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高二数学同步测试圆锥曲线综合


圆锥曲线、简易逻辑综合
2 2 x2 y2 3 ,则双曲线 x ? y ? 1 的离心率为 ( a >b>0) 离心率为 ( ) ? ? 1 2 a2 b2 a2 b2 2. 抛物线顶点在原点, 焦点在 y 轴上, 其上一点 P(m, 1)到焦点距离为 5, 则抛物线方程为______ 1 2 2 3.圆的方程是(x-cos?) +(y-sin?) = ,当

?从 0 变化到 2?时,动圆所扫过的面积是 ( ) 2

1.椭圆

4.若过原点的直线与圆 x + y 2 + 4 x +3=0 相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是 (
2 2

2



5.椭圆

x y ? ? 1 的焦点为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 中点在 y 轴上,那么|PF1| 12 3 是|PF2|的____倍

6.动点 P(x, y)满足 a ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ?| 3 x ? 4 y ? 10 | ,且 P 点的轨迹是椭圆,则 a 的取值 范围是 .

7.双曲线两条渐进线方程为 4 x ? 3 y ? 0 ,一条准线方程为 x ?

9 ,则双曲线方程为___________ 5
1 1 ? , a b


8.已知命题 p :若实数 x, y 满足 x 2 ? y 2 ? 0 ,则 x, y 全为零。命题 q :若 a ? b ,则 给出下列四个复合命题:① p 且 q ② p 或 q ③非 p ④非 q ,其中真命题是 9.设点 P 是双曲线 x 2 ?

y2 ? 1 上一点,焦点 F(2,0) ,点 A(3,2) ,使|PA|+ 1 |PF|有最小值 3 2

时,则点 P 的坐标是______________________________. 1 10. 已知 p:| 2x-3 |>1;q: 2 >0,则┐p 是┐q 的_________条件 x +x-6 11.椭圆的焦点是 F1(-3,0)F2(3,0) ,P 为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项, 则椭圆的方程为_____________________________. 12.若直线 m x ? ny ? 3 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 3 没有公共点,则 m, n 满足的关系式为 以( m, n) 为点 P 的坐标,过点 P 的一条直线与椭圆 x ? y ? 1 的公共点有 7 3 13.设 F1 , F2 分别是椭圆
2 2

. 个.

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,若在其右准线存在点 P,使线 a 2 b2 段 PF1 的中垂线过点 F2 ,则椭圆离心率的取值范围__________________.
A

14.AB 是抛物线 y=x2 的一条弦,若 AB 的中点到 x 轴的距离为 1,则弦 AB 的长度的最大值 为 . y x2 y2 15.如图,F1,F2 分别为椭圆 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点, a b 点 P 在椭圆上,△POF2 是面积为 3 的正三角形, 则 b2 的值是 。
C
O

F B

x

16.如图,过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A.B,交其准线于点 C, 若 BC ? 2 BF ,且 AF ? 3 ,则此抛物线的方程为______________
2 2 17 已知命题 p :方程 a x ? ax ? 2 ? 0 在[-1,1]上有解;命题 q :只有一个实数 x 满足不等

式 x ? 2ax ? 2a ? 0 ,若命题“p 或 q”是假命题,求实数 a 的取值范围.
2

18、双曲线 C 的中心在原点,右焦点为 F ? (1)求双曲线 C 的方程;

?2 3 ? ? ? 3 , 0 ? ,渐近线方程为 y ? ? 3x . ? ?

(2)设直线 l : y ? kx ? 1 与双曲线 C 交于 A 、 B 两点,问:当 k 为何值时,以 AB 为直 径的圆过原点

19. 已知焦点在 x 轴上的双曲线 C 的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点 A(0, 2 ) 为 圆心,1 为半径的圆相切,又知 C 的一个焦点与 A 关于直线 y ? x 对称. (1)求双曲线 C 的方程; (2)设直线 y ? m x ? 1 与双曲线 C 的左支交于 A,B 两点,另一直线 l 经过 M(-2,0) 及 AB 的中点,求直线 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围.

20.已知中心在原点 O,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 轴、短轴的端点,点 O 到直线 AB 的距离为 (1)求椭圆 C 的标准方程;

3 ,点 A、B 分别是椭圆 C 的长 2

6 5 。 5

(2)已知点 E(3, 0),设点 P、Q 是椭圆 C 上的两个动点,满足 EP⊥EQ,求 EP ? QP 的取值 范围。

参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

答 案

5 2

x 2 ? 16y 2 2?

y?

3 (5,+ x 7 3 倍 ∞ )

充 分 不 x2 y2 21 ? ? 1 2, ( , 2) 必 3 9 16 4 要 条 件

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分)

11.

x2 y2 ? ?1 36 27

12. 0 ?

m2 ? n2 ? 3, 2

13. [

3 ,1) 3

14.

5 2

15.

