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更高更妙的物理:专题11 天体运动种种


专题 1l 天体运动种种 卫星、行星、恒星、星团、星系、星系团、超星系团,各种不同层次的天体世界由小到 大组成了整个宇宙,宇宙是那么的广袤浩瀚,深邃奇妙,然而,它们又是有序的,一些基本 的规律支配着天体星球的种种行为, 开普勒三定律描述了星体的运动学规律, 牛顿运动定律 及万有引力定律更揭示出天体运动的动力学原因。 一、牛顿的草图 牛顿在说明人造地球卫星原理时画的草图如图所示,在

离地 面一定高度水平抛出一物体, 当初速度较小时, 物体沿椭圆曲线 a 落地;当初速度较大时,物体沿椭圆曲线 a? 落地,落地点较远; 当初速度达到第一宇宙速度时,物体沿圆轨道 b 运行;当初速度 大于此值时,物体沿椭圆曲线 c 绕地运行;当初速度等于第二宇 宙速度时,物体沿抛物线轨道 d 离开地球不再回来;当初速度大 于此速度时,物体沿双曲线 e 离开地球。 物体在有心力场中的运动轨迹是圆锥曲线, 地球的中心是曲线的焦点, 图所示的几条轨 b b 道中,圆轨道 是一个临界轨道,在 以内的椭圆(如 a ) ,抛出点是椭圆的远地点,在 b 以 外的椭圆轨道(如 c ) ,抛出点是椭圆的近地点。抛物线轨道 d 又是一个临界轨道,在 d 以 内的轨道(如 a 、 b 、 c )是封闭的椭圆,在 d 以外的轨道(如 e )是不封闭的双曲线。牛 顿的这张草图不仅对于任何一个绕地球运行的卫星是适用的, 而且对于任何一个绕中心天体 运行的星体都是适用的。 二、守恒定律 支配天体运动最基本的规律当然是万有引力定律、 牛顿运动定律和开普勒定律, 除此之 外,守恒定律也是十分重要的。 1、机械能守恒 物体只在引力作用下绕中心天体运行,其机械能守恒.引力是保守力,引力场是势场, 在平方反比引力场中,质点的引力势能取决于其在有心力场中的位置。 如图所示,在质量为 M 的中心天体的引力场中,一质量 为 m 的物体由点 A 1 (距中心 r 1 )经点 A2 、 A 3 、 ?????? 运动到 点 An (距中心 rn ) , M 对它的引力做负功,其大小是

W ? lim ? G
n ?? i ?1

n

n n ri ?1 ? ri Mm 1 1 ( r ? r ) ? GMm lim ? GMm lim ( ? ) ? ? i ?1 i 2 n ?? n ?? ri ri ?1 i ?1 r i ?1 r i ?r i ?1 i

1 1 ? GMm( ? ) r1 rn
Mm 。可见,令无穷 r1 Mm 远处为零引力势能位置,物体在距中心天体 r 处的势能是 E p ? ?G 。 r
如果物体从点 A 1 运动到无限远,即 r n ? ? ,引力做负功 W ? G 在上述引力场中,机械能守恒的表达式是

1 2 Mm mv ? G ? 恒量。 2 r 天体运动取何种圆锥曲线取决于其总机械能 E 。 以地球卫星为例, 当 E ? 0 时地球卫星
的轨迹为抛物线, 此时地球卫星到达离地球无限远处时速度变为零, 即刚好能脱离地心引力 的束缚,设地球半径为 R ,卫星在地球表面发射时的初速度用 vd 表示,有

1 2 Mm 2GM mvd ? G ? 0 , vd ? 。 2 R R 此即卫星脱离地心引力束缚所需最小初速度—第二宇宙速度; 当 E ? 0 时地球卫星的轨迹为
椭圆,其中特例是圆,这时有

v GM ? d , R 2 此即第一宇宙速度—环绕地球运动的最小初速度,而当 E ? 0 时,地球卫星沿双曲线脱离地 vb ?
心引力,在离地球无限远时动能仍不为零,这种轨道要求初始时速度满足

ve ?

