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2015-2016学年《函数的单调性》导学案


第 10 课时

函数的单调性

1.通过观察函数图象,从图象上感知函数的单调性,并能利用函数的图象研究函数的单调性. 2.结合函数图象理解函数单调性的概念,并会运用单调性的定义判断证明函数在某一区间上的单调性. 3.能够运用函数的单调性比较函数值的大小和自变量的大小,能够解抽象不等式,提高分析问题和解决 问题的能力.

>中国传奇女子网球巨星李娜截止到 2014 年元旦世界排名第 3,夺得了 7 个冠军,制造了中国网球多项纪 录,她的打球特点是力量大、速度快、落点准,球在空中划过一道精美的曲线,上图是李娜的一记 S 球的电脑 数据,我们把球在运动时的高度绘制成关于运动时间的函数图象.

问题 1:依据网球上升和下降的路径变化可以把图象分为 化是先上升,后下降,再 过程. ,最后 ,利用函数的

部分,总体上看函数图象从左到右的变 可以研究函数图象上升与下降的变化

问题 2:(1)①增函数:设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 上的 变量的值 x1,x2,当 的 时,都有

两个自

,那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数,区间 D 称为 y=f(x)

. ②减函数:如果对于定义域 I 内的某个区间 D 上的
两个自变量的值 x1,x2,当 时,都



,那么就说 f(x)在这个区间上是减函数,区间 D 称为 y=f(x)的

.

(2)如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么我们说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单 调性,称函数 y=f(x)为

.

问题 3:增函数和减函数的图象有什么特征? 在单调区间上增函数的图象从左到右是 问题 4:基本函数的单调性 (1)一次函数 f(x)=kx+b(k≠0): 当 k>0 时,y=f(x)的单调增区间为 当 k<0 时,y=f(x)的单调增区间 (2)二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0): 当 a>0 时,y=f(x)的单调增区间为 当 a<0 时,y=f(x)的单调增区间为 (3)反比例函数 f(x)= (k≠0): 当 k>0 时,y=f(x)的单调增区间 上述的单调减区间 当 k<0 时,y=f(x)的单调增区间为 ,单调减区间为 不能用并集连接,小组讨论原因. ,单调减区间 ,


的、减函数的图象从左到右是

的.

,单调减区间 ,单调减区间为

;

.

,单调减区间为 ,单调减区间为

. .

.

利用图象研究函数的单调区间 画出下列函数的图象,求下列函数的单调区间,并指出每一个单调区间上函数的单调性. (1)y=-5x+2;(2)y=3|x|;(3)y=x2+2x-3.

基本函数单调性的应用 已知二次函数 y=ax2+bx+1 的单调递减区间是[-2,+∞),则一次函数 y=bx+a 的图象大致是( ).

由函数的单调性求参数的取值范围 已知 y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且 f(1-a)<f(2a-1),求 a 的取值范围.

1.已知 a,b,c∈R,函数 f(x)=ax2+bx+c.若 f(0)=f(4)>f(1),则( A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0

).

C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0 考题变式(我来改编):

2.已知函数 f(x)=x|m-x|(x∈R),且 f(4)=0. (1)求实数 m 的值; (2)作出函数 f(x)的图象并判断其零点个数; (3)根据图象指出 f(x)的单调递减区间; (4)根据图象写出不等式 f(x)>0 的解集; (5)求集合 M={m|使方程 f(x)=m 有三个不相等的实根}.

考题变式(我来改编):

第 10 课时

函数的单调性

知识体系梳理 问题 1:4 上升 下降 单调性

问题 2:(1)①任意 (2)单调函数 问题 3:上升 下降

x1<x2 f(x1)<f(x2) 单调递增区间 ②任意 x1<x2 f(x1)>f(x2) 单调递减区间

问题 4:(1)(-∞,+∞) [- ,+∞)
2

不存在

不存在 (-∞,+∞) (-∞,0),(0,+∞)

(2)[- ,+∞)

2

(-∞,- ]

2

(-∞,- ]

2

(3)不存在

(-∞,0),(0,+∞)

(-∞,0),(0,+∞) 不存在

重点难点探究 探究一:

【解析】(1)函数 y=-5x+2 的图象如图所示,其单调区间为(-∞,+∞),在(-∞,+∞)上为减函数. (2)函数 y=3|x|= 3, ≥ 0, -3, < 0.

其图象如图所示,单调减区间为(-∞,0),单调增区间为[0,+∞).

(3)函数 y=x2+2x-3=(x+1)2-4 的图象开口向上,对称轴为 x=-1,图象如图所示,单调减区间为(-∞,-1),单调增 区间为[-1,+∞).

【小结】(1)由图象的升降可判断函数的单调性; (2)熟练掌握常见函数的单调性:

①一次函数 y=kx+b 的单调性由参数 k 决定;②二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的单调性与开口方向和对称
轴有关. 探究二:【解析】依题意可得- =-2,a<0,所以 b=4a,a<0,故 y=bx+a=4ax+a=4a(x+ )的图象大致为 D 中 的图象. 【答案】D 【小结】掌握基本函数的单调性是解决本题的关键.注意条件:函数的单调减区间为 D 和函数在区间 D 上的单调递减是不同的. 探究三:【解析】由题意可知 解得 0<a<1. -1 < 1- < 1, -1 < 2-1 < 1,
2 1 4



又 f(x)在(-1,1)上是减函数, 且 f(1-a)<f(2a-1), 所以 1-a>2a-1,即 a< . 由①②可知,0<a< . 故所求 a 的取值范围是(0, ). 【小结】解决此类与抽象函数有关的变量的取值范围问题的关键是利用单调性“脱去”函数符号“f”,从而 转化为熟悉的不等式.若函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数,则对任意 x1,x2∈D,且 f(x1)<f(x2),有 x1<x2;若函数
2 3 2 3 2 3



y=f(x)在区间 D 上是减函数,则对任意 x1,x2∈D,且 f(x1)<f(x2),有 x1>x2,需要注意的是,不要忘记函数的定义域.
全新视角拓展 1.【解析】由题意可得 a>0,结合 f(0)=f(4)得 c=16a+4b+c,即 4a+b=0. 【答案】A 2.【解析】(1)∵f(4)=0,∴4|m-4|=0,即 m=4. (2)∵f(x)=x|m-x|=x|4-x|= (-4), ≥ 4, -(-4), < 4,

∴函数 f(x)的图象如图:

由图象知 f(x)有两个零点. (3)从图象上观察可知 f(x)的单调递减区间为[2,4]. (4)从图象上观察可知不等式 f(x)>0 的解集为{x|0<x<4 或 x>4}. (5)由图象可知若 y=f(x)与 y=m 的图象有三个不同的交点,则 0<m<4,∴集合 M={m|0<m<4}. 思维导图构建

f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2)


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