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【志鸿优化设计】2015届高考数学(人教版,理科)一轮总复习精品课件:9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系


9.4

直线与圆、圆与圆的位置关系

第九章

9.4

直线与圆、圆与圆的位置关系 -2-

1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系. 2.能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系. 3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 4.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 5.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置,会简单应用空间 两点间的距离公式.

第九章

9.4

直线与圆、圆与圆的位置关系 -3-

1.直线与圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系有三种: 相切 、 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法

相交 、

相离 .

①代数法:把直线方程与圆的方程联立方程组,消去 x 或 y 整理成一元 > 0? 二次方程后,计算判别式 Δ=b2-4ac = 0? < 0? 相交 相切 相离 , , .

②几何法:利用圆心到直线的距离 d 和圆的半径 r 的大小关系:

相交 , d=r? 相切 , d>r? 相离 .
d<r?

第九章

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直线与圆、圆与圆的位置关系 -4-

(2)圆的切线方程 若圆的方程为 x2+y2=r2,点 P(x0,y0)在圆上,则过 P 点且与圆 x2+y2=r2 相 切的切线方程为 x0x+y0y=r . 注:点 P 必须在圆 x2+y2=r2 上. 经过圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上点 P(x0,y0)的切线方程为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)
2

(y-b)=r2.

第九章

9.4

直线与圆、圆与圆的位置关系 -5-

想一想在求过一定点的圆的切线方程时,应注意什么?

答案:(1)首先判断点与圆的位置关系,若点在圆上,该点即为切点,

则切线只有一条;若点在圆外,切线应有两条;若点在圆内,无切线. (2)若求出的切线条数与判断不一致,则可能漏掉了切线斜率不 存在的情况.

第九章

9.4

直线与圆、圆与圆的位置关系 -6-

(3)直线与圆相交: 直线与圆相交时,若 l 为弦长,d 为弦心距,r 为半径,则有 r =d + l=2 2 - 2 ,求弦长或已知弦长求其他量的值,一般用此公式.
2

2

2 ,即 2

第九章

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直线与圆、圆与圆的位置关系 -7-

2.圆与圆的位置关系 (1)圆与圆的位置关系可分为五种:

相离 、

外切 、

相交 、 内切 、 内含 .
(2)判断圆与圆的位置关系常用方法 ①几何法:设两圆圆心分别为 O1,O2,半径为 r1,r2(r1≠r2),则 |O1O2|>r1+r2?

相离

;|O1O2|=r1+r2?

外切

;|r1-r2|<|O1O2|<r1+r2?

相交

;|O1O2|=|r1-r2|?

内切

;|O1O2|<|r1-r2|?

内含 .

②代数法: 2 + 2 + 1 x + 1 y + 1 = 0, 方程组 2 + 2 + 2 x + 2 y + 2 = 0, 有两组不同的实数解?两圆 有两组相同的实数解?两圆 无实数解?两圆相离或内含.

相交 ; 相切 ;

第九章

9.4

直线与圆、圆与圆的位置关系 -8-

3.在空间直角坐标系中,O 叫做坐标原点,x,y,z 轴统称为坐标轴,由坐标 轴确定的平面叫做坐标平面.这儿所说的空间直角坐标系是空间右手直角 坐标系:即伸开右手,使拇指指向 方向,中指指向 向.

x

轴的正方向,食指指向

y 轴的正

z 轴的正方向.也可这样建立坐标系:令 z 轴的正方向竖

直向上,先确定 x 轴的正方向,再将其按逆时针方向旋转 90° 就是 y 轴的正方

第九章

9.4

直线与圆、圆与圆的位置关系 -9-

4.空间点的坐标 设点 P(x,y,z)为空间坐标系中的一点,则点 P(1)关于原点的对称点是

(-x,-y,-z) ;(2)关于 x 轴的对称点是 (x,-y,-z) ;(3)关于 y 轴的对称点是 (-x,y,-z) ;(4)关于 z 轴的对称点是 (-x,-y,z) ;(5)关于 xOy 坐标平面的对 (x,y,-z) ;(6)关于 yOz 坐标平面的对称点是 xOz 坐标平面的对称点是 (x,-y,z) .
称点是 5.空间两点间的距离 设 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则|AB|= (1 -2 )2 + (1 -2 )2 + (1 -2 )2 .

