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运用向量方法解数学竞赛题


运用向量方法解数学竞赛题 . 运用向量方法解数学竞赛题 2008.7 向量方法
1.在一张小方格边长都是 1 的方格纸上放有一个凸 32 边形,若它的顶点都在方格的结点 上.问它的最小周长是多少?

2.证明 ABC 的外心 O ,重心 G ,垂心 H 三点共线,且 OG : GH = 1: 2 .

3 在凸四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD 和 DA 的延长线上取点 A ', B ', C ', D ' ,使得

uuur uuu uuuu uuu uuuu uuu uuur uuu r r r r r r BB ' = AB, CC ' = BC , DD ' = CD, AA ' = DA, .证明:四边形 A ' B ' C ' D ' 的面积等于四边
形 ABCD 面积的 5 倍.

4 在平面上给出 n 个向量,每个向量的长度等于 1,所有 n 个向量的和为零向量.证明:可 以这样给向量标记号码,使对于所有的 k = 1, 2,3, ???, n ,满足以下条件:前 k 个向量的和的 长度不大于 2.

5.在平面上已知三个半径相同的圆, (1)证明:如果它们相交于一点,如图 1,那么弧 AD, BD, CD 的和等于 180
o


o

(2)证明:如果它们不相交于一点,如图 2,那么弧 AB, CD, EF 的和等于 180



1

r r r u r r r r u r u r r r u r r u r | a | + | b | + | c | + | d |≥| a + d | + | b + d | + | c + d | .

r

6 . 在 平 面 上 , 已 知 向 量 a , b, c , d , 它 们 的 和 等 于 0 . 证 明 不 等 式 :

7.在空间经过点 O 作 2009 条直线 l1 , l2 , ???, l2009 ,它们中的任何两条不垂直,在直线 l1 上取 不同于 O 的任意一点 A1 ,证明:能在 li (i = 2,3, ???, 2009) 上分别选择点 Ai ,使得下面的关 系式成立:

A1 A3 ⊥ l2 , A2 A4 ⊥ l3 , A3 A5 ⊥ l4 , ???, Ai ?1 Ai +1 ⊥ li , ???, A2008 A1 ⊥ l2009 , A2009 A2 ⊥ l1 .

8.在平面上的 2008 个向量,它们之间不全共线.已知:任意的 2007 个向量之和都与余下 的那个向量共线,证明:这 2008 个向量之和一定为零向量.

9.平面上有一个正 n 边形 A1 A2 ??? An , 那么对于平面上任意的点 M , 对表达式 ± MA1 ± MA2 ± ??? ± MAn (1) 证明: 如果 n 是偶数,

uuuu uuuu r r

uuuur

r
都能选择其中的加号和减号,使得到的和为 0 ; (2) 证明: 如果 n 是奇数, 那么只对平面上有限个点 M , 对表达式 ± MA1 ± MA2 ± ??? ± MAn

uuuu uuuu r r

uuuur

r
能选择其中的加号和减号,使得到的和为 0 .

10.如果四边形 ACPH , AMBE , AHBT , BKXM , CKXP 都是平行四边形,证明: ABTE 也 是平行四边形. (各四边形的顶点都按逆时针方向给出) .

2

11.在 ABC 的内部选择任意一点 O ,证明以下等式成立:

S

BOC

uuu r ? OA + S

COA

uuu r ? OB + S

AOB

uuur r ? OC = 0 .

12. (1)点 A 和点 B 分别沿着

O1 和 O2 同时以相同的角速度按顺时针方向运动,证明:

正三角形 ABC 的顶点 C 也同样沿着某一圆周作等速运动. (2)由平面上的定点 P 到某个正三角形的两顶点的距离为 AP = 2, BP = 3 ,试确定 PC 可 能的最大长度.

13.平面上有两个等边三角形 A1 A2 A3 和 B1 B2 B3 ,而且字母的顺序都是逆时针方向.从任意

uuu uuu uuur r r

uuuu uuuuu uuuur r r

的点 O 作向量 OA, OB, OC ,分别等于 A1 B1 , A2 B2 , A3 B3 ,证明 ABC 是等边三角形.

14.利用向量方法,求 cos 5 + cos 77 + cos149 + cos 221 + cos 293 的值.
o o o o o

15.在平面上作出凸五边形 ABCDE ,作点 A 关于点 B 的对称点 A1 ,作点 B 关于点 C 的对 称点 B1 ,……,作点 E 关于点 A 的对称点 E1 ,然后抹去五边形 ABCDE .证明:只要知道 点 A1 , B1 , C1 , D1 , E1 的位置,借助于圆规和直尺就能恢复五边形 ABCDE .

3

16.如图,设 P , P2 , ???, Pn 是单位圆 O 上的任意 n 个点,求证:在 1 圆 O 上至少可以找到一个点 M ,使 MP + MP2 + ??? + MPn ≥ n . 1

17 . 设 P , P2 , ???, Pn 是 圆 内 接 正 n 边 形 的 顶 点 , P 是 圆 O 上 的 任 意 点 , 求 证 : 1

PP 2 + PP2 2 + PP32 + ??? + PPn 2 为定值. 1

18.是否存在 4 个平面向量,两两不共线,其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂 直?

19 . 设 A1 A2 A3 A4 为 圆 O 的 内 接 四 边 形 , H1 , H 2 , H 3 , H 4 依 次 是

A2 A3 A4 , A3 A4 A1 , A4 A1 A2 , A1 A2 A3 的垂心,求证 H1 , H 2 , H 3 , H 4 四点在同一圆上,并请
定出该圆的圆心.

4


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