2GM 。 R

牛顿曾证明:一个均匀球壳质量 M 对球壳内物质的万有引力为 零,如图所示,球壳半径为 r ,壳内任一位置放质量为 m 的质点,通 过质点 m 作两条夹角极小的弦,作为两个顶点相同的圆锥面的母线, 两个圆锥面对质点 m 张开的立体角 ?? (在 ?? ? 0 时)相同,两个 圆锥面与半径为 R 的球面相截所得球壳面积分别是 ?S1 和 ?S2 ,两面 元法线各沿 OA 、 OB 方向,两面元的质量各为 ? ? ?S1 和 ? ? ?S2 ,其

M ,两面元极小而可看做质点,设 4? R 2 两面元到 m 的距离分别为 r1 和 r2 ,那么有 ? ? ?S1 ? m ? ? ?S2 ? m , F2 ? G , F1 ? G 2 r1 r22 由几何关系知,两个面元 ?S1 、 ?S2 在垂直 r1 、 r2 方向的投影面积相等,即
中 ? 为球壳质量面密度,? ?

?S1 ? cos ?1 ? r12 ? ?? , ?S2 ? cos ?2 ? r22 ? ?? , 而 ?1 ? ?2 ,故有 F1 ? F2 。 此二力方向相反,合力为零,对球面上其他质量对 m 的力均如此,故整个球壳对球壳 内物质的万有引力为零。对于一个质量均匀半径为 R 的实心球,在距球心 r ( ? R )处质点 只受半径为 r 的球内质量的万有引力,而 r 以外球壳(即以 R 为外径、 r 为内径的球壳)则 对质点无引力的作用。若均匀球质量为 M ,则距球心 r 处所置质点受到引力大小为 Mm F ?G 3 r, R 显见引力 F 与 r 成正比,质点在距球心 r ( ? R )处具有的引力势能可由引力功求得,即 Mm R ? r GMm G 3 ? ? (R ? r) ? ? Ep R 2 R Mm E p ? G 3 ( r 2 ? 3R 2 ) 。 2R
2、动量守恒 两个天体相互作用过程中,如果其他星系离它们很遥远,对它们的作用可以忽略的话, 这两个天体的总动量守恒, 两个天体从相距很远到相互作用直到远离, 它们的始末速度满足 弹性碰撞的方程组,那么在它们相互作用的前后相对速度遵守“反射定律” ,如果是一·维 9 方向上的“弹性碰撞” ,则相对速度等值反向,如同我们在专题 中讨论过的。若一个飞船 向外喷气或抛射物体,则系统的动量守恒而机械能不守恒。 3、角动量守恒 在描述物体围绕一定中心的转动情况时,我们常引入角动量的概念, 它与描述做平动的物体的运动状态量一(线)动量 p ? mv 相当。如图所 示,质量为 m 的质点做半径为 r 的圆周运动,其位置可用从圆心 O 到质 点的有向线段 r 来表示,矢量 r 称位置矢量,或称矢径。做圆周运动的质 点,矢径大小等于轨迹圆半径,方向从圆心指向质点所在位置。质点的线 速度矢量为 v ,方向沿切线方向,则质点的(线)动量为 p ? mv ,方向

O 总是与矢径 r 垂直, 我们定义质点动量大小 mv 与矢径大小 r 的乘积为质点对定点 (圆心)

的角动量,即

L ? pr 。
当 p 与 r 方向不垂直而成角度 ? 时,例如行星绕日在椭圆轨道运动(除 经近日点或远日点)时。如图所示,行星在公转轨道任意位置 A 时,动 量 p 与矢径 r 成 ? 角,此时,行星对 O 点的角动量大小为 L ? pr sin ? 。 即等于动量大小与 O 点到动量矢量 p 的垂直距离的乘积。角动量也是矢量,方向垂直于矢 径 r 与动量 p 所在平面,遵守右手螺旋定则,角动量定义的矢量式写作

L ? r? p,
它表示角动量矢量是动量与矢径两矢量的矢积。我们看到角动量的表达式与力矩的表达式

M ? FL sin ? (或 M ? r ? F )是置换对称的,故角动量也常称做动量矩。
若作用在质点上的力对某定点的力矩为零, 则质点对该定点的角动量保持不变, 这就是 质点的角动量守恒定律。 物体在受有心力作用而绕着中心天体运动, 或几个天体互相绕其系 统质心运动时,由于有心力必过力心,对力心的力矩为零,故系统的角动量守恒。即

