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第7篇 第4讲 直线、平面平行的判定与性质


第4讲 直线、平面平行的判定与性质
[最新考纲] 1 .以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解 空间中线面平行的有关性质和判定定理. 2 .能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图

形的平行关系的简单命题.

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/> 知识梳理
1.直线与平面平行的判定与性质 判定 定义 图 形 条 件 结 论 a∩α=? a?α,b?α,a∥b _________________ a∥α a∥α, ___________ a?β, ___________ α∩β=b ___________ 定理 性质

a∥α

b∥α

a∩α=?
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a∥b
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2.面面平行的判定与性质
判定

定义
图形 条件 α∩β=?

定理

性质

结论

α∥β

_____________ α∥β, a?β,b?β, ____________ _____________ a∩b=P, ____________ α∩γ=a, _____________ ___________ a∥α,b∥α β ∩ γ =b α∥β a∥b

α∥β, a?β

a∥α

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辨析感悟
1.对直线与平面平行的判定与性质的理解 (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线 平行于这个平面. (× ) (2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平

面内的任一条直线.
(3)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α. 条.

(× )
(× ) (× )

(4) 若直线 a∥α , P∈α ,则过点 P 且平行于 a 的直线有无数

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2.对平面与平面平行的判定与性质的理解 (5)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这

两个平面平行.
线平行或异面. 面,若l∥α,l∥β,则α∥β.

( ×)
( √ ) (×)

(6)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直 (7)(2013· 广东卷, 8C) 设 l 为直线, α , β 是两个不同的平

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[感悟·提升]
三个防范 一是推证线面平行时,一定要说明一条直线在平 面外,一条直线在平面内,如(1)、(3). 二是推证面面平行时,一定要说明一个平面内的两条相交直 线平行于另一平面,如(5).

三是利用线面平行的性质定理把线面平行转化为线线平行
时,必须说明经过已知直线的平面与已知平面相交,则该直 线与交线平行,如(2)、(4)

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考点一 有关线面、面面平行的命题真假判断 【例1】 (1)(2012·四川卷)下列命题正确的是 线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则 这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两 ( ).

A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直

个平面的交线平行
D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

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(2) 设 m , n 表示不同直线, α , β 表示不同平面,则下列结论

中正确的是
A.若m∥α,m∥n,则n∥α B.若m?α,n?β,m∥β,n∥α,则α∥β C.若α∥β,m∥α,m∥n,则n∥β D.若α∥β,m∥α,n∥m,n?β,则n∥β

(

).

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解析

(1)利用线面位置关系的判定和性质解答.A错误,如

圆锥的任意两条母线与底面所成的角相等,但两条母线相
交;B错误,在△ABC的三个顶点中,A,B在α的同侧,而点 C在α的另一侧,且AB平行于α,此时可有A,B,C三点到平 面α距离相等,但两平面相交;D错误,如教室中两个相邻墙 面都与地面垂直,但这两个面相交,故选C.

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(2)A错误,n有可能在平面α内;B错误,平面α有可能与平面 β相交;C错误,n也有可能在平面β内;D正确,易知m∥β或

m?β ,若 m?β ,又 n∥m , n?β , ∴ n∥β ,若 m∥β ,过 m 作平
面 γ 交平面 β 于直线 l ,则 m∥l ,又 n∥m , ∴ n∥l ,又 n?β , l?β,∴n∥β. 答案 (1)C (2)D 规律方法 解题. 线面平行、面面平行的命题真假判断多以小题出

现,处理方法是数形结合,画图或结合正方体等有关模型来

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【训练1】 A.b?α

(1)(2014·长沙模拟) 若直线a⊥b ,且直线a∥平面α ,

则直线b与平面α的位置关系是
B.b∥α D.b与α相交或b?α或b∥α C.b?α或b∥α 命题: ①若l与m为异面直线,l?α,m?β,则α∥β; ②若α∥β,l?α,m?β,则l∥m; ③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.

(

).

(2)给出下列关于互不相同的直线l,m,n和平面α,β,γ的三个

其中真命题的个数为
A.3 C.1 B.2 D.0
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(

).

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解析

(1)可以构造一草图来表示位置关系,经验证,当b与α

相交或b?α 或b∥α时,均满足直线a⊥b,且直线a∥平面α的

情况,故选D.
(2)①中,当α与β相交时,也能存在符合题意的l,m;②中, l 与 m 也可能异面;③中,l∥γ , l?β , β∩γ = m?l∥m ,同理 l∥n,则m∥n,正确. 答案 (1)D (2)C

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考点二 【例 2】

线面平行的判定与性质

(2012· 辽宁卷)如图,直三棱柱 ABC-A′B′C′,

∠BAC=90° , AB=AC= 2, AA′=1, 点 M, N 分别为 A′B 和 B′C′的中点. (1)证明:MN∥平面 A′ACC′; (2)求三棱锥 A′-MNC 的体积.

