别 7 作 m 的垂线 AD,BE,CF,垂足依次是 D,E,F,已知 AD= 15,BE= CF= 10,求 l 与 m 的距 2 离. 解:过 m 作平面α∥l,作 AP⊥α于 P,AP 与 l 确定平面β,β∩α=l?,l?∩m=K. 作 BQ⊥α,CR⊥α,垂足为 Q、R,则 Q、R∈l?,且 AP=BQ=CR=l 与 m 的距离 d. l ? 连 PD、QE、RF,则由三垂线定理之逆,知 PD、QE、RF 都⊥m.

C

B

A

PD= 15-d2,QE=
2

49 2 2 -d ,RF= 10-d . 4
?
l'
2 2

m

R KF

Q

P

当 D、E、F 在 K 同侧时 2QE=PD+RF,

E D

? 49-4d = 15-d + 10-d .解之得 d= 6 2 2 2 当 D、E、F 不全在 K 同侧时 2QE=PD-RF,? 49-4d = 15-d - 10-d .无实解. ∴ l 与 m 距离为 6.

xn+1-x-n-1 1 五、(20 分)设 n 是自然数,fn(x)= (x?0,±1),令 y=x+ . x-x-1 x
1.求证:fn+1(x)=yfn(x)?fn-1(x),(n>1) 2.用数学归纳法证明:

? ? y -C f (x)=? y -C ? ?
n n n

1

n-1

n n i yn-2+…+(-1)iCn-i yn-2i+…+(-1)2,(i=1,2,…, ,n为偶数)

2

1

n-1

yn-2+…+(-1)iCn-i+…+(-1)
i

n-1 n-1
2
2

C n2 +1 y,(i=1,2,…,

n-1
2

,n为奇数)

1 n+1 -n-1 n -n (x+ )(x -x )-x +x 证明: ⑴ 由 yfn(x)?fn-1(x)=

x

x-x-1 x

=

xn+2-x-n-2 =fn+1(x). 故证. x-x-1

1 1 2 2 -2 2 ⑵ f1(x)= x+ ,f2(x)=x +1+x =(x+ ) -1=y -1.故命题对 n=1,2 成立.

x

设对于 n≤m(m≥2,m 为正整数),命题成立,现证命题对于 n=m+1 成立. 1. 若 m 为偶数,则 m+1 为奇数.由归纳假设知,对于 n=m 及 n=m-1,有
m

fm(x)= y -C y +C
m

1 m-2 m-1

2 m-4 m-2

y +…+(-1) Cm-iy
i

i

m
2

m-2i

+…+(-1) C
m-2

2

m-

m

y

m-2?2

m



2

fm-1(x)= ym-1-Cm-1ym-3+…+(-1)i-1Cm-iym+1-2i+…+(-1)

1

i-1

m-2

2

?C
m

2

m
2

y
m
2



∴ yfm(x)-fm-1(x)=y -…+(-1) (Cm-i+C
m+1 i

i

i-1 m-i

m

)y

m+1-2i

+…+(-1) (C

2

m-

2 m+C m)y 2

-1

m-

2

m

= y -C
m+1

1 m-1 m+1-1

y +…+(-1) C
i

i m+1-2i m-i+1

m
+1 2

y

+…+(-1) ?Cm2 y

2

即命题对 n=m+1 成立. 2.若 m 为奇数,则 m+1 为偶数,由归纳假设知,对于 n=m 及 n=m-1,有
m-1

fm(x)= y -C y +…+(-1) ? Cm-iy
m-1 i

1 m-2 m-2

i

m-1
2 ? Cm- 1 y 2

m- 2i

+…+(-1)

2



fm-1(x)= ym-1-Cm-2ym-3+…+(-1)i-1Cm-iym+1-2i+…+(-1)
用 y 乘③减去④,同上合并,并注意最后一项常数项为
m-1 m-1 m-1 m+1

1

i-1

m-1 m-1
2 2 Cm- 1 2



m+1

-(-1)

2

C

2 m-1 2

=-(-1)

2

C =(-1) 2 .
2 m+1 2

m+1

于是得到 yfm(x)-fm-1(x)=y -Cm y

m+1

1 m-1

+…+(-1) ,即仍有对于 n=m+1,命题成立

2

综上所述,知对于一切正整数 n,命题成立.


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