? mvr sin? ? 恒量。

三、常用模型与方法 处理天体运动问题, 不仅需要必要的有关天体运动规律的知识, 而且需要掌握解决这类 问题的有用的模型与方法,常用的有以下几种: 1、理想化方法 由于天体运行规律相当复杂,所以应根据其实际情况,忽略次要因素,使问题简化,比 如宇宙尘埃凝聚成星球时假设它们之间不互相超越,彗星绕日运行时忽略行星对它的引力, 飞船着陆时忽略其登陆细节等,这样使实际问题在较理想的情景下进行处理。 2、轨道极限模型 物体在中心天体的引力作用下做直线运动时, 其运动是加速度变化的变速运动, 可以将 它看做绕中心天体的椭圆轨道运动, 将此椭圆轨道短轴取为无限小, 即中心天体为力心的有 心力作用下物体的直线运动是椭圆运动的极限。 3、微元方法与矢量方法 天体运动问题的计算要根据具体情况进行等效变换。 运用微元法或进行矢量运算, 使原 本复杂的计算问题得以在初等数学的范围内解决.下面我们列举天体运动的一些典型问题, 整合天体运动问题的常用模型与处理方法。 【例 1】试推导地球上的第三宇宙速度 v3 。 【分析与解】以多大的初速度 v3 从地球上发射物体。可以使物体挣脱太阳的引力而逃逸出 太阳系?对太阳这个中心天体而言, 原处于太阳系中地球轨道位置的物体要离开太阳系所需 对太阳而言的“第二宇宙速度”为

?? v2

2GM S ? 42.1km / s , R

式中 M S 是太阳的质量, R 是地球公转轨道半径。这是以日为参考系之速度,而地球对太阳 的公转速度为 v地日 ? 29.8km / s ;则以地球为参考系,物体要脱离太阳束缚所需速度为

? ? v地日 ) ( v2 ,而由能量守恒可知,质量为 m 的物体从地球发射时要满足
M m 1 1 2 ? ? v地日)2 , mv3 ? G 地 ? m(v2 2 R地 2


v3 ? 2G

M地 ? ? v地日) 2 ? 16.7km / s 。 ? (v2 R地

故地球上的第三宇宙速度大小是 16.7 km / s 。

【例 2】要发射一台探测太阳的探测器,使其与地球具有相同的绕日运动周期,以便发射一 年后又将与地球相遇而发回探测资料。 由地球发射这样一台探测器, 应使其具有多大的绕日 速度? 【分析与解】如图所示,地球绕日运动轨道理想化为以太阳为中心的圆 O ,探测器绕日轨道应设计为近日点接近焦点—太阳的一个椭圆,设发 射点为 P 。由于探测器与地球具有相同的绕日周期,故椭圆轨道半长轴 ,即 OP ? R ,可知 P 点为椭 a 与日地距离 R 相等(开普勒第三定律) 圆轨道半短轴 b 的顶点。 发射时应使探测器绕行速度沿椭圆上 P 点切线 方向(平行于长轴) 。图中, vP 表示探测器发射时相对太阳的速度, v0 表示地球公转速度。现在来求探测器的发射速度 vP 。 设想从发射经极短的时间 ?t ,此间矢径 OP 扫过一个极小的角度 ? ? ,由于 ? ? 之小, 使我们可以将 OP 在圆和椭圆上扫过的两个曲边三角形面积近似地以三角形面积公式计算 之,并且认为在这极短时间内,探测器速度未及改变,所以有

?S圆 ?
又由开普勒第二定律知

1 1 v0 ? ?t ? R , ?S椭 ? vP ? ?t ? b ; 2 2

联立求解得

T 2? R vP ? v0 ? 。 T

?S圆 ?

? R2

? ?t ; ?S椭 ?

? ab
T

? ?t ?

