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2.1.4


1.4 两条直线的交点
界首一中 王超

2013.1.20

二元一次方程组的解有三种不同情况(唯一解,无 解,无穷多解),同时在直角坐标系中两条直线的位置关

系也有三种情况(相交,平行,重合),下面我们通过
直线方程来讨论如何求直角坐标系中两直线的交点坐标。

我们知道,平面内任意一条直线都会与一个二元一次 方程对应,即直线上的点的坐标是这个方程的解,反之亦 成立.那么两条直线是否有交点与它们对应的方程所组成 的方程组是否有解有没有关系,如果有,是什么关系?

设两条直线方程为: L1: 1x+B1y+C1=0 A L2:A2x+B2y+C2=0

如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点

的坐标一定是这个方程组的公共解;反之,如果这两个二元
一次方程只有一个公共解,那么以这个解为坐标的点必是直 线 l 和 l 的交点. 2 1

结论1:

直线l1与l2的交点A的坐标

?

A1 x? B1 y ?C1?0 的解 A2 x? B 2 y ?C 2?0

结论2:
方程组
A1x+B1y+C1=0 的解 A2x+B2y+C2=0 一组 无数组 无解

两条直线L1,L2的公共点

一个

无数个

零个

直线L1,L2间的位置关系

相交

重合

平行

例1:求下列两条直线的交点: l1:3x+4y-2=0;l2:2x+y+2=0.
解:解方程组

M

y 2

3x+4y-2 =0

2x+y+2 = 0 y=2 ∴l1与l2的交点是M(- 2,2)



x= -2

-2

0
l1 l2

x

例2:求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程: l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0.
解:解方程组 x-2y+2=0 x= 2 y=2



2x-y-2=0 ∴l1与l2的交点是(2,2) 设经过原点的直线方程为 y=k x

把(2,2)代入方程,得k=1,所求方程为

x-y=0

当?变化时, 方程 3x ? 4 y ? 2 ? ? (2 x ? y ? 2) ? 0 表示什么图形?图形有何特点?

? =-1时,方程为x+3y-4=0

? =0时,方程为3x+4y-2=0 ? =1时,方程为5x+5y=0

y l1 l3 l2

0

上式可化为:(3+2λ)x+(4+λ)y+2λ-2=0

x

发现:此方程表示经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0交 点的直线系(直线集合)

结论3:共点直线系方程: A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0是过直线A1x+B1y+C1=0 和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程(不含直线l2)
回顾例2:求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线 方程:l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0. 解:设直线方程为x-2y+2+λ(2x-y-2)=0, 因为直线过原点(0,0),将其代入上式可得: λ=1 将λ=1 代入 x-2y+2+λ(2x-y-2)=0得: 3x-3y=0即x-y=0为所求直线方程。

练习1:求经过两条直线x+2y-1=0和2x-y-7=0的交点,

且垂直于直线x+3y-5=0的直线方程。
解法一:解方程组 x+2y-1=0, 得

x=3

y= -1 2x-y-7=0 ∴这两条直线的交点坐标为(3, - 1)

又∵直线x+3y-5=0的斜率是-1/3 ∴所求直线的斜率是3 所求直线方程为y+1=3(x-3)即 3x-y-10=0
解法二:所求直线在直线系2x-y-7+λ(x+2y-1)=0中 经整理,可得(2+λ)x+(2λ-1)y-λ-7=0 ∴ 2+λ - ———— =3 解得 λ= 1/7 2λ-1 因此,所求直线方程为3x-y-10=0

练习2:已知不论m取何实数值,直线 (m-1)x-y+2m+1=0恒过一定点,则这点的坐标为__

例3: 已知三条直线l1:4x+y-4=0,l2:mx+y=0, l3:2x-3my-4=0,求分别满足下列条件的m的值:

(1)使这三条直线交于同一点; (2)使这三条直线不能构成三角形.
【分析】 三条直线交于同一点的条件是两条直线的交点在第三 条直线上;三条直线不能构成三角形的条件是三条直线交于同一 点或其中有互相平行的直线.

【解】 (1)要使三条直线交于同一点,则 l1 与 l2 不平行,所以 m≠4.由 4x+y-4=0, mx+y=0,得 4 x= , 4-m 4 ?4 m -4m ( , y= ,即 l1 与 l2 的交点为 4 ? m 4 ? m ) . 4-m -4m 4 代入 l3 的方程得 2× -3m· -4=0,解得 4-m 4-m 2 m=-1 或 . 3

2 (2)若 l1,l2,l3 交于同一点,则 m=-1 或 ; 3 1 若 l1∥l2,则 m=4;若 l1∥l3,则 m=- ; 6 2 若 l2∥l3, m 无解.综上所述, 则 m=-1, , 或 3 1 或 4,或- . 6
【点评】 这类题一般先将两条直线方程联立组 成方程组,求出方程组的解代入第三条直线方程 求解.

变式:三条直线构成三角形呢?

练习:
1. 三条直线 ax + 2 y + 8 = 0 , 4 x + 3 y - 10 = 0 与

2 x - y - 10 = 0 相交于一点,则实数 a = 1

1
7

2.若点(2,1)是直线 l : Ax + 4 y - 2 = 0 与 直线 l : 2x + By + 2 = 0 的交点,则 A+B= 2

3.两条直线y=kx+2k+1和x+2y-4=0,的交点 在第四象限,则k的取值范围是_______


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