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函数思想在中学数学解题中的应用


函数思想在中学数学解题中的应用
数学科组 有着广泛的应用,是历年来高考考查的重点。 函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或 构造函数,运用函 数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决。函数思 想是对函数概念的本质认识, 用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、 分析和 解决问题。 函数 思想在解题中的应用主要表

现在两个方面: ①借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取 值范围等问题; ②在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数, 把研究的问题化为讨论函数的有 关性质,达到化难为易,化繁为简的目的。 下面我就结合近几年全国各地高考题来具体谈谈函数在解题中的应用。 1 利用函数的单调性证明不等式 例 1 (2010 年高考数学辽宁卷﹒文)已知函数 f ( x) ? (a ? 1)ln x ? ax2 ? 1. (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)设 a ? ?2 ,证明:对任意 x1 , x2 ? (0, ??) , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 | x1 ? x2 | . 分析: (1)略; (2)当我们看到要证明的不等式时,有绝对值,就要利用第(1)问 分析出的单调性却绝对值,转化后再引入辅助函数帮助证明。 解:(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+ ? ), f ?( x) ? 周晓兰 函数是中学数学中最为重要的内容。 函数思想更是中学数学的一种基本思想, 在解题中

a ?1 2ax 2 ? a ? 1 ? 2ax ? . x x

当 a≥0 时, f ?( x ) >0,故 f(x)在(0,+ ? )单调增加; 当 a≤-1 时, f ?( x ) <0, 故 f(x)在(0,+ ? )单调减少; 当-1<a<0 时,令 f ?( x ) =0,解得 x= ?

a ?1 . 2a

当 x∈(0,

?

a ?1 a ?1 )时, f ?( x ) >0;x∈( ? ,+ ? )时, f ?( x ) <0 2a 2a ? a ?1 a ?1 )单调增加,在( ? ,+ ? )单调减少. 2a 2a

故 f(x)在(0,

(Ⅱ)不妨假设 x1≥x2.由于 a≤-2,故 f(x)在(0,+ ? )单调减少. 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2 等价于 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥4x1-4x2,即 f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.

1

令 g(x)=f(x)+4x,则 g ?( x) ?

a ?1 2ax 2 ? 4 x ? a ? 1 ? 2ax +4= . x x

于是 g ?( x ) ≤

?4 x 2 ? 4 x ? 1 ?(2 x ? 1) 2 = ≤0. x x

从而 g(x)在(0,+ ? )单调减少,故 g(x1) ≤g(x2), 即 2 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2,故对任意 x1,x2∈(0,+ ? ) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 x1 ? x2 . 利用函数的单调性求参数的取值范围
2 x k

例 2 (2011 年高考数学北京卷﹒理)18.已知函数 f ( x) ? ( x ? k ) e . (1)求 f (x) 的单调区间; (2)若对 ?x ? (0 , ? ?) ,都有 f ( x ) ?

1 ,求 k 的取值范围。 e

分析: (1)当含参问题时,如果遇到大、小不明时,就应引起分类讨论; (2)恒成立问题一般转化成找最大、最小值问题。 解:(1) f ( x) ?
/ x 1 2 ( x ? k 2 )e k ,令 f / ( x) ? 0 得 x ? ? k k

当 k ? 0 时, f ( x ) 在 (??, ?k ) 和 (k , ??) 上递增,在 (?k , k ) 上递减; 当 k ? 0 时, f ( x ) 在 (??, k ) 和 (?k , ??) 上递减,在 (k , ? k ) 上递增 (2) 当 k ? 0 时, f (k ? 1) ? e
k ?1 k

1 1 ? ;所以不可能对 ?x ? (0 , ? ?) 都有 f ( x ) ? ; e e 4k 2 ,所以对 ?x ? (0 , ? ?) e

当 k ? 0 时有(1)知 f ( x ) 在 (0, ??) 上的最大值为 f (?k ) ?

都有 f ( x ) ?

1 1 4k 2 1 ? ?? ? k ?0, 即 e e e 2
1 1 时, k 的取值范围为 [? ,0) 。 e 2

故对 ?x ? (0 , ? ?) 都有 f ( x ) ? 3 函数与数列的结合

例 3(2008 年全国卷一)设函数 f ( x) ? x ? x ln x . 数列 ?an ? 满足 0 ? a1 ? 1, n?1 ? f (an ) . a

1) (Ⅰ)证明:函数 f ( x ) 在区间 (0, 是增函数;
(Ⅲ)设 b ? (a1, ,整数 k ≥ 1)

(Ⅱ)证明: an ? an?1 ? 1 ;

a1 ? b .证明: ak ?1 ? b . a1 ln b

解析: (Ⅰ)证明: f ( x) ? x ? x ln x , f ' ? x ? ? ? ln x,当x ? ? 0,1?时,f ' ? x ? ? ? ln x ? 0

2

故函数 f ? x ? 在区间(0,1)上是增函数; (Ⅱ)证明: (用数学归纳法) (i)当 n=1 时, 0 ? a1 ? 1, a1 ln a1 ? 0 ,

a2 ? f (a1 ) ? a1 ? a1 ln a1 ? a1
由函数 f ( x ) 在区间 (0, 是增函数,且函数 f ( x ) 在 x ? 1 处连续,则 f ( x ) 在区间 (0, 是增 1) 1] 函数, a2 ? f (a1 ) ? a1 ? a1 ln a1 ? 1 ,即 a1 ? a2 ? 1成立; (ⅱ)假设当 x ? k (k ? N *) 时, ak ? ak ?1 ? 1 成立,即 0 ? a1 ≤ ak ? ak ?1 ? 1 那么当 n ? k ? 1 时,由 f ( x ) 在区间 (0, 是增函数, 0 ? a1 ≤ ak ? ak ?1 ? 1 得 1]

f (ak ) ? f (ak ?1 ) ? f (1) .而 an?1 ? f (an ) ,则 ak ?1 ? f (ak ), ak ?2 ? f (ak ?1 ) ,

ak ?1 ? ak ?2 ? 1 ,也就是说当 n ? k ? 1 时, an ? an?1 ? 1 也成立;
根据(ⅰ)(ⅱ)可得对任意的正整数 n , an ? an?1 ? 1 恒成立. 、 (Ⅲ)证明:由 f ( x) ? x ? x ln x . an?1 ? f (an ) 可得

a? a b k a a1 ? b ? ? ai ln ai ?? a k ?ln ? k ? b k 1
i ?1

k

①若存在某 i ≤ k 满足 ai ? b ,则由⑵知: ak ?1 ? b ? ai ? b ≥0

?? a k ?ln ②若对任意 i ≤ k 都有 ai ? b ,则 a? a b k a k ? b k 1
? a1 ? b ? ? ai ln ai ? a1 ? b ? ? ai ln b ? a1 ? b ? (? ai ) ln b
i ?1 i ?1 i ?1 k k k

?1 b ka ? ??1 b 0 ,即 ak ?1 ? b 成立. a ? 1 b a b( ? ? ? ln 1 a )
注意:在解决值的大小比较问题时,通过构造适当的函数,利用函数的单调性或图象解 决是一种重要思想方法。 总之,函数思想是数学中最基本的思想方法,在数学学习中应注意该思想方法的训练, 熟练地予以掌握,强化应用函数思想解决数学问题的意识,不断地提高思维灵活性。

3


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