(-x,y,z) ;(7)关于

第九章

9.4

直线与圆、圆与圆的位置关系 -10-

基础自测
1.直线 x-y+1=0 与圆(x+1)2+y2=1 的位置关系是( A.相切 B.直线过圆心 C.直线不过圆心,但与圆相交 D.相离 )

关闭

∵ 圆心(-1,0)到直线 x-y+1=0 的距离 d=
B ∴ 直线过圆心.

|-1-0+1| =0, 2

关闭

解析

答案

第九章

9.4

直线与圆、圆与圆的位置关系 -11-

2.圆 x2+y2-4x=0 在点 P(1, 3)处的切线方程为( A.x+ 3y-2=0 C.x- 3y+4=0 B.x+ 3y-4=0 D.x- 3y+2=0

)

关闭

设切线方程为 y- 3=k(x-1),由 d=r,可求得 k= .故方程为 x- 3y+2=0.
关闭

3 3

D
解析 答案

第九章

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直线与圆、圆与圆的位置关系 -12-

3.两圆 x2+y2-2y=0 与 x2+y2-4=0 的位置关系是( A.相交 B.内切 C.外切

) D.内含

关闭

两圆方程可化为 x2+(y-1)2=1,x2+y2=4.两圆圆心分别为 O1(0,1),O2(0,0), 半径分别为 r1=1,r2=2. B ∵ |O1O2|=1=r2-r1,∴ 两圆内切.
解析

关闭

答案

第九章

9.4

直线与圆、圆与圆的位置关系 -13-

4.(2013 山东高考)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B,则 直线 AB 的方程为( A.2x+y-3=0 C.4x-y-3=0 ) B.2x-y-3=0 D.4x+y-3=0

关闭

该切线方程为 y=k(x-3)+1,即 kx-y-3k+1=0,由圆心到直线距离为
|×1-0-3+1| 2 +(-1 )2 9 3 A (1,1), ,5 5

=1,得 k=0 或 ,切线方程分别与圆方程联立,求得切点坐标分别为
关闭

4 3

,故所求直线的方程为 2x+y-3=0.故选 A.
解析 答案

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直线与圆、圆与圆的位置关系 -14-

5.已知 A(x,2,3),B(5,4,7),且|AB|=6,则 x 的值为

.

关闭

由空间两点间的距离公式,得 (-5)2 + (2-4)2 + (3-7)2 =6,即(x-5)2=16, 1或9 解得 x=1 或 x=9.
解析

关闭

答案

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9.4

直线与圆、圆与圆的位置关系 -15-

6.已知圆 C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆 C2:x2+y2-4x+2y-11=0,则两圆的公共弦所 在的直线方程为 ,公共弦长为 .

关闭

设两圆的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点满足方程 x2+y2+2x-6y+1=0 与 x2+y2-4x+2y-11=0,将两个方程相减得 3x-4y+6=0,即为两圆公共弦所在直线的 方程.易知圆 C1 的圆心 C1(-1,3),半径 r=3,用点到直线的距离公式可以求得点 C1 到直线的距离为:d=
|-1×3-4×3+6| 32 +42

= .所以利用勾股定理得到 |AB|=2 2 -2 =

9 5

24 , 5
关闭

24 24 3x-4y+6=0 即两圆的公共弦长为 . 5 5

解析

答案

第九章

9.4

直线与圆、圆与圆的位置关系 -16-

考点一 直线与圆的位置关系及其应用
【例 1】 点 M(a,b)是圆 x2+y2=r2 内异于圆心的一点,则直线 ax+by=r2 与圆 的交点个数为( A.0 C.2 ) B.1 D.需要讨论确定

关闭

由题意知 a +b <r ,所以圆心(0,0)到直线 ax+by-r =0 的距离 d= 即直线与圆相离,无交点.
A
解析 考点一 考点二 考点三 考点四

2

2

2

2

2 2 +
2

>r,
关闭

答案

第九章

9.4

直线与圆、圆与圆的位置关系 -17-

方法提炼 直线与圆的位置关系有两种判定方法:代数法与几何法. 由于几何法一般比代数法计算量小,简便快捷,所以更容易被人接受.同 时,由于它们的几何性质非常明显,所以利用数形结合,并充分考虑有关性质 会使问题处理起来更加方便.

考点一

考点二

考点三

考点四

第九章

9.4

直线与圆、圆与圆的位置关系 -18-

举一反三 1 圆(x-3)2+(y-3)2=9 上到直线 3x+4y-11=0 的距离等于 1 的
点有( ) B.2 个 C.3 个 D.4 个 A.1 个

关闭

因为圆心到直线的距离为

|9+12-11| =2, 又因为圆的半径为 5

3, 所以直线与圆

相交, 由数形结合知, 圆上到直线的距离为 1 的点有 3 个.