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(1) 证明

法一

连接 AB′, AC′,如图,由已知∠ BAC =

90°,AB=AC,三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱,
所以M为AB′中点. 又因为N为B′C′的中点,所以MN∥AC′. 又MN?平面A′ACC′,AC′?平面A′ACC′, 因此MN∥平面A′ACC′.

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法二

取A′B′的中点 P,连接MP,NP,AB′,如图,而

M,N分别为AB′与B′C′的中点, 所以MP∥AA′,PN∥A′C′, 所以MP∥平面A′ACC′,PN∥平面A′ACC′. 又MP∩NP=P,因此平面MPN∥平面A′ACC′.

而MN?平面MPN,因此MN∥平面A′ACC′.

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(2)解

法一

连接 BN,如图,由题意 A′N⊥B′C′,平面

A′B′C′∩平面 B′BCC′=B′C′, 1 所以 A′N⊥平面 NBC.又 A′N= B′C′=1, 2 1 1 1 故 VA′-MNC=VN-A′MC=2VN-A′BC=2VA′-NBC=6. 1 1 法二 VA′-MNC=VA′-NBC-VM-NBC= VA′-NBC= . 2 6

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规律方法 判断或证明线面平行的常用方法: (1)利用线面平行的定义,一般用反证法;

(2)利用线面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α),其关
键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行,证明时注 意用符号语言的叙述; (3)利用面面平行的性质定理(α∥β,a?α?a∥β); (4)利用面面平行的性质(α∥β,a?β,a∥α?a∥β).

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【训练2】

如图,在四面体A-BCD中,F,E,H分别是棱

AB , BD , AC 的中点, G 为 DE 的中点.证明:直线 HG∥

平面CEF.

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证明 法一 如图1,连接BH,BH与CF交于K,连接EK.

图1

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∵F,H 分别是 AB,AC 的中点, ∴K 是△ABC 的重心, BK 2 ∴BH=3. BE 2 又据题设条件知,BG=3, BK BE ∴ = ,∴EK∥GH. BH BG ∵EK?平面 CEF,GH?平面 CEF, ∴直线 HG∥平面 CEF.

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法二 如图2,取CD的中点N,连接GN、HN.

图2

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∵G 为 DE 的中点,∴GN∥CE. ∵CE?平面 CEF,GN?平面 CEF, ∴GN∥平面 CEF.连接 FH,EN ∵F,E,H 分别是棱 AB,BD,AC 的中点, 1 1 ∴FH 綉2BC,EN 綉2BC,∴FH 綉 EN,

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∴四边形FHNE为平行四边形,∴HN∥EF.
∵EF?平面CEF,HN?平面CEF, ∴HN∥平面CEF.HN∩GN=N, ∴平面GHN∥平面CEF. ∵GH?平面GHN,∴直线HG∥平面CEF.

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考点三 面面平行的判定与性质 【例 3】 (2013· 陕西卷)如图,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底 面 ABCD 是正方形,O 是底面中心,A1O⊥底面 ABCD,AB= AA1= 2. (1)证明:平面 A1BD∥平面 CD1B1; (2)求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积.

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审题路线

(1) 判 定 四 边 形 BB1D1D 是 平 行 四 边 形

?BD∥B1D1?BD∥平面CD1B1? 同理推出A1B∥平面CD1B1?
面A1BD∥面CD1B1. (2)断定A1O为三棱柱ABD-A1B1D1的高?用勾股定理求A1O? 求S△ABD?求VABD-A1B1D1.

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(1)证明

由题设知,BB1 綉 DD1,∴四边形 BB1D1D 是平行四

边形,∴BD∥B1D1. 又 BD?平面 CD1B1,∴BD∥平面 CD1B1. ∵A1D1 綉 B1C1 綉 BC, ∴四边形 A1BCD1 是平行四边形,∴A1B∥D1C. 又 A1B?平面 CD1B1, ∴A1B∥平面 CD1B1. 又∵BD∩A1B=B, ∴平面 A1BD∥平面 CD1B1.
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(2)解 ∵A1O⊥平面 ABCD, ∴A1O 是三棱柱 ABD-A1B1D1 的高. 1 又∵AO= AC=1,AA1= 2, 2
2 ∴A1O= AA2 1-OA =1.

1 又∵S△ABD= × 2× 2=1, 2 ∴VABD-A1B1D1=S△ABD×A1O=1.

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规律方法 (1)证明两个平面平行的方法有: ①用定义,此类题目常用反证法来完成证明;

②用判定定理或推论 ( 即 “ 线线平行 ? 面面平行”) ,通过线
面平行来完成证明; ③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行 证明; ④借助“传递性”来完成.

(2)面面平行问题常转化为线面平行,而线面平行又可转化为
线线平行,需要注意转化思想的应用.

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【训练3】

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是

C1C,B1C1,C1D1的中点,求证:平面PMN∥平面A1BD.