? Rb
T

? ?t ;

即探测器发射速度应与地球的公转速度的大小相等。 【例 3】火箭从地面上以第一宇宙速度竖直向上发射,返回时落回离发射场不远处。空气阻 力不计,试估算火箭飞行的时间,地球半径取 R ? 6400km 。 【分析与解】火箭向上发射又落回地面,它在地心力场中的运动轨道是以地心 为一个焦点、最高点为远地点的椭圆的一部分,如图所示,由开普勒第二定律 可知, 火箭在空中运动时间正比于矢径扫过的面积, 由于落地点离发射点不远, 可见轨道椭圆很“扁” ,其焦点即力心离轨道近地点很近,则物体上升的最高 点与地心成为轨道椭圆长轴的两个端点。 设轨道椭圆的长轴为 r ,火箭在远地点时速度可认为零,由机械能守恒关 系可得,火箭发射时总机械能与到达离地面最高处总机械能满足方程

1 Mm Mm ? ?G mv2 ? ?G , 2 R r 式中 M 、 m 分别表示地球与火箭的质量, v1 是第一宇宙速度 v1 ? gR ,可得轨道椭圆的 长轴 r ? 2 R 。 再设火箭在长轴为 2 R 的扁椭圆轨道运动周期为 T0 , 而在空中段运动时间为 t ,
由开普勒第二定律得

S0 S ? 。 T0 t 式中 S0 是轨道椭圆面积, S0 ? ? Rb ( b 为该轨道椭圆半短轴) ; S 是火箭飞行时间 t 内,
矢径扫过的图中划斜线部分的面积,它可近似地看做半个椭圆(地面以上部分)与一个三角 形(地面以下部分)的面积之和,即

S?
于是得

? Rb

1 ? Rb ? ? R ? 2b ? ? Rb , 2 2 2

t?

S ? Rb ? 2Rb ? ?2 T0 ? T0 ? T0 。 S0 2? Rb 2?

而由开普勒第三定律知,因该轨道半长轴与近地轨道半径相同,故周期亦相同,有

T0 ? 2?


R , g
。 4 .? 1 13 1 s 0

6 ? ?2 R 6 .? 4 1 0 t? ? 2? ? ( ? ? 2) s? 2? g 10

通常情况下, 研究地面上物体的竖直上抛运动时, 我们忽略了地心引力随引力距离平方 反比递减的极小变化而被看做是匀变速直线运动, 当要考虑这种变化时, 处理方法就如同例 3 的求解方法。 【例 4】竖直上抛运动中,以 r 表示到达最高点所用时间,以打表示最高点离地球表面的距 离, R 表示地球半径, M 表示地球质量, G 为万有引力常量,不计空气阻力,从考虑万有 引力是“平方反比力”出发,确定时间 T 的数学表达式。 【分析与解】 通常情况下, 我们将竖直上抛运动看做加速度为 g 的匀变速运动, 上升高度 H 历时

t?

2H 2 HR 2 ; ? g GM

从考虑万有引力出发,物体在平方反比力作用下所做的“竖直上抛运 动” ,其轨迹应是以地心为焦点的一个狭长的椭圆上的一部分,该椭圆 的长轴可取作 R ? H ,假设该椭圆是许多绕地卫星可能的开普勒轨道中 的一个,如图所示。 根据开昔勒第三定律可知,在这样的轨道上运动的物体的运行周期 T ? 与沿地表附近的圆轨道运行的周期 T0 的关系为

R?H 3 ) T? 2 ? , T02 R3
2

(



T0 ? 2?

R R3 , ? 2? g GM
R?H 。 2GM




T ? ? ? (R ? H )

根据开普勒第二定律,物体沿椭圆轨道运行的时间应与从地心 O 引出的矢径所扫过的 面积成正比。设物体从 P 点被抛出至落回地面 Q 点历时 ?t ,则有

式中 S 是图中划斜线部分图形的面积,它是由椭圆冠与一个等腰三角形组成的, S ? 是轨道 椭圆面积,由此式求出 ?t ,题目所欲求的便是 t ?

?t S ? 。 T ? S?



?t 。 2

解题思路确定后,问题症结在于求出物体飞行期间,其矢径扫过的面积 S , 我们用初等数学方法来求解。 先计算等腰三角形部分的面积 S1 ,设狭长椭圆半短轴为 b ,该椭圆在如图 所示坐标系中的解析方程为

x2 y2 ? ?1, b2 ( R ? H )2 2
故可求出 Q 点(物体落地点)的横坐标为

x?

