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3.1.1直线倾斜角与斜率


3.1.1直线的倾斜角与斜率

勒奈·笛卡尔 勒奈 笛卡尔(René Descartes,
1596-1650):法国数学家、科

学家和哲学家,堪称17世纪 以来欧洲哲学界和科学界最 有影响的巨匠之一,被誉为 “近代科学的始祖”.

解析几何

坐标法

坐标法:以坐标系为桥梁, 坐标法:以坐标系为桥梁,把几何问题转化成代数 问题,通过代数运算研究几何图形性质的方法. 问题,通过代数运算研究几何图形性质的方法.

在平面直角坐标系里
点用坐标表示: 直线如何表示呢?
y y
p ( x, y )

o

o

思考?
一条直线的位置由 哪些条件确定呢?

直线的位置
我们知道,两点确定一条直线。
y

o

一点能确定一条 直线的位置吗?

过一点O的直线可以作无数条, 可以用直线与X轴的夹角描述它 们的倾斜程度

一、直线的倾斜角
1、直线倾斜角的定义:
当直线L与X轴相交时,我们取X轴作为基 准,X轴正向与直线L向上方向之间所成的角 叫做直线的倾斜角 倾斜角(angle of inclination) 倾斜角
y

α
o

注意: (1)直线向上方向; (2)x轴的正方向。

练习:
下列四图中,表示直线的倾斜角的是( A )
y y

α
o o

α

A
y

B

α

y

o

α
D

o

C

们规定它的倾斜角为 0 o ,因此,直线 o o 的倾斜角的取值范围为: ≤ α < 180 0

2、直线倾斜角的范围: 播放 当直线 l 与 x 轴平行或重合时,我

按倾斜角去分类,直线可分几类?
y y

o

o

α

y

y

α

o

o

零度角

锐角

直角

钝角

3、直线倾斜角的意义
体现了直线对轴正方向的倾斜程度 在平面直角坐标系中,每一条直线都 有一个确定的倾斜角。
倾斜程度 ? 倾斜角

倾斜角相同能确定一条 直线吗? 相同倾斜角可作无数 互相平行的直线
l3

y

l 2 l1

o

x

4、如何才能确定直线位置?
y

α
o

过一点且倾斜角为α 能不能确定一条直线?


一点+倾斜角 ? 确定一条直线
(两者缺一不可)

二、直线的的斜率
思考?日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?
如图,日常生活中,我们经常用“升高量与前进量的比” 表示倾斜面的“坡度”(倾斜程度),即

升高量 坡度 = 前进量

D

直线的倾斜程度
k AC BC = AB BD = AB

K

= tan α
= tan β
A

C
高 量



β α
前进量

k AD

B

升 坡度(比) 升高量 = 前进量 高

α

前进

结论:坡度越大,楼梯越陡. 结论:坡度越大,楼梯越陡.

直线斜率的定义:
我们把一条直线的倾斜角 条直线的斜率(slope)。 用小写字母 k 表示,即:

α 的正切值叫做这

k = tan α
o

例如:

3 α = 30 ? k = tan 30 = 3 o o α = 45 ? k = tan 45 = 1 o o α = 60 ? k = tan 60 = 3
o

当α = 90 时
o

y

k =?
o

x

思考:当直线与 x 轴垂直时, 直线的倾斜角是多少?

α = 90 ? tan α (不存在)
o

即k不存在

判断正误: 判断正误:
①直线的倾斜角为α,则直线的斜率为 tan α 直线的倾斜角为 , 轴的直线的斜率不存在, ②因为平行于y轴的直线的斜率不存在,所以平 因为平行于 轴的直线的斜率不存在 行于y轴的直线的倾斜角不存在 行于 轴的直线的倾斜角不存在 ③两直线的斜率相等,则它们的倾斜角相等; 两直线的斜率相等,则它们的倾斜角相等; ④每条直线都有倾斜角。 每条直线都有倾斜角。 ⑤每条直线都有斜率。 每条直线都有斜率。

3、探究:由两点确定的直线的斜率 k = tan α

锐角
y
y2
y1

能不能构造 一个直角三 如图,当α为锐角时, 角形去求? 角形去求? P2 ( x2 , y2 )

α
P ( x1 , y1 ) 1

α = ∠ P2 P1Q ,

Q( x2 , y1 )

且 x1 < x 2 , y1 < y 2

o

α

QP y2 ? y1 2 k = tanα = tan∠P PQ = = 2 1 PQ x2 ? x1 1

x1

x2

x

在Rt?P2 PQ中 1

>0

钝角
y
y2
y1
P2 ( x2 , y2 )