2 3

16.

y 2 ? 3x
17
解 :由a 2 x 2 ? ax ? 2 ? 0,得(ax ? 2)( ax ? 1) ? 0, 2 1 显然a ? 0 ? x ? ? 或x ? a a 2 1 ?x?? ? ?1,1? , 故 | a |? 1或 | a |? 1,?| a |? 1 “只有一个实数满足x 2 ? 2ax ? 2a ? 0” .即抛物线y ? x 2 ? 2ax ? 2a与x轴只有 一个交点, ?? ? 4a 2 ? 8a ? 0.? a ? 0或2, ? 命题 " p或q为真命题"时 " | a |? 1或a ? 0" ? 命题 " P或Q "为假命题 ? a的取值范围为?a | ?1 ? a ? 0或0 ? a ? 1?

x2 y2 2 3 b 18(Ⅰ)设双曲线的方程是 2 - 2 ? 1?a ? 0,b ? 0? ,则 c ? , ? 3. a 3 a b
又? c ? a ? b , ?b ? 1 ,
2 2 2 2

a2 ?

1 2 2 , 所以双曲线的方程是 3x ? y ? 1. 3
2

(Ⅱ)① 由 ?

? y ? kx ? 1, ?3 x ? y ? 1,
2 2

得 3 ? k x ? 2kx ? 2 ? 0 ,
2

?

?

由 ? ? 0, 且3 ? k ? 0 ,得 ? 6 ? k ? 6, 且 k ? ? 3 .
2

设 A?x1 , y1 ? 、 B?x2 , y 2 ? ,因为以 AB 为直径的圆过原点,所以 OA ? OB ,

所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

又 x1 ? x2 ?

?2k 2 , x1 x2 ? 2 , 2 k ?3 k ?3

所以 y1 y2 ? (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) ? k 2 x1x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 1, 所以

2 ? 1 ? 0 ,解得 k ? ?1 . k ?3
2

19. [解析]: (1)当 a ? 1时,y 2 ? x, 表示焦点为 ( ,0) 的抛物线; (2)当 0 ? a ? 1 时, ( x ? 1 ? a )
a 2 ( ) 1? a

1 4

a

2

?

y2 a
2

?1



1? a 2

表示焦点在 x 轴上的椭圆; (3)当 a>1 时,

(x ?

a 2 ) 2 ,表示焦点在 x 轴上的双曲线. (1 设双 1? a ? y ?1 2 a 2 a ( ) 1? a a2 ? 1

曲线 C 的渐近线方程为 y=kx,则 kx-y=0∵该直线与圆 x 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? 1 相切,∴双曲线 C 的两条渐近
2 2 线方程为 y=±x.故设双曲线 C 的方程为 x ? y ? 1 . 2 2

a

a

又双曲线 C 的一个焦点为 ( 2 ,0) ,∴ 2a 2 ? 2 , a 2 ? 1 .∴双曲线 C 的方程为: x 2 ? y 2 ? 1 . (2)由 ? y ? mx ? 1 得 (1 ? m2 ) x 2 ? 2mx ? 2 ? 0 .令 f ( x) ? (1 ? m 2 ) x 2 ? 2mx ? 2
? 2 2 ?x ? y ? 1

∵直线与双曲线左支交于两点,等价于方程 f(x)=0 在 (??,0) 上有两个不等实根. 因此 ?
?? ? 0 ,解得 1 ? ?2 ? 2m ? 0且 ?0 ? 2 2 1? m ?1 ? m

m ? 2 .又 AB 中点为 ( m 2 ,
1? m

1 ), 1 ? m2

∴直线 l 的方程为: y ?

1 2 2 . ( x ? 2) . 令 x=0,得 b ? ? 2 ? 2m 2 ? m ? 2 ? 2m ? m ? 2 ? 2(m ? 1 ) 2 ? 17 4 8
4 8

∵ m ? (1,

2 ) ,∴ ? 2(m ? 1 ) 2 ? 17 ? (?2 ? 2 ,1) ,∴ b ? (??,?2 ? 2 ) ? (2,??) .

20.解: (1)由离心率 e=

b 1 c 3 2 ,得 ? 1 ? e ? ,所以 a = 2b① ? a 2 a 2 6 5 ab 6 5 因为原点 O 到直线 AB 的距离为 ,所以 ② ? 2 2 5 5 a ?b

由①代入②得 b2=9,所以 a2=36,则椭圆 C 的标准方程是

x2 y2 ? ?1 36 9
2

(2)因为 EP⊥EQ,所以 EP ? EQ =0,所以 EP ? QP ? EP ? ( EP ? EQ ) ? EP

x2 x2 y2 2 ? ? 1 ,即 y =9– 设 P(x , y),则 36 9 4
所以 EP ? QP = EP ? ( x ? 3) ? y ? x ? 6 x ? 9 ? (9 ?
2 2 2 2

x2 3 ) ? ( x ? 4) 2 ? 6 4 4

因为–6≤x≤6,所以 6≤

3 ( x ? 4) 2 +6≤81,所以 EP ? QP 的取值范围为[6,81] 4


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