2 RH b, R?H

则等腰三角形之底边长为

PQ ?
由此得

4 RH b, R?H

2 RH b? R 。 R?H 再计算椭圆冠的面积 S2 ,如图所示,以椭圆中心 O? 为圆 R?H 心作一半径为 的辅助圆,连接 P 、 Q 并延长成为辅助 2 圆之弦 MN ,由于 MN 与椭圆长轴垂直,故其在圆及椭圆上 S1 ?
截出的两冠面积满足的关系为

R?H 2 ?( ) S ?? R?H 2 。 ? ? S2 ? ? R ? H ? b 2b 2
其中圆冠面积为

1 R?H 2 R?H R?H ( ) ? 2 arccos ? RH ? , 2 2 R?H 2 故可计算椭圆冠部分面积 S2 为 S ?? ?

1 R ? H b RH ( R ? H ) , S2 ? b( R ? H ) ? arccos ?? 2 R?H R?H 则图中阴影部分的总面积为 S ? S1 ? S2 ,即 1 R?H S ? b( R ? H ) ? arccos ? b RH , ③ 2 R?H ?t 将①、③两式代入②式,然后利用 t ? 便可最终计算得物体从抛出达到最高点所用时间 2


t?

R?H ? (R ? H ) R?H ? 。 RH ? ? arccos ? 2GM ? 2 R?H ? ?

上面问题的处理中, 我们运用了天体的椭圆轨道模型, 巧妙地运用开普勒天体运动学定律求 得结果。下面我们运用动力学规律与矢量方法讨论天体运动问题。 【例 5】设想宇宙中有一由质量分别为 m1 、 m2 、 ?????? 、 mN 的星体 1 、 2 、 ?????? 、 N 构 成的孤立星团,各星体空间位置间距离均为 a ,系统总质量为 M 由于万有引力的作用, N 个星体将同时由静止开始运动。试问经过多长时间各星体将会相遇? 【分析与解】设系统的质心为 O ,由于系统不受外力作用而系统内各质点均受 平方反比引力,根据系统的牛顿第二定律可知,系统的合加速度为零,用质量 为

?m 、加速度为零的质点 O 来等效系统的运动,O 称为系统的质心。而对
i

各质点而言,它们将最终相遇在质心所在位置。先研究质量为 m1 的质点1 ,它 将受到其他各质点的引力 F21 、 F31 、 ?????? 、 FN 1 ,这些力均遵守万有引力定 律,大小为 Fi1 ? G

m1mi ;方向沿两质点连线而指向对方。如图所示, O 为系统质心位置, a2 r1 、 ri 为质点 1 与质点 i 对质心 O 的位置矢径。由图可知, r1 与 ri 两矢量差的大小为 a ,方

向同 Fi1 ,故

Fi1 ? G


m1mi (ri ? r1 ) , a3

F21 ? G

??????

m1m2 (r2 ? r1 ) ; a3 mm F31 ? G 1 3 3 (r3 ? r1 ) ; a

m1mN (rN ? r1 ) ; a3 2 ???,N )为各质点对质心 O 位置的矢径。则,质点1 所受合力为 上列各式中, ri ( i ? 1,, m ? ? F1 ? G a31 ? ? m1 r1 ? m2 r2 ? ?????? ? mN rN ? (m1 ? m2 ? ?????? mN )r1 ? 。 ? mi ri ? 0 ,即 m r ? 0 ,则有 由于点 O 为质心, ? ii m m m1M ? ? F1 ? G a31 ? ? ?(m1 ? m2 ? ?????? mN )r1 ? ? ?G a 3 r1 。 若设矢量 r1 的大小为 r1 ? ka ,那么质点 1 所受其他质点引力之合力大小为 FN 1 ? G

m1M m1k 3 M 。 ka ? G a3 r12 3 由上式可知,质点工所受各质点引力之合力等效于在 O 点的质量为 k M 的质点对它发生的 ka 引力,质点 1 在这个平方反比力作用下,在以 O 为一个焦点,以是 为长半轴而短半轴逼 2 近于零的“椭圆轨道”运动,初始位置为“远力心点” ,经半个周期,到达“近力心点” O 。

