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一道几何赛题的简证与启示


2007 年第 9 期

中学数学研究

一 道 几 何 赛题 的简 证 与 启 示
江西南昌市第四中学 (330006 )
2007 年南昌市高中 数学竞
赛的一道几何试题是 :
如 图 U AB〔 刃, B〔 下 万皆

王伟英
.’ 广, 、
C

>
梯形内 的 一点, 满 足八 尸 =朋 ,
D尸 = DC . 求 证 : 匕 APE =
艺 2刃 户 F,

为直角梯形, 其中, 2 〕 c / AB ,
C石 , / BE , BC土A1 3, EF 土月 E, A, E, D, F 在一直线上, 尸是
bZ+ cZ

命题者给出的标答为:
证明: 如 图 2 , 以 A 为圆 心, 八 B 为半径作O A , 由 AB =

, T 护 , , , B 毛 、 , 、 ‘ ‘ 、 、 、 、 _。 __一 户 图2

aZ+ bZ+ cZ’
a Z+ bZ

, o岁 c y = aZ+ bZ+ cZ

cZ+ a Z

sin 2 0, S in Z口 : S in Z o: sin Z o4 (S in Z夕 , )4+ (S in 2 02)4+ (S in Z夕 3)4+ (S in 2 04)4
cos 2 0。 .co s 20。 . coS 2 0, . cos 2 0‘



a Z+ bZ+ cZ’

二 -一 一 不 一 , 二 二 尸 一 一 万 一 一 一 不 一 户二 ;--一 丁 --, 二 一 一 , 厂 丁 一 一 二 一 一 二 二 , -二 二拱

习 一厂平 一
+

0 泥, a 十cO5, 卢

aZ+ bZ+ cZ = ( aZ+ bZ =艺
a Z+ bZ+ 2c2

(cos Z ol)4+ (cos Z口 2)4+ (cos Z口 3)4+ (cO 2 04)4 一 S
了 ‘ _二 _2 乙 、 4 上 / _: _ Z D 、 4 土 / _: _ 2 0 、 4 上 / _竺 _2。 、 4

c , ) 艺七 夸 不 飞( (aZ+ 。 2十 。 , )
1

望 竺 卫 牛瑞旱竿许号碧答号尸竺匕 ) s ln a l ’ sln 口 2 . s ln a 3 ’ s ln 口 4
(1一 sin Z口 1)4+(1一 sin Z口 2)4+(1一 sin Z口 3)4+(1一 sin Z口 4)4 (1一 sin Z口 1)(1一 sin Z夕 2)(1一 S in Z口 3)(1一 sin Z夕 4) 于 是令 x, 二 51 矛民 , 1 二1 , 2, 3, 4, 则 0< x i
xZ, x3, x4) ) 、 告 , 上 式 等 价 于 了 (工 1 , x;, 1一 x: , 1一 x3, 1一 x4) 这里f (x , , xZ, x3, x4) = f (1一



a Z+ bZ+ cZ
4a阮

4夕 石 厄 丐 兀 飞 峙 “之 双了 乙

艺 了 二 丽毛
(a + b + 。 )
1
Sl n a s ln

丝 毕井止 习 鱼 华
a Z+ bZ+ cZ
注 设
4 1 (一 c b

a Z+ bZ+ cZ
4ab c

1 习 4



xl4+ x2 4+ x3 4+ x4 4
X I X ZX 3 X 4

: 完全类似地可以得到:

。 、 口 、 y 为说 角, 且c o多 。 +cosZ 召 十 cosZ y
1

对f 进行配方, 有f (x , , xZ, x3, x4) =

= 1, 则有艺
例7

sin Z。 +sin Z召 -

之 受..万 .月 乙


, 1 。

1

s ac o c s 召 o

(x: 一 xZ )4+(x: 一 x3)4+(x: 一 x4)4+(x; 一 xl)4+
2x l x2x3x4
X IXZ
/ __ _ __ 、 2 了__ _

, 1= 1, 2, 3, 4. 证明: 设。 <0 1镇 晋
. ( 2001

勺 了 , . 一人 , , _ 、 2 臼\ 山 1 乙/




2(x3一 x4)“
I -

乃了__ _


‘戈 工2 一 工 3 ,

__ 、 2


X 3X 4

X IX4
一 「乙」 L—

n 04 簇 tanol ta n 02 ta n 夕 3 ta

。,__ _

‘ 、 工 4

年中国国家集训队试题 ) 证 : 所证不等式等价于 sin 2 01 sin Z 夕 。 S in 2 0: S in 2 0 ‘ _ — 乏、 co s‘ 01. co s‘ 02.co扩 口 3.cos‘ 口 4-

一一 — X ZX 3

工口 . 「 、 工1 一工3/
一t— X IX 3

__ 、 2

, 〕 「 、 j Z 一芯 3, 。 , ,
X 22 沐

__ 、 2

了 ‘」 .

f 1一 ( x, , 1 一二 2, 1一 3 , x 1一 x4) 与f (x : , 二 :, x: , x4) 对比, 发现二者每一项 的分子均相

(cO 2 0:)4+ (co 8 2 82)4+ (cos203)4+ (c S os Zo; )4

(sin Z ol)4+ (S in Z oZ )4+ (S in Z o3)4+ (S in Z o4)4 拱

故, ( x, f , xZ , x3, x4)) f (1一 l , x 1一 x2 , 1‘ 3, 1一 x4) 成立.
从而欲证式得证 .

同 , 分 母 上 由 于 护六 .