C
解析 考点一 考点二 考点三 考点四

关闭

答案

第九章

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直线与圆、圆与圆的位置关系 -19-

考点二 圆与圆的位置关系及其应用
【例 2】 圆(x+2)2+y2=4 与圆(x-2)2+(y-1)2=9 的位置关系为( A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 )

关闭

圆 O1 的圆心为(-2,0),r1=2, 圆 O2 的圆心为(2,1),r2=3,|O1O2|= 42 + 12 = 17, 因为 r2-r1<|O1O2|<r1+r2,所以两圆相交.
B
解析 考点一 考点二 考点三 考点四

关闭

答案

第九章

9.4

直线与圆、圆与圆的位置关系 -20-

方法提炼 1.判断两圆的位置关系,通常是用几何法,从圆心距 d 与两圆半径长的 和、差的关系入手.如果用代数法,从交点个数也就是方程组解的个数来判 断,但有时不能得到准确结论. 2.利用两圆方程相减即可得到相交弦所在直线的方程.

考点一

考点二

考点三

考点四

第九章

9.4

直线与圆、圆与圆的位置关系 -21-

举一反三 2 设两圆 C1,C2 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心
的距离|C1C2|=( A.4 ) B.4 2 C.8 D.8 2
关闭

依题意,可设圆心坐标为(a,a),半径为 r,其中 r=a>0,因此圆方程是 (x-a)2+(y-a)2=a2,由圆过点(4,1),得(4-a)2+(1-a)2=a2, 即 a2-10a+17=0,则该方程的两根分别是圆心 C1,C2 的横坐标,|C1C2|= 2 × 102 -4 × 17=8. C
解析 考点一 考点二 考点三 考点四
关闭

答案

第九章

9.4

直线与圆、圆与圆的位置关系 -22-

考点三 圆的切线和弦长问题
【例 3】 过原点的直线与圆 x2+y2-2x-4y+4=0 相交所得弦的长为 2,则该直 线的方程为 .

关闭

圆的方程可化为(x-1)2+(y-2)2=1,可知圆心为(1,2),半径为 1.设直线方程为 y=kx,则圆心到直线的距离为 d= y=2x,即 2x-y=0. 2x-y=0
解析 考点一 考点二 考点三 考点四
|-2| 1+2

,故有

|-2| 1+2

=0,解得 k=2.故直线方程为
关闭

答案

第九章

9.4

直线与圆、圆与圆的位置关系 -23-

方法提炼 1.求过一点的圆的切线方程,首先要判断此点是否在圆上.若在圆上,该 点为切点;若不在圆上,切线应该有两条,设切线的点斜式方程,用待定系数 法求解.注意,需考虑无斜率的情况.求弦长问题,要充分运用圆的几何性质. 2.直线与圆相交求弦长有两种方法 (1)代数方法:将直线和圆的方程联立方程组,消元后得到一个一元二次 方程.在判别式 Δ>0 的前提下,利用根与系数的关系求弦长.弦长公式 l= 1 + 2 ·|x1-x2|= (1 + 2 )[(1 + 2 )2 -41 2 ] = 1 + 2 · .其中 a 为 一元二次方程中的二次项系数. (2)几何方法:若弦心距为 d,圆的半径长为 r,则弦长 l=2 2 - 2 .代数法 计算量较大,我们一般选用几何法.
考点一 考点二 考点三 考点四
||

第九章

9.4

直线与圆、圆与圆的位置关系 -24-

举一反三 3 若直线 y=x+b 与曲线 y=3- 4- 2 有公共点,则 b 的取值范
围是( )
关闭

y=3- 4- 2 变形为(x-2)2+(y-3)2=4(0≤x≤4,1≤y≤3),

A. [1-2 (2,3) 2,1+ 2 2] ,2 为半径的下半圆 B.[12,3] 表示以 为圆心 ,如图所示 .
若直线 y=x+b 与曲线 y=3- 4- 2 有公共点,

C. [-1,1+2 y=x+b 2] 在图中两直线之间 D.[(1 -2 2,3] 只需直线 包括图中两
条直线),y=x+b 与下半圆相切时,圆心到直线 y=x+b 的 距离为 2,即
|2-3+| =2,解得 b=1-2 2

2或 b=1+2 2(舍去),
关闭

∴ b 的取值范围为 1-2 2≤b≤3.故选 D. D
解析 考点一 考点二 考点三 考点四

答案

第九章

9.4

直线与圆、圆与圆的位置关系 -25-

考点四 空间直角坐标系
【例 4】 在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,2),B(1,-3,1),点 M 在 y 轴上,且 点 M 到点 A 与点 B 的距离相等,则点 M 的坐标是 .