? F1 ? G

对于其他各质点,情况相同,故相遇经历时间为

ka 3 ) T a3 2 t ? ?? ?? 。 2 Gk 3 M 8GM (
【例 6】远点在木星轨道而绕日运行的彗星称为木星彗星,它的形成可看成是从无限远处落 向太阳的天体经木星吸引偏转而成为太阳的彗星,求其近日点。 (已知木星的公转轨道半径 为R ) 【分析与解】 我们首先将问题理想化为这样一个 模型: 从无限远处落向太阳的天体在木星轨道经 与木星发生 “弹性碰撞” 改变运动方向进人绕日 轨道,如图所示。这里,天体在无限远处的速度 取为零,天体质量 m 远小于木星质量 M ,在与 木星发生“弹性碰撞”时,只有木星与天体间的 万有引力而不计其他外力, 与木星远离后, 则在 太阳引力作用下做远地点与木星轨道相切的椭 圆运动,成为绕日的彗星。 设木星公转速度为 v0 ,公转轨道半径为 R ,由 G
2 M日M v0 ? M 可得 R2 R

v0 ? G

M日 ; R

又由机械能守恒,天体从无限远处被太阳吸引到木星轨道附近时速度 v 满足

M m 1 2 mv ? G 日 ? 0 , 2 R


v ? 2G

M日 ? 2v0 。 R

与木星相互作用过程,理想化为“完全弹性碰撞” ,接近速度与分离速度大小相等,其中, 接近速度大小为 3v0 (见图中矢量三角形) ,则分离速度大小亦为 3v0 ,由于木星质量远 大于天体质量,可认为其速度不变,则天体相对太阳的速度为 v? ? ( 3 ?1)v0 ,这也是天体 接着做绕日运动在远日点时的速度。 此后, 忽略远去的木星的作用, 天体进入太阳彗星轨道, 设其绕日轨道近日点距太阳 r ,过近日点时速度为 v1 ,由机械能守恒有

M m 1 M m 1 mv?2 ? G 日 ? mv12 ? G 日 ,① 2 R 2 r
由角动量守恒有

mv?R ? mv1r 。
由①、②两式消去 01,并代入 v? ? ( 3 ?1)v0 得



r?

3 ?1 R。 2

【例 7】如图所示,地球沿半径为 R0 的圆轨道绕太阳运动,彗星 绕太阳沿抛物线轨道运动。已知此抛物线与地球圆轨道一直径的 两端相交,不计地球与彗星之间的引力,试求彗星在地球轨道内 的运行时间。 【分析与解】本题中,彗星和地球均以太阳为环绕中心(即彗星 抛物线轨道的焦点、地球圆轨道的圆心) ,图的坐标系中给出了两 轨道关系。其中, O 为太阳位置, C 为抛物线顶点, OC0 ? R0 ; 由抛物线性质可知,直线 y ? R0 为抛物线准线, OC ?

根据开普勒第二定律,天体在运行中,其矢径在相同时间 ?t 内扫过相同面积 ? S ,那 么,彗星沿抛物线轨道 ACB 从 A 运动到 B 历时 t 与彗星对太阳的矢径扫过的面积 S (即图 中划斜线部分)的关系是

R0 。 2

S?

?S ?t ; ?t

而地球沿圆轨道 AC0 B 从 A 运动到 B 历时 t 0 与地球对太阳的矢径扫过的面积 S0 的关系是

S0 ?
比较面积 S 与 S0 、 “面积速度”

?S0 ? t0 。 ?t0

? S ?S0 与 ,可得出 t 与 t 0 的关系 ?t ?t0

而求得 t 。 如图,设地球在轨道 C0 处的速率为 v0 ,彗星在 C 处速率为 v 。 若太阳、彗星、地球质量依次为 M 、m 、 m0 ,彗星因机械能守恒, 有关系式

1 2 Mm mv ? G ?0, 2 R0 / 2



v?2

GM ; R0
2 Mm0 v0 , G 2 ? m0 R0 R0

而地球绕日运行有关系式



v0 ?

GM ,即 v ? 2v0 。 R0
?S ?