如图,当α为钝角时, o α = 180 ? θ , 且x1 > x2 , y1 < y2 tan α = tan(180o ? θ )
P ( x1 , y1 ) 1

θ
Q( x2 , y1 )

o

x2

x1

α

x

y2 ? y1 y2 ? y1 ∴ k = tan α = ? = x1 ? x2 x2 ? x1

= ? tan θ 在Rt?P2QP中 1 y2 ? y1 P2Q = tan θ = x1 ? x2 P1Q

<0

思考?
1、当
p1 p 2 的位置对调时, k

值又如何呢?

y

P ( x1 , y1 ) 1

α α o
(3)

y

P ( x1 , y1 ) 1

Q ( x1 , y2 )

P2 ( x2 , y2 )

θ
Q( x1 , y2 )

P2 ( x2 , y2 )

α

x

o

(4)

x

思考?

2、当直线平行于x轴,或与x轴重合时, o k = tan 0 = 0 上述公式还适用吗?为什么?

α =0

o

y
P ( x1 , y1 ) 1

P2 ( x2 , y2 )

y2 ? y1 k= x2 ? x1

x1 o

x2

x

答:成立,因为 分子为0,分母不 为0,K=0

思考?
1、当直线平行于y轴,或与y轴重合时, k不存在 上述公式还适用吗?为什么?

α = 90 , tan 90 (不存在)
o o

y
y2
y1
P2 ( x2 , y2 )
P ( x1 , y1 ) 1

y2 ? y1 k= x2 ? x1

o

x

答:不成立, 因为分母为0。

4、直线的斜率公式:
综上所述,我们得到经过两点 P ( x1 , y1 ), 1 P2 ( x2 , y2 ) ( x1 ≠ x2 ) 的直线斜率公式:

y2 ? y1 y1 ? y2 k= (或k = ) x2 ? x1 x1 ? x2
P2 P 1 P 1 P2

B 2、已知直线上两点 A(a1, a2 ) 、 (b1, b2 ) ,运 用上述公式计算直线AB的斜率时,与A、 B的顺序有关吗?

k AB

b2 ? a2 = b1 ? a1

=k

BA

a2 ? b2 = a1 ? b1

答:与A、B两点的顺序无关。

判断正误: 判断正误:
①直线斜率的取值范围是(-∞,+∞ ) 直线斜率的取值范围是( ∞ ∞ 直线的倾斜角越大,它的斜率就越大. ②直线的倾斜角越大,它的斜率就越大

例1、如图,已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2),求

直线AB、BC、CA的斜率,并判断这 些直线 的倾斜角是什么角? y. 解: B . A 2?2 . . . . . . . 直线AB的斜率 k AB = =0 o x ?8? 4 . ?2?2 ?4 1
直线BC的斜率 k BC = BC 直线CA的斜率 kCA
0 ? (?8) = 8 =? 2

C

∵ k AB = 0 ∴直线AB的倾斜角为零度角。 ∵ k BC < 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角。 ∵ kCA > 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角

2 ? (?2) 4 = = =1 4?0 4

例题分析
例2、在平面直角坐标系中, 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别 为1,-1,2和-3的直线 l1 , l 2 , l3 及 l 4 。
y A3 A1 O A2 A4 x

l3

l1

l2

l4

例3,已知三点A(a,2),B(5,1), C(-4,2a)在同一直线上,求a的值

例4,直线的斜率为K,倾斜角为α, ()若 ? 1 < K < 1,求α的范围 1 3π π (2)若 < α < ,求K的范围 4 4

练一练
1、已知直线l的倾斜角为α,且0o ≤ α ≤ 135o, 则l的斜率范围__________ 2、直线过原点(0,0),且不过第三象限, 那么l的倾斜角的取值范围是() A [0, ] 2

π

B[ ,π ] 2

π

C [ ,π )U{0} 2

π

D[ , ] 2 4

π 3π

3、直线l的斜率k =1-m2 (m ∈ R),则直线l的倾斜角范围是___

三、小结:
1、直线的倾斜角定义及其范围: o ≤ α < 180o 0 o 2、直线的斜率定义: k = tan α ( a ≠ 90 ) 3、斜率k与倾斜角 α 之间的关系:

?α = 0o ? k = tan 0o = 0 ? o 0 < α < 90o ? k = tan α > 0 ? ? α = 90o ? tan α (不存在) ? k不存在 ? ?90o < α < 180o ? k = tan α < 0 ?

y2 ? y1 y1 ? y2 4、斜率公式:k = (或k = ) x2 ? x1 x1 ? x2

作业:

P90 A组1, 2, 3, 4, 5

B组5, 6


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