关闭

设 M(0,y,0),由 (1-0)2 + (0-y)2 + (2-0)2 = (1-0)2 + (-3-y)2 + (1-0)2 , 解得 y=-1,即 M(0,-1,0). (0,-1,0)
解析 考点一 考点二 考点三 考点四
关闭

答案

第九章

9.4

直线与圆、圆与圆的位置关系 -26-

方法提炼 距离是几何中的基本度量单位,由平面上两点之间的距离公式可类比 得到空间两点之间的距离公式.利用该公式可解决以下问题:(1)求给定两点 间的距离;(2)利用距离公式求参数值或最值;(3)判断几何图形的形状.

考点一

考点二

考点三

考点四

第九章

9.4

直线与圆、圆与圆的位置关系 -27-

举一反三 4 已知在△ABC 中,A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),则△ABC
的面积等于 . 根据空间中两点间的距离公式可得
|AB|= (1 + 1)2 + (-2 + 1)2 + (-3 + 1)2 =3, |BC|= (-1-0)2 + (-1-0)2 + (-1 + 5)2 =3 2, |AC|= (1-0)2 + (-2-0)2 + (-3 + 5)2 =3. 因为|AB|=|AC|,且|AB|2+|AC|2=|BC|2,所以△ABC 是以 A 为直角的等腰直角 三角形 ,故其面积 S= |AB|·|AC|= ×3×3= . 2
解析 考点一 考点二 考点三 考点四 答案
9
关闭

1 2

1 2

9 2

关闭

第九章

9.4

直线与圆、圆与圆的位置关系 -281 2 3
关闭

2 ,过点 1.在圆 x +y -2x-8y+1 E16, (0,1) 的最长弦和最短弦分别是 AC,显然 和 BD 圆的方程可化为 (= x-0 1)内 +(y-4)2= ∴ 圆心 M(1,4),半径 r=4,如图所示 E,

2

2

则四边形 ABCD 的面积为( B.8 6

)

A.4 6 在圆的内部 ,设过 E 点的弦长为 l,则 l=2 2 -2 =2 16-2 (d 表示弦心距). C.12 6
由图可知 0≤d≤|ME|= 10,

D.16 6 ∴ 当 d= 0 时,
lmax=2×4=8=|AC|(此时 AC 为圆的直径); 当 d= 10时, lmin=2 16-10=2 6=|BD|(此时 AC⊥BD). ∴ S 四边形 ABCD= |AC||BD|= ×8×2 6=8 6,故 B 正确. B 2 2
解析
1 1
关闭

答案

第九章

9.4

直线与圆、圆与圆的位置关系 -291 2 3

2.与曲线 x2=(3-y)(y-1)相切,且在两坐标轴上的截距相等的直线共有

条.

关闭

曲线 x2=(3-y)(y-1),即 x2+(y-2)2=1 是圆心为(0,2),半径为 1 的圆.当直线在两 坐标轴上的截距都为零时,有两条直线与该圆相切;当两截距不为零且相等时, 可设切线方程为 x+y=a,由
4 题意的切线共有 4 条.
解析 答案
|2-| =1 2

得 a=2± 2,∴ 切线方程为 x+y=± 2+2.故满足
关闭

第九章

9.4

直线与圆、圆与圆的位置关系 -301 2 3
关闭

解:如图所示 ,设弦 PQ 中点为 M,∵ O1M⊥PQ,∴ 1 M =2. 3.已知圆 x2+y2+x6y+m=0 和直线 x+ 2y-3=0 交于 P,Q 两点,且 OP⊥OQ(O = 2 + 4, 1 ∴ O1M 的方程为 y-3=2 + ,即 y=2 为坐标原点 ),求该圆的圆心坐标及半径 . x+4.由方程组 + 2-3 = 0, 2 解得 M 的坐标为(-1,2). 则以 PQ 为直径的圆可设为(x+1)2+(y-2)2=r2. ∵ OP⊥OQ, ∴ 点 O 在以 PQ 为直径的圆上. ∴ (0+1)2+(0-2)2=r2, 即 r2=5,|MQ|2=r2. 在 Rt△O1MQ 中,|O1Q|2=|O1M|2+|MQ|2,
1+(-6)2 -4m ∴ 4 B

=

2 1 5 - + 1 +(3-2)2+5.∴ m=3.∴ 半径为 ,圆心为 2 2

- ,3 .
解析

1 2

关闭

答案


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