设彗星以速率 v 通过其轨道顶点 C 历时 ?t ( ?t ? 0 ) ,这时其矢径扫过的面积为

R 1 v ? ?t ? 0 , ① 2 2 而地球以速率 v0 通过其轨道顶点 C0 历时 ?t0 ( ?t0 ? 0 ) ,这时其矢径扫过的面积 ?S0 为 1 ?S0 ? v0 ? ?t0 ? R0 。 ② 2 ?S ?t ? v ? 1。 于是得 ?S0 2v0 ?t0
这就是说,两天体具有相同的“面积速度” 。 AB S 至于 与 S0 ,我们已经知道 与抛物线 ACB 所围成的弓形面积为

S?
而半圆面积为 于是有

R 2 2 ? 2 R0 ? 0 ? R02 , 3 2 3

1 S0 ? ? R02 , 2 S 4 t ? t0 ? t0 。 S0 3? 1 a (地球年) ,那么,彗星在地球轨道以内运行的 2 t? 2 a。 3?

由于地球绕日运动半个圆轨道历时 t0 ? 时间为

【例 8】一卫星在半径为厂的圆形轨道上绕地球运动,旋转周期为 T ,如果给卫星一个附加 的径向速度 un 或一个附加的切向速度 u t ,卫星都将沿一个椭圆轨道运动。 ⑴确定在上述两种情况中卫星的旋转周期; ⑵所附加的径向速度 un 和切向速度 u t 必须满足什么关系,才能使两种情况下,卫星旋转周 期相等? 【分析与解】⑴卫星在半径为 r 的圆上运动时,速度大小为

2? r GM , ? T r 式中 M 设为环绕中心天体的质量。当附加速度 un 为径向时(如图) ,根据机械能守恒 v?
与角动量守恒有

1 2 1 1 1 2 ( v ? un ) ? V 2 ? GM ( ? ) , 2 2 r rn v ? r ? V ? rn ,



rn ?

v r。 v ? un

上式中 rn 是“远地点”或“近地点”的矢径长, V 为对应位置时的速度。若 轨道的长半轴以 an 表示,可知

2an ? (


v v ? )r v ? un v ? un

an ?

v2 r, 2 v 2 ? un
Tn v2 3 ? ( 2 ) 2 T v ? un

由开普勒第三定律,卫星在新轨道的周期 T0 与在原轨道上周期关系为



Tn ? T (

4? 2 r 2 )3 。 2 2 2 2 4? r ? un T

当附加速度 u t 为切向时(如图) ,由于卫星初位置在椭圆轨道的“近地点” ,以 at 表示新轨 道长半轴, “远地点”的矢径长为 2at ? r ,设对应的速度为 V1 ,同样有

1 1 1 1 (v ? ut )2 ? V12 ? GM ( ? ), 2 2 r 2at ? r v ? r ? V1 ? (2at ? r ) ,


at ?

v2 r, v2 ? 2vut ? ut2
4? 2 r 2 )3 。 2 2 2 2 4? r ? 4? rutT ? ut T
2 v2 ? un ? v2 ? 2vut ? ut2



Tt ? (

⑵要使 Tn ? Tt ,根据开普勒第三定律,必须有 an ? at ,即 得径向速度 un 和切向速度 ut 须满足
2 un ? ut2 ?

4? r ut 。 T

1、设有两个地球人造卫星 M 和 N 沿同一椭圆轨道运动,地球中心在这椭圆的一个焦点 F 上,又设 M 和 N 相距不远,因此可将椭圆弧看做直线。已知 MN 的中点经近地点时

MN ? a ,近地点到地心的距离为 r ,远地点到地心的距离为 R ,求 M 、 N 的中点经远地 点时两颗卫星间的距离。

2、空间两质点的质量分别为 m1 和 m2 ,彼此以万有引力相互作用。开始时两质点静止,相 距 r0 ,在引力作用下彼此接近并相碰,试求两质点从开始运动到相碰所经历的时间。

3 次方成反比引力作用而在一直线上运动。试证此质点自无穷远处到 2 a 达距力心 a 处时的速率与从 a 处由静止出发,到达 处时的速率相同。 4
3、一质点受一与距离

4、有一个质量大而体积小的星球,一个物体离这个星球的距离为 r ,物体从静止出发自由 落向此星球,求物体落到这个星球上经历多少时间?(已知星球的质量为 M )