. 48



中学数学研究
八 尸知, 尸在O A 上; 又以 D 为圆心, DC 为半 径作O D , 同理 尸在O D 上, 设O A 、 O D 的另 一交点为Q , 则 AD 垂直平分 RZ , 尸 Q 交AD 于M , 交 BC 于 T , ’ : BC 土八 召 , 刀 C 土 DC , ., .

2007 年第 9 期

F A 证明 : 如图3 , 延长 BC 、

BC 为O A , O D 的外公切线, …T B Z= T P

冷 器 一 器, 又 D c一 P’ D
刀尸 _
DF

交于 Q , 连尸 Q . 在△D尸 F △DQP 中, ’ : DCZ= 工 F
DQ / 二 nn



Q D


了 U 二T c “ , …了 人 遭 是直角梯形BcEF 的中 位

线, .‘ . ME = MF , 在 ME 上取点K , 使 MK =
MD , 则 尸 D = 尸 K ,0 石 , 二 El咬 , 艺五 尸 2 ( =

」刀 产

石 石 , 艺一 ’上 I 1 ~ ’



尸的 △尸 OQ ,… / D尸 F 二 艺 Ql〕 P, .’ △凡〕 艺 DQ尸 ①

由OC/ / AB , 艺D尸 F . 在△A月 E 与△DC厂 , 中,
C石 , / 1 3 E
八尸
. AE , .’ . △Al 弓 E 切△DC石 、 , .‘ DF AB (了 1〕

同 理, 在△八 尸 E 和△AQ尸中, ABZ= AE

幸 朱= 葺 妾 孰 冷署 鑫= 篆 朱, .‘ .尸 E 是艺 APK 的平分 OP KP EK K尸, , , 八 占 - ~一 1 - -1 一 、. , , 线, …艺八 尸 E = 艺五 尸 K 二匕 OP 石 , .

八尸

八E

八尸

. _ _ 曰 ,, 。 , ,曰 _。 八

AQ冷 旎

AB

_ AQ 二 , n , n 乙 。 八尸 _ AQ = 节母 芳. 由 八召二八尸, 得气 户 六= 气 笼乏 ,
八召 ’ 目‘ 一 ’ “ ”勺 AE

A I 〕’

又艺 E 八 尸二艺 Q叭 1 〕 , .’ . △ FDP 切△尸 工 〕 Q, .‘ . / 八尸 E = 艺AQP ②

在命题者给出的标答中, 除构作了两个辅 助圆, 利用连心线垂直平分其相交弦的结论外, 显然在 ME 上取 D 关于PQ 的对称点K 是非 常关键的一步, 这一步考生是很难想到的, 从阅 卷中了 解到, 近六千名考生中没有一人能按上 述思路正确解答此题. 本文给出一种只要利用 相似形知识就能证明上题的简捷方法, 以说明
几何试题对考生思维灵活性的要求.

比较①, ②得, 艺八 EP = 艺OPF . 评注: 在上述证明中, 辅助线的构作 自 然, 简单, 证明的思路就是通过证两对三角形的相 似, 达到所要求证角相等的目 的. 而证三角形相 似的手段仅仅用到的是直角三角形中的射影定 理, 这些均为初中 平面几何中常用知识点, 考生 若能通过题设条件洞察到上述途径, 则解答高 中 联赛加试题中的平几试题也就不难了.

道 平 面 几 何 赛 题 的 思 考
重庆市合川太和中学 (401555 )
题 目 如 图 1, 四边 形
一 ~ ‘
( A

沈 毅 张 雪
因此 ME 二MF . 证法二 如图 2 , 延长 El〕
( A

AI3(刃 内接于 圆, 尸是八 2 3的

中点, 尸 E 土AD , 尸 F 土召 C, 尸 6

土C正 〕 , M 是线段 2〕 G 和 EZ 了 的

交点, 求证: ME = 八 吓, . (2006
1 寨 题新解

年江西南 昌市高 中数学联赛
题)

侧 一 习 1 一 图

至点K , 使尸 E=尸 K, 连结 召 K,
FK , 则易证△于 今 友 E 里 △月3K . 因此/ 尸 K召= 艺尸 EA 二艺尸 凡3 = 90 0 . 故而 尸、 K、 B、 F 四点共 圆. 注意到艺 EPG = 匕凡F , 所

一~ ~ 冷 ( 子
户 r

M 一 司一 ‘ 1 、 ~ 尸 图q
~

曰 飞 r l 7 1 跳 7 K

本题文[ l 」 中给出了一种纯几何证明方法, 但作了六条辅助线, 甚为繁琐, 本文笔者首先给 出两种较为简洁的证明方法.
尸 G土 CD 易得匕 El〕 G = 二一匕D = 三召, 同理

尸 E=尸 K, 所以有 ME = 八 仔, . 说明 : 上述两种方法虽有不同, 但都用到了

以 艺EPG 二 艺尸 BF = 艺尸 KF , 即尸 M/ / KF . 而

证法一 如图 1, 由P E 土AD , 尸 F 土拐 C,
5△ 了 、 切 E 5△ IMF

艺EPG = 艺B , 艺万 了 〕 6 = 艺A 这一实质性的结
论.

2

赛题变式

有 二 G 一 P F 二 、 , 所 以 黯
尸 艺s i n乙 五 尸 (夕 _ 尸 F si n 匕 FP 6
= 1

如图2 , 若考虑点 C 与点D 重合, 则四边 形八 召 〔 刀 退化为三角形, 此时弦 CD 演变为圆
的切线. 变式 1 如图 3 , △八 2 3C 内接于圆0 , 尸是
49


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