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证明 法一 如图,连接B1D1,B1C. ∵P,N分别是D1C1,B1C1的中点,

∴PN∥B1D1.
又B1D1∥BD,∴PN∥BD. 又PN?平面A1BD, ∴PN∥平面A1BD. 同理MN∥平面A1BD.

又PN∩MN=N,
∴平面PMN∥平面A1BD.

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法二 如图,连接AC1,AC, 且AC∩BD=O,

∵ABCD-A1B1C1D1为正方体,
∴AC⊥BD,CC1⊥平面ABCD, ∴CC1⊥BD,又AC∩CC1=C, ∴BD⊥平面AC1C, ∴AC1⊥BD.同理可证AC1⊥A1B,

∴AC1⊥平面A1BD.同理可证AC1⊥平面PMN,
∴平面PMN∥平面A1BD.

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1.平行关系的转化方向如图所示:

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2 .在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从 “ 低 维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平 行 ” ,再到 “ 面面平行 ” ;而在应用性质定理时,其顺序恰

好相反,但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而
定,决不可过于“模式化”.

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答题模板8——如何作答平行关系证明题 【典例】 (12 分 )(2012· 山东卷 ) 如图 1 ,几何体 E - ABCD 是 四棱锥,△ABD为正三角形,CB=CD,EC⊥BD. (1)求证:BE=DE;

(2) 若∠ BCD = 120°, M 为线段 AE 的中点,求证: DM∥
平面BEC.

图1
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[规范解答] (1)如图2,取BD的中点O,连接CO,EO.

图2

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由于CB=CD,所以CO⊥BD, 平面EOC, 因此BD⊥EO, 又O为BD的中点, 所以BE=DE.

(1分)

又 EC⊥BD , EC∩CO = C , CO , EC? 平面 EOC ,所以 BD⊥
(3分) (5分)

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(2)法一 如图3,取AB的中点N,连接DM,DN,MN,

图3

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因为M是AE的中点, 所以MN∥BE. 又因为△ABD为正三角形, 所以∠BDN=30°, 又CB=CD,∠BCD=120°, 因此∠CBD=30°,所以DN∥BC. 又MN∩DN=N,故平面DMN∥平面BEC, 又DM?平面DMN,所以DM∥平面BEC.
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(6分)

又MN?平面BEC,BE?平面BEC,∴MN∥平面BEC. (7分)

(9分) (11分) (12分)
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又DN?平面BEC,BC?平面BEC,所以DN∥平面BEC.

法二 如图4,延长AD,BC交于点F,连接EF.

图4
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因为 CB=CD,∠BCD=120° , 所以∠CBD=30° . 因为△ABD 为正三角形, 所以∠BAD=60° ,∠ABC=90° , 因此∠AFB=30° , 1 所以 AB=2AF. (9 分) (7 分)

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又AB=AD,所以D为线段AF的中点.
又DM?平面BEC,EF?平面BEC, 所以DM∥平面BEC.

(10分)

连接DM,由点M是线段AE的中点,因此DM∥EF. (11分) (12分)

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[反思感悟]

立体几何解答题解题过程要表达准确、格式要

符合要求,每步推理要有理有据,不可跨度太大,以免漏掉 得分点.本题易忽视 DM? 平面 EBC ,造成步骤不完整而失 分.

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答题模板 证明线面平行问题的答题模板(一) 第一步:作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线; 第二步:证明线线平行; 第三步:根据线面平行的判定定理证明线面平行;

第四步:反思回顾.检查关键点及答题规范.
证明线面平行问题的答题模板(二)

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第一步:在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面; 第二步:利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相 交直线分别与所证平面平行; 第三步:证明所作平面与所证平面平行;

第四步:转化为线面平行;
第五步:反思回顾.检查答题规范.

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【自主体验】 (2013· 福 建 卷 改 编 ) 如 图 , 在 四 棱 锥 P - ABCD 中 ,

AB∥DC,AB=6,DC=3.若M为PA的中点,求证:DM∥
平面PBC.

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证明 法一 取PB中点N,连接MN,CN. 在△PAB中,

∵M是PA的中点,
∴MN∥AB, 1 且 MN= AB=3, 2 又 CD∥AB,CD=3, ∴MN 綉 CD,

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∴四边形MNCD为平行四边形,
∴DM∥CN. 又DM?平面PBC,CN?平面PBC, ∴DM∥平面PBC.

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法二 取AB的中点E, 连接ME,DE. 在梯形ABCD中,BE∥CD, 且BE=CD,

∴四边形BCDE为平行四边形,
∴DE∥BC, 又DE?平面PBC, BC?平面PBC, ∴DE∥平面PBC.

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又在△PAB中,ME∥PB, ME?平面PBC,

PB?平面PBC,
∴ME∥平面PBC, 又DE∩ME=E, ∴平面DME∥平面PBC. 又DM?平面DME,

∴DM∥平面PBC.

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