5、根据某种假设,星球是由星际物质(宇宙尘埃)在万有引力的作用下经压缩而成的。试 估算由密度 ? ? 2 ?10 间?
?20

g / cm3 的宇宙尘埃组成的巨大的云团到生成一颗星球需要多长时

6、如行星突然在其轨道上某处停止运动(假定轨道为圆形)则将被吸引而至太阳,试求其 所需时间,设太阳的高斯常数( GM )为 k ,行星质量为 m 。

7、某彗星的轨道为抛物线,其近日点距离为地球轨道(假定为圆轨道)半径的 星运行时,在地球轨道内停留的时间。

1 ,求此彗 n

8、如图,从地球发射火箭到火星去进行探测,发射后火箭绕太阳椭圆轨道运行。为了节省 能源, 火箭离开地球的速度方向与地球绕太阳公转的速度方向一致, 并且选择适当的发射时 机,使火箭椭圆轨道的远日点为火星,轨道近日点为地球。假定地球和火星均绕太阳做圆周 运动,圆轨道半径分别为 r 与 R ,忽略其他行星对火箭的作用,求火箭应以多大的对地速度 离开地球?火箭到达火星要用多长时间?

9、假设地球是一个均匀球体,现在地球的东半球北纬 30 的 a 处开一个穿过地轴的直线隧 道直通西半球北纬 30 的 b 处,如图所示。已知地球的半径是 6370km ,地面的重力加速度
0

0

1 g ? 9.8m / s 2 ,第一宇宙速度 v1 ? 7.9km / s ,假设隧道光滑。现将一个物体以 v ? v1 的初 3 速度从 a 处抛入隧道,问物体从 b 处出来后能飞离地面的最大高度是多少?

10、有一航天器(不带动力装置)自远方以速度 v0 射向某一行星,计划在行星上着陆,如 图。如以 b 表示初速度 v0 的直线路径与行星的垂直距离(称为瞄准距离) ,求 b 最大值为多 少时,航天器可以在行星上着陆。已知航天器质量为 m ,行星的质量为 M ,半径为 R 。

11、如图,一质量为 m ? 12t 的太空飞船在围绕月球的圆轨道上旋转,其高度 h ? 100km 。 为使飞船降落到月球表面,喷气发动机在 X 点作一次短时间发动。从喷口喷出的热气流相 对飞船的速度为 u ? 10km / s 。月球半径 R ? 1700km ,月球表面上自由落体的重力加速度 为 g月 ? 1.7m / s 2 。飞船可用两种不同方式到达月球: ⑴到达月球上的 A 点,该点正好与 X 点相对,如图( a )所示;⑵在 X 点给一指向月球中 心的动量后,与月球表面相切于 B 点,如图( b )所示。试计算上述两种情况下所需的燃 料量。

12、质量为 M 的宇航站和与其对接上的质量为 m 的飞船一起沿圆形轨道围绕地球运动着, 其轨道半径为地球半径 R 的 n 倍( n ? 1.25 ) 。某一瞬间,飞船从宇航站沿运动方向射出后 沿椭圆轨道运动,其最远点到地心的距离为 8nR 。质量比 m / M 为何值时,飞船绕地球运 行一周后正好与宇航站相遇?(一般认为 M ? m )

13、质量为 m 的人造卫星沿半径为 r0 的圆轨道飞行,地球质量为 M 。若卫星运动中受到微 弱的摩擦阻力 f (大小恒定) ,则将缓慢地沿一螺旋形轨道接近地球。将每周的旋转近似处 理成半径为 ri 的圆轨道。试求每旋转一周,轨道半径的改变量 ?r 及卫星轨道减少一半时减 少的机械能。

14、如图,宇宙飞船沿圆轨道绕火星运行,运动速度为 v0 。已知火星半径为 R ,飞船圆轨 道离火星表面的高度为 H 。今飞船在极短时间内,沿圆轨道径向向外侧点火喷气,使飞船 获得指向火星的径向速度为 av0 , a 是远小于 1 的常数。因喷气量很小,喷气后飞船的质量 可视作不变。喷气后,飞船绕火星沿新的轨道运行。试求飞船椭圆轨道近火星点距火星表面 的高度 hA 和远火星点距火星表面的高度 hB ,以及飞船绕椭圆轨道的运行周期。

15、一宇宙飞船环绕一行星做匀速圆周运动,轨道半径为 R ,飞船速率为 v0 。飞船上发动 机突然点火, 使飞船速率从 v0 变到 3v0 ,加速度方向与速度方向相同, 飞船沿新轨道运动。 设 ? 为发动机点火时飞船速度方向与飞船离行星最远处时的速度方向之间的夹角,求角 ? , 并画出飞船运动轨